3. 二次曲面

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

二次曲面

  • 若空间中动点的坐标满足一般的三元方程$F(x,y,z)=0$，则动点的自由度为2，动点就限制在一张曲面上。
  • 若空间中动点满足两个方程$F(x,y,z)=0$, $G(x,y,z)=0$，则动点就在一条曲线上。

把满足方程

\[F(x,y,z)=0 \]

的点构成的图像看成是空间中的一张曲面，称为方程所表示的隐式曲面。 同理，

\[F(x,y,z)=0, \quad G(x,y,z)=0 \]

代表的是空间中一条曲线，也称为隐式曲线。

以二次方程表示的曲面，也称为二次曲面。

柱面

定义 1.
一簇平行直线形成的曲面叫柱面。直线叫母线。与每条母线都相交的线叫准线。 准线有无穷条，将任一条准线沿母线方向运动，都可以得到柱面

母线与$z$轴平行的柱面方程是

\[F(x,y)=0 \]

同样，方程$G(y,z)=0$表示母线与$x$轴平行。方程$H(z,x)=0$表示母线与$y$轴平行。

注. 这里，在空间中考虑问题。虽然方程中不含变量$z$，但方程是关于$(x,y,z)$的三元方程。

常见的母线平行$z$轴的二次柱面

  1. 圆柱面
    \[x^2+y^2=c^2 \]
  2. 椭圆柱面
    \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
  3. 双曲柱面
    \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
  4. 抛物柱面
    \[y^2=2px \]

旋转面

定义 2.
一条曲线绕一条直线旋转产生的曲面叫作旋转面。这条曲线称为子午线，这条直线称为转轴。

pic-tou-qiu

例 1. $Oyz$平面上的椭圆

\[\begin{cases} \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \\ x=0 \end{cases} \]

绕$z$轴旋转，所得的曲面称为旋转椭球面。

这个椭球上任意点$P(x,y,z)$，

  1. 它在过这个点，并且与$z$轴垂直的圆上，这个圆的圆心在$z$轴，半径是$r=\sqrt{x^2+y^2}$
  2. $P$是椭圆上的点$(0, \pm r, z)$绕$z$轴旋转得到，因此有
    \[\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \]

推广到一般情况，设在$Oyz$平面上有曲线

\[L:\begin{cases} F(y,z)=0 (y>0) \\ x=0 \end{cases} \]
  • $L$绕$z$轴旋转得到一个旋转面，则旋转面的方程为
    \[F(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z)=0 \]
    这里的$\pm$表示至少有一种情况成立。
  • 类似，$L$绕$y$轴旋转，得到的旋转面的方程是
    \[F(y, \pm\sqrt{x^2+z^2})=0 \]

例 2. (例8.3.1) 设$L$是$Oxz$平面上的双曲线

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} \]

则$L$绕$z$轴旋转所得的称为旋转单叶双曲面，方程是

\[\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \]

$L$绕$x$轴旋转所得的称为旋转双叶双曲面，方程是

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1 \]

uniparted-hyperboloid

biparted-hyperboloid

例 3. (例8.3.2) $Oyz$平面上的抛物线

\[\begin{cases} y^2=2pz, \\ x=0 \end{cases} \]

绕$z$轴旋转得到旋转抛物面，方程是

\[x^2+y^2=2pz \]

例 4. (例8.3.3) $Oyz$平面上的直线

\[\begin{cases} \frac{y}a=\frac{z}c, \\ x=0 \end{cases} \]

绕$z$轴旋转得到圆锥面，方程是

\[\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \]

椭球面

椭球面的方程是

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \quad a>0, b>0, c>0 \]

椭球面的一个特点是，它与平面$z=h$, $|h|<c$相截，截口是一个椭圆，

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{cases} \]

在椭球面方程中，若$a$, $b$, $c$中有两个相等，得到的是旋转椭球面。

若$a=b=c$，得到球面方程

\[x^2+y^2+z^2=a^2 \]

双曲面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 , \quad a>0, b>0, c>0 \]

定义的曲面称为单叶双曲面(uniparted hyperboloid)。

它与平面$z=h$的截口是一个椭圆

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}, \\ z=h \end{cases} \]

它与平面$y=h$(或$x=h$)的截口是双曲线

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{h^2}{b^2}, \\ y=h \end{cases} \]

当$h=\pm b$时，方程退化为两条直线

\[\frac{x}{a}=\pm \frac{z}{c}, y=h \]

方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 , \quad a>0, b>0, c>0 \]

定义的曲面称为双叶双曲面(biparted hyperboloid)。

它与平面$z=h$（要求$|h|\geq c$）的截口是一个椭圆，

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1+\frac{h^2}{c^2}, \\ z=h \end{cases} \]

它与平面$y=h$(或$x=h$)的截口是双曲线

\[\begin{cases} -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1+\frac{h^2}{b^2}, \\ y=h \end{cases} \]

当$a=b$时，方程是一个双叶旋转双曲面。

二次锥面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0, \quad a>0, b>0, c>0 \]

所表示的曲面称为二次锥面。

易知，若$P_0(x_0, y_0, z_0)$在锥面上，则直线

\[L: (x,y,z)=(0,0,0)+t(x_0,y_0, z_0) , \quad t\in\mathbb{R} \]

均在锥面上。

锥面是由一系列通过定点的直线所构成。这个定点，称为顶点，构成锥面的直线称为母线。

用平行于$Oxy$坐标面的平面$z=h$得到的截口为一个椭圆

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{cases} \]

平面$y=h$或$x=h$得到的截口是双曲线。

若$a=b$，干净锥面是一个圆锥面

\[x^2+y^2-\frac{z^2}{c^2}=0 \]

椭圆抛物面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z, \quad a>0, b>0 \]

定义的曲面称为椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)。

平面$z=h$($h>0$)得到的截口是一个椭圆，

平面$y=h$和$x=h$得到的截口均是抛物线。

双曲抛物面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z, \quad a>0, b>0 \]

定义的曲面称为双曲抛物面，它的形状像马鞍，也称为马鞍面。

hyperbolic-paraboloid

平面$z=h$的截口方程是

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=h \\ z=h \end{cases} \]
  1. 当$h>0$时，曲线是双曲线，实轴平行与$x$轴，虚轴平行于$y$轴。
  2. 当$h<0$时，曲线是双曲线，实轴平行与$y$轴，虚轴平行于$x$轴。
  3. 当$h=0$时，是两个相交于原点的直线。

平面$x=h$的截口方程是

\[\begin{cases} \frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{a^2}-z \\ x=h \end{cases} \]

是一条开口指向$z$轴反方向的抛物线。

平面$y=h$的截口方程是

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}=\frac{h^2}{b^2}+z \\ x=h \end{cases} \]

是一条开口指向$z$轴方向的抛物线。

一个一般的三元二次方程

\[\begin{aligned} a_{11}x^2 & +a_{22}y^2+a_{33}z^2 \\ &+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz \\ &+2b_1x+2b_2y+2b_3z+c=0 \end{aligned} \]

可以通过坐标的平移和旋转, 化为上述的几种类型或他们的退化形态。

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 5. 谢

5.