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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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偏微分方程是指含有多元未知函数$u=u(\vec x)$, $\vec x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$及其若干阶偏导数的关系式
\[F(\vec x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x_1},\dfrac{\partial u}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial u}{\partial x_n},\cdots,\dfrac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}\cdots\partial x_n^{m_n}})=0 \] 其中，最高阶导数的阶数$m=m_1+\cdots+m_n$称为方程的阶。
从具体问题，主要是从物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程，简称为数学物理方程
如果偏微分方程中，与未知函数有关的部分是$u$及$u$的各阶偏导的线性组合，则称方程是线性偏微分方程
二阶常系数线性偏微分方程，$a_{ij}=a_{ij}$, $b_i$, $c$为常数，$f$已知
\[\sum_{i,j=1}^n\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} +2\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial u}{\partial x_i}+cu =f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \]
一阶方程： 4； 二阶方程：1,2,3； 三阶方程：5
线性：1,2,3；非线性：4,5
若多元函数$u(x_1,x_2,\cdots,x_n)$使方程 \[F(\vec x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x_1},\dfrac{\partial u}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial u}{\partial x_n},\cdots,\dfrac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}\cdots\partial x_n^{m_n}})=0 \] 在空间区域$V\subset \Real^n$内恒成立，则称此函数为方程在区域$V$内的解。一个$m$阶方程在$V$内的解必须是一个$C^m(V)$函数（即在$V$上有$m$阶连续偏导的函数），称这样的解为古典解
例 1. 当$a,b$满足怎样的条件时，二维Laplace方程
\[\triangle_2u=u_{xx}+u_{yy}=0 \] 有解$u=e^{ax+by}$？并求出解。
事实上，任何一个解析函数$f(z) (z=x+iy)$的实部或虚部都是方程的解，如：
\[u=Re(\ln Z)=\ln r (r=\sqrt{x^2+y^2}neq 0) \\ u=Re (z^n)=r^n\cos(n\theta) (n=0,1,2,\cdots) \\ u=Im (z^n)=r^n\sin(n\theta) \]
一个偏微分方程的解有无穷多个。
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例 2. $u(x,y)$为二元函数，求 \[\dfrac{\partial u}{\partial y}=f(x) \]
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数。称$m$阶偏微分方程的含有$m$个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或任意常数的解为方程的一个特解。
找出一般偏微分方程的通解非常困难。根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解是有意义的。
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例 3. $u=u(x,y)$，求一般解
\[\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=0 \]
例 4. 求方程的通解
\[\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
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例 5. 本节读完
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