\[\newcommand{\half}[1]{\dfrac{#1}{2}}
\newcommand{\PD}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
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\newcommand{\Vector}[1]{\left[\begin{array}{c} #1 \end{array}\right]}
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\newcommand{\reci}[1]{\frac{1}{#1}}
\newcommand{\dx}{\Delta x}
\newcommand{\dy}{\Delta y}
\newcommand{\DS}{\displaystyle}
\newcommand{\limz}[1]{\lim_{#1\to0}}
\newcommand{\dlimz}[1]{\displaystyle\lim_{#1\to0}}
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\newcommand{\casefunc}[1]{\left\{\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right.}
\newcommand{\det}[1]{\left|\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right|}
\]
|
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
（1） 波动方程
\[\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2}=a^2\triangle u+f(t,\vec x)
\]
（2） 热传导方程
\[\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\triangle u+f(t,\vec x)
\]
（3） 场位方程
\[\triangle u=-f(\vec x)
\]
其中，
\[\triangle=\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial ^2u}{\partial x_i^2}
\]
为Laplace算子
弦振动方程
假定弦均匀细长（视为线，线密度为常数），柔软弹性（可任意弯曲，张力满足胡克定理）。弦的运动在同一平面，每个质点的位移是横向的，且绝对位移和相对位移都很小。
\[\rho dx\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} \vec{e}_y=-\vec{T}(t,x)+\vec{T}(t,x+dx)+\vec{G}(t,x;dx) \\
=\dfrac{\partial \vec{T}}{\partial x}+g(t,x)dx\vec{e}_x
\]
在上式中忽略了$dx$的高阶无穷小。$\vec e_x$, $\vec e_y$表示$x$与$u$方向的单位向量。写成分量形式为
\[\begin{aligned}
&\dfrac{\partial T_1}{\partial x}=0 \\
&\rho\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2}=\dfrac{\partial T_2}{\partial x}+g(t,x)
\end{aligned}
\]
$T_1, T_2$为$\vec{T}$在$e_x,e_y$方向上的分量。
张力沿弦运动，则有
\[T_2=T_1\dfrac{\partial u}{\partial x}
\]
则
\[\dfrac{\partial T_2}{\partial x}=\dfrac{\partial T_1}{\partial x}\dfrac{\partial u}{\partial x}+T_1\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
=T_1\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]
则有
\[\rho\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2}=T_1\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+g(t,x)
\]
在微小横振动假设下，$|\dfrac{\partial u}{\partial x}|<< 1$，则张力大小
\[T=\sqrt{T_1^2+T_2^2}=T_1\sqrt{1+(\dfrac{\partial u}{\partial x})^2}\approx T_1
\]
运动中，微元弧长保持不变，则张力$T\approx T_1$也不随时间变化，则有
\[\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2}=a^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(t,x) , a=\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}, f(t,x)=\dfrac{g(t,x)}{\rho}
\]
称为弦的横振动方程。
其中$a$反映波的传播速度，由弦本身性质决定。$f(t,x)$是作用有弦身单位质量上的外力，当弦自动振动时，$f(t,x)=0$。
\[\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2}=a^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(t,x) , a=\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}, f(t,x)=\dfrac{g(t,x)}{\rho}
\]
称为弦的横振动方程。
其中$a$反映波的传播速度，由弦本身性质决定。$f(t,x)$是作用有弦身单位质量上的外力，当弦自动振动时，$f(t,x)=0$。
弹性膜的横振动，声波在空气中传播等，都可以用类似方法导出同一类型的方程，为
\[\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2}=a^2\triangle u+f(t,x), x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), n=1,2,3
\]
这类方程称为波动方程
热传导方程
物体内的温度不同，热量会由温度高处流向温度低处。热的传播服从Fourier热传导定律：无穷小的时间段$(t,t+dt)$内，沿点$M(x,y,z)$处的面积元$dS$的法向$n$流过$dS$的热量与温度的下降成正比：
\[dQ=-k(x,y,z)\dfrac{\partial u}{\partial n}dSdt
\]
其中$u(x,y,z)$表示点$M(x,y,z)$处的温度，$k(x,y,z)$为热传导系数，取正值。
现在来导出物体温度$u(t,x,y,z)$应该满足的方程。
$x$方向，进入体积元的热量
\[-ku_x(x,y,z)dydzdt-(-ku_x(x+dx,y,z)dydzdt) \\
=ku_{xx}dxdydzdt
\]
式中，忽略了高阶小量$dx^2$
所以，三个方向进入体积元的热量为
\[Q_1=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})dvdt
\]
另外，还有热源得到的热量
\[Q_2=f(t,x,y,z)dvdt
\]
获得热量$Q_1+Q_2$后，物体温度从$u(t,x,y,z)$升为$u(t+dt,x,y,z)$，则有
\[Q_1+Q_2=c\rho dv(u(t+dt,x,y,z)-u(t,x,y,z)) \\
=c\rho u_t dvdt
\]
即
\[c\rho u_t=k\triangle u+f(t,x,y,z)
\]
取$a=\sqrt{\frac{k}{c\rho}}$，则有
\[\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\triangle u+\dfrac{1}{c\rho}f(t,x,y,z)
\]
物体的比热为$c$，密度为$\rho$，则有
\[\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\triangle u+\dfrac{1}{c\rho}f(t,x,y,z)
\]
其中$a=\sqrt{\frac{k}{c\rho}}$.
-
若物体内部没有热源，则有
\[\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\triangle u
\]
-
若为稳定的温度场，则$u_t=0$，可以得到三维Laplace方程
\[\triangle u=0
\]
若有热源，则为Possion方程
\[\triangle u=g(x,y,z)
\]
扩散方程
溶液中的溶质从浓度高处扩散到浓度低处，浓度满足方程
\[\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\triangle u (a=\sqrt{D})
\]
$D$为扩散系数
静电场的场势方程
空间分布电荷的体密度为$\rho(x,y,z)$，$\vec E$表示电场强度。则有
\[\casefunc{
\nabla\cdot(\eps \vec E)=\rho \\
\nabla\times \vec E=0
}
\]
其中$\eps$为介电常数。由静电场是无旋的，则存在势函数$\phi(x,y,z)$，满足
\[\vec E=-\nabla \phi
\]
代入可得
\[\triangle \phi=-\dfrac{\rho}{\eps}
\]
为Possion方程
自由电磁波方程
空间中无电荷，电场强度和磁场强度分别为$\vec E$和$\vec H$，则有Maxwell方程
\[\casefunc{
\nabla\times \vec E=-\mu\dfrac{\partial \vec H}{\partial t} \\
\nabla\times \vec H=\sigma \vec E+\eps\dfrac{\partial \vec E}{\partial t} \\
\nabla\cdot(\eps \vec E)=0 \\
\nabla\cdot(\mu \vec H)=0
}
\]
由
\[\nabla \times \nabla \times \vec{E}=\nabla(\nabla \cdot \vec{E})-\triangle \vec{E}
\]
得到
\[\mu\eps\dfrac{\partial^2 E}{\partial t^2}+\mu\sigma\dfrac{\partial E}{\partial t}-\triangle E=0
\]
和
\[\mu\eps\dfrac{\partial^2 H}{\partial t^2}+\mu\sigma\dfrac{\partial H}{\partial t}-\triangle H=0
\]
若电导率$\sigma\approx0$很小，则可以写成波动方程
\[\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\triangle u (a=\sqrt{\dfrac{1}{\mu\eps}})
\]
若介质有高度的导电性（$\sigma>>\eps$），则方程可以近似为三维热传导方程
\[\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\triangle u (a=\sqrt{\dfrac{1}{\mu\sigma}})
\]