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数学物理中的偏微分方程

3. 定解条件

张瑞

中国科学技术大学数学科学学院

rui@ustc.edu.cn

定解条件

通常把反映系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程。把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。

常见的定解条件有：初使条件，边界条件，衔接条件

初始条件

初始条件是给出未知函数 $$u$$ 及其关于某个自变量 $$t$$ 和各阶偏导数在同一点 $$t=t_0$$ 的值。如果方程中关于 $$t$$ 的最高阶导数是 $$m$$ ，则应该给出 $u,\dfrac{\partial u}{\partial t},\cdots,\dfrac{\partial^{m-1} u}{\partial t^{m-1}}$ 在 $$t=t_0$$ 的值。

如，无限长的弦的振动问题中，给出

初位移 $u|_{t=0}=\phi(x)$
初速度 $\dfrac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x)$

无限长的细杆的热传导问题中，给出初始时刻的温度分布

$u|_{t=0}=\phi(x)$

边界条件

在弦振动问题中，对一条有限长的弦 $(x_1\leq x \leq x_2)$ ，端点 $$x_1, x_2$$ 的运动状况对整根弦的运动有制约。以左端点 $$x=x_1$$ 为例。

最简单的情况是端点运动已知 $u|_{x=x_1}=\nu_1(x)$ 称为第I类边界条件（Dirichlet条件）。当 $\nu_1(x)=0$ 时，称为第I类齐次边界条件。

如果端点处受到横向外力 $F_1(t)\vec e_y$ ，则有边界条件 $\dfrac{\partial u}{\partial x}|_{x=x_1}=-\dfrac{F_1(t)}{T_1}$ 这里给出的是 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ 在端点的值，称为第II类边界条件。当 $$F_1(t)=0$$ 时，称为第II类齐次边界条件（Neumann条件）。

如果端点处受到横向外力 $F_1(t)\vec e_y$ 和弹性力 $-ku(t,x_1)\vec e_y$ ，则有边界条件 $\dfrac{\partial u}{\partial x}|_{x=x_1}=-\dfrac{F_1(t)-ku(t,x_1)}{T_1}$ 即 $\left[ku(t,x)-T_1\dfrac{\partial u}{\partial x}\right]_{x=x_1}=F_1(t)$ 这里给出的是 $$u$$ 和 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ 的线性组合在端点的值，称为第III类边界条件（Robin条件）。当 $$F_1(t)=0$$ 时，称为第III类齐次边界条件。

同样可以在右端点 $$x=x_2$$ 处导出这三类边界条件，与左端点不同的是 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ 项前添加负号。

用 $$n$$ 表示端点的外法向，则左右两端的三类边界条件可以统一表示为

$\left[\alpha_i u+\beta_i \dfrac{\partial u}{\partial n}\right]_{x=x_i}=F_i(t), i=1,2$

热传导问题的边界条件

以三维热传导问题为例，

第I类边界条件，边界温度已知 $u(t,x,y,z)|_{\partial V}=\nu(t,x,y,z)|_{\partial V}$
第II类边界条件，边界上沿外法向 $$n$$ 的热流密度 $$q(t,x,y,z)$$ 已知，热传导系数为 $$k$$ $\dfrac{\partial u}{\partial n}|_{\partial V}=-\dfrac{q(t,x,y,z)}{k}|_{\partial V}$
第III类边界条件，物体通过边界与外界物质自由热交换。物质间的热交换系数为 $$h$$ ，外界温度为 $\theta(t,x,y,z)$ ，热传导系数为 $$k$$ $\left[hu+k\dfrac{\partial u}{\partial n}\right]_{\partial V}=h\theta |_{\partial V}$

(3) 衔接条件

当物理系统中某些部分发生了突变，在产生突变的部分需要衔接条件。

如一根弦由两段不同材料连接，在接连点处需要衔接条件。

混合条件

同时有初始条件和边界条件的问题，称为混合问题

例 1. 一根长为 $$l$$ 的均匀细杆，细杆的侧表面与周围没有热交换，内部有密度为 $$g(t,x)$$ 的热源。杆的初始温度为 $\phi(x)$ ，杆的右端绝热，左端与周围有热交换，则杆内温度分布 $$u(t,x)$$ 满足定解问题

例 2. 一根长为 $$l$$ 且两端（ $$x=0$$ 和 $$x=l$$ ）固定的弦，用手把它的中点横向拨开距离 $$h$$ ，然后放手任其自由振动。写出此弦振动的定解问题。

Ex. 1: 热传导方程 $\dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(t,x) ,x\in(0,l),t>0 \\ f(t,x)=\dfrac{g(t,x)}{c\rho}$

初始条件 $u(0,x)= \phi(x)$

左端点 $(hu-k\dfrac{\partial u}{\partial x})|_{x=0}=h(0)\theta(t,0)$

右端点 $\dfrac{\partial u}{\partial x}|_{x=l}=0$

Ex. 2:

弦振动

$u_{tt}=a^2u_{xx}$ 初值形态

$u(0,x)=\casefunc{ \dfrac{2h}l x , x\in[0,\dfrac12] \\ \dfrac{2h}l (l-x), x\in[\dfrac12,l] }$ 初始速度

$\[u_t(0,x)=0 \]$

边界条件 $\[u(t,0)=0, u(t,l)=0 \]$

定解问题的适定性

泛定方程与适当的定解条件构成的定解问题才是描述物理过程的完整的数学模型。

从数学上说，如果一个定解问题的解是存在、唯一和稳定的，则称此定解问题是适定的。