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数学物理中的偏微分方程

4. 定解问题的解法

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

定解问题的解法

d'Alembert公式

求无界弦的自由振动问题的解 \[\casefunc{ u_{tt}=a^2 u_{xx} , x\in\Real, t>0 \\ u(0,x)=\phi(x), \\ u_t(0,x)=\psi(x) , x\in\Real } \] 前面已经求得了通解 \[u=f(x-at)+g(x+at) \] $f$,$g$是任意的二次可微函数。把给定的初始条件代入，有 \[u(0,x)=f(x)+g(x)=\phi(x) \\ u_t(0,x)=-af'(x)+ag'(x)=\psi(x) \] 对第2个式子积分，有 \[-f(x)+g(x)=\dfrac1{a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi+c \]

与第1个式子联立，可得 \[f(x)=\dfrac{\phi(x)}2-\dfrac1{2a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi-\dfrac{c}2 \\ f(x)=\dfrac{\phi(x)}2+\dfrac1{2a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi + \dfrac{c}2 \] 这样，解为 \[u(t,x)=f(x-at)+g(x+at) \\ =\dfrac{\phi(x-at)+\phi(x+at)}2+\dfrac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi \] 这个公式，称为d'Alembert公式

求解一个定解问题，一般分为3步：

  1. 分析步骤。从数学与物理的角度出发，把所要求的解找出来。这一步中，不严格注意所进行运算的合理性，如：可微性的要求、级数是否收敛、是否可以逐项微分、积分次序是否可以交换等
  2. 综合步骤。在一定条件下，严格论证前一步得到的函数是问题的解。
  3. 解释步骤。对得到的解做物理解释。

解释：

一维波动方程的一般解

\[u=f(x-at)+g(x+at) \] 表示左行波与右行波

d'Alembert公式中，

  • 若$\phi(x), \psi(x)$为奇函数时。则 \[u(t,0)=\dfrac12[\phi(-at)+\phi(-at)]+\dfrac1{2a}\int_{-at}^{at}\psi(\xi)d\xi=0 \]

  • 若$\phi(x), \psi(x)$为偶函数时。则 \[u_x(t,0)=\dfrac12[\phi'(-at)+\phi'(-at)]+\dfrac1{2a}(\psi(at)-\psi(-at)) \\ =0 \]

例 1. 求半无界弦的自由振动问题的解 \[\casefunc{ u_{tt}=a^2 u_{xx} , x>0, t>0 \\ u(0,x)=\phi(x), u_t(0,x)=\psi(x) , x>0 \\ u(t,0)=0 } \]

1 不能直接用d'Alembert公式

注意到奇函数满足边界条件，所以用奇函数延拓

\[\Phi(x)=\casefunc{ \phi(x), x\geq 0 \\ -\phi(x), x<0 } \]

\[\Psi(x)=\casefunc{ \psi(x), x\geq 0 \\ -\psi(x), x<0 } \] 得到解为

\[u(t,x)=\dfrac12[\Phi(x+at)+\Phi(x-at)]+\dfrac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\Psi(\xi)d\xi \] 所以，

  • $x>at$时，有
  • $0<x<at$时，有

例 2. 球对称三维波动方程

\[\casefunc{ u_{tt}=a^2\triangle_3 u , t>0 \\ u(0,r)=\phi(r) , r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ u_t(0,r)=\psi(r) } \]

例2. 解：

  1. 设$u=u(t,r)$，则方程变为 \[u_{tt}=a^2(u_{rr}+\dfrac2ru_r) \]
  2. 设$u(t,r)=e^{\alpha(r)}v(t,r)$，代入，消去一阶导数项。可得$\alpha(r)=-\ln r$。即$v=ru$，方程变为 \[v_{tt}=a^2v_{rr} \]

广义解

若初始函数 $\phi(x), \psi(x)$达不到光滑性要求，可以用Weierstrass逼近定理得到极限解。

目录

附加

例 3. 解方程

\[\casefunc{ & u_{xx}-u_{yy}+\cos x=0 , y>0, x\in\Real \\ & u(x,0)=0 \\ & u_y(x,0)=4x } \]

3.