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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
物理： 几种不同的因素同时出现的效果，与各个因素单独出现时产生的效果的叠加
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数学： 偏微分方程是线性的，定解条件也是线性的。称这类问题为线性定解问题
记二阶线性微分算子为：
\[L=\sum_{i,j=1}^na_{ij}\dfrac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} +2\sum_{i=1}^nb_i\dfrac{\partial}{\partial x_i}+c \] 其中$a_{ij}, b_{i}$为已知函数。 则
\[Lu=\sum_{i,j=1}^na_{ij}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} +2\sum_{i=1}^nb_i\dfrac{\partial u}{\partial x_i}+c u \] 这样，偏微分方程可以记为算子形式
\[Lu=f \]
线性算子满足： \[L[c_1u_1+c_2u_2]=c_1Lu_1+c_2Lu_2 , \forall c_1,c_2\in\Real \]
同样，线性边界条件
\[\alpha u+\beta \dfrac{\partial u}{\partial n}|_{s}=\phi \] 也可以写成算子形式
\[Lu|_s=\alpha u+\beta \dfrac{\partial u}{\partial n}|_{s}=\phi \]
定理 1. (叠加原理1)
设$u_i$满足线性方程（或线性定解条件）
\[Lu_i=f_i, i=1,2,\cdots,n \] 则它们的线性组合$u=\DS\sum_{i=1}^n c_iu_i$必满足方程（或定解条件）
\[Lu=\sum_{i=1}^n c_if_i \]
叠加原理只对线性问题成立，对非线性问题是不成立的。如：
\[u_t+u u_x=0 \] 有解$u_1, u_2$，但$u_1+u_2$不是方程的解。
例 1. \[\casefunc{ u_{tt}=u_{xx}+f(t,x) \\ u(0,x)=\phi(x) \\ u_t(0,x)=\psi(x) } \]
可以分为2个方程的解的和
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\[\casefunc{ u_{tt}=u_{xx} \\ u(0,x)=\phi(x) \\ u_t(0,x)=\psi(x) } \] |
与 |
\[\casefunc{ u_{tt}=u_{xx}+f(t,x) \\ u(0,x)=0 \\ u_t(0,x)= 0 } \] |
定理 2. (叠加原理2)
设$u_i$满足线性方程（或线性定解条件）
\[Lu_i=f_i, i=1,2,\cdots, \] 又设级数$u=\DS\sum_{i=1}^{+\infty} c_iu_{i}$收敛，并满足算子$L$中出现的偏导数与求和记号交换次序所需的条件（一般可以设$u_i$的这些偏导数连续，且相应的级数一致收敛），则$u$必满足线性方程（或定解条件）
\[Lu=\sum_{i=1}^{+\infty} c_if_i \]
例 2. Laplace方程
\[\triangle u=0 \] 有解： $r^n\cos(n\theta), r^n\sin(n\theta), \ln r$，则有解
\[u=A_0+B_0\ln r+\sum_{n=1}^{+\infty}(A_nr^n\cos(n\theta)+B_nr^n\sin(n\theta)) \]
定理 3. (叠加原理3)
设$u(M,\xi)$满足线性方程（或线性定解条件）
\[Lu=f(M,\xi) \] 其中$\xi$为参数组，$M$为自变量组。又设积分
\[U(M)=\int_{v}u(M,\xi)d\xi \] 收敛（$\xi$可以是多维的），并满足算子$L$中出现的偏导数与积分运算交换次序所需的条件（如$u_i$的这些偏导数连续，且相应的积分一致收敛），则$U(M)$必满足线性方程（或定解条件）
\[LU(M)=\int_{v}f(M,\xi)d\xi \]
例 3. $\triangle_2 u=6x$有解$u=x^3+y$，则 方程
\[\triangle_2 u=\int_0^x 6\xi d\xi=3x^2 \] 有解
\[\tilde u=\int_0^x u(\xi,y)d\xi=\dfrac14x^4+xy \]
叠加原理，可以把一个复杂的定解问题分解为一些较简单的定解问题。
例 4. 求Possion方程的解
\[\triangle_2 u=x^2+3xy+y^2 \]
例 5. 解Dirichlet问题
\[\casefunc{ \triangle_2 u=1 , x^2+y^2<1 \\ u|_{x^2+y^2=1}=x } \]
通常把问题分解为： 非齐次方程的解 和 齐次的方程+非齐次的边界条件 的解
1. 右端是二次多项式，设一个特解是四次多项式， \[u_1=ax^4+bx^3y+cy^4 \] 可以得到
\[u_1=\dfrac1{12}x^4+\dfrac12 bx^3y+\dfrac1{12} y^4 \] 再解齐次方程
\[u_{xx}+u_{yy}=0 \] 得到
\[u(x,y)=f(x+iy)+g(x-iy) \] $f,g$二次可微
2. 方程 \[\triangle_2 =1 \] 的一个特解$u=\dfrac12 x^2$，然后加上方程
\[\casefunc{ \triangle_2 u=0 , x^2+y^2<1 \\ u|_{x^2+y^2=1}=x-\dfrac12 x^2 } \] 的解
齐次化原理也称为冲量原理，把非齐次发展方程的定解问题转化为齐次方程来处理。
定理 4. (齐次化原理1)
设$w(t,M;\tau)$满足齐次方程的Cauchy问题
\[\casefunc{ \dfrac{\partial^2 w}{\partial t^2}=Lw , M\in\Real^3, t>\tau \\ w|_{t=\tau}=0, \dfrac{\partial w}{\partial t}|_{t=\tau}=f(\tau,M) } \] 则非齐次方程的Cauchy问题
\[\casefunc{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=Lu+f(t,M) , M\in\Real^3, t>0 \\ u|_{t=0}=0, \dfrac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0 } \] 的解为 $u=\int_0^tw(t,M;\tau)d\tau$
证：
定理 5. (齐次化原理2)
设$w(t,M;\tau)$满足齐次方程的Cauchy问题
\[\casefunc{ \dfrac{\partial w}{\partial t}=Lw , M\in\Real^3, t>\tau \\ w|_{t=\tau}=f(\tau,M) } \] 则非齐次方程的Cauchy问题
\[\casefunc{ \dfrac{\partial u}{\partial t}=Lu+f(t,M) , M\in\Real^3, t>0 \\ u|_{t=0}=0 } \] 的解为 $u=\int_0^tw(t,M;\tau)d\tau$
证：
例 6. 解非齐次弦振动问题 \[\casefunc{ u_{tt}=a^2u_{xx}+f(t,x) , x\in\Real , t>0 \\ u(0,x)=0, u_t(0,x)=0 } \]
6. 方程
\[\casefunc{ \dfrac{\partial w}{\partial t}=a^2 w_{xx} , t>\tau \\ w|_{t=\tau}=0 , w_t|_{t=\tau}=f(\tau,x) } \] 的解为（由d'Al公式） \[w(t,x;\tau)=\dfrac1{2a}\int_{x-a(a-\tau)}^{t+a(t-\tau)}f(\tau,\xi)d\xi \]
例 7. 本节读完
7.