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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
\[L_tu+c(t)L_xu=0, x\in[a,b], t\in I \] 这里$I$是有限或无限区间，$L_t$与$L_x$是二阶线性偏微分算子
\[L_t=a_0(t)\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}+a_1(t)\dfrac{\partial }{\partial t}+a_2(t) \]
\[L_x=b_0(x)\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+b_1(x)\dfrac{\partial }{\partial x}+b_2(x) \] 其中$a_i(t), b_i(x), i=0,1,2$及$c(t)$是满足一定条件的已知函数。
分离变量，设$u=X(x)T(t)$，代入方程，可得
\[\dfrac{L_t T}{cT}+\dfrac{L_x X}{X}=0 \] 这样，有2个常微分方程
\[L_x X(x)+\lambda X(x)=0 \] 与 \[L_t T(t)-\lambda c(t) T(t)=0 \]
由$X(x)$的常微分方程和边界条件，构成了固有值问题。
记$y(x)=X(x)$，则固有值问题的方程可以写成
\[b_0(x)y''(x)+b_x(x)y'(x)+b_2(x)y(x)+\lambda y(x)=0 \] 取$\rho(x)$，满足
\[(\rho(x)b_0(x))'=\rho(x)b_1(x) \] 则有
\[\rho(x)=\dfrac1{b_0(x)}e^{\int\frac{b_1(x)}{b_0(x)}dx} \]
令$k(x)=\rho(x)b_0(x)$，$-q(x)=\rho(x)b_2(x)$，则方程可以写成 Sturm-Liouville型方程
\[\dfrac{d}{dx}\left(k(x)\dfrac{dy}{dx}\right)-q(x)y+\lambda \rho(x)y=0 \]
对 Sturm-Liouville型方程
\[\dfrac{d}{dx}\left(k(x)\dfrac{dy}{dx}\right)-q(x)y+\lambda \rho(x)y=0 \] 的系数有如下假定：
$k(a)>0$，且$q(x)$在$a$点连续，对$u$可以给出第一、二、三类边界条件，即 \[(\alpha_1 u-\beta_1 u)|_{x=a}=0 , \alpha_1, \beta_1\geq0, \alpha_1^2+\beta_1^2\neq 0 \] 此时，得到的固有值问题的边界条件为 \[\alpha_1 y'(a)-\beta_1y(a)=0 \]
$k(b)>0$，且$q(x)$在$b$点连续，对$u$可以给出第一、二、三类边界条件，即 \[(\alpha_2 u+\beta_2 u)|_{x=b}=0 , \alpha_2, \beta_2\geq0, \alpha_2^2+\beta_2^2\neq 0 \] 此时，得到的固有值问题的边界条件为 \[\alpha_2 y'(b)+\beta_2y(b)=0 \]
$k(a)=k(b)>0$时，可以加上$u$为周期的。可以得到$y(x)$的条件为 \[y(a)=y(b), y'(a)=y'(b) \] 当$k(x), \rho(x)$在$[a,b]$上为正时，称方程为正则的；否则，称为奇异的
$k(a)=0$时，要附加有界性条件。此时$y(a)$有界，即 \[|y(a)|<+\infty \] 称这种边界条件为自然边界条件
$k(b)=0$时，要附加$b$处的自然边界条件，即 \[|y(b)|<+\infty \]
例 1. $k(x)=1$, $q(x)=0$, $\rho(x)=1$，则方程为
\[y''+\lambda y=0 \]
对$a=0$, $b=l$，则
$k(a)=1>0$，则$a$处可以取第一、二、三类边界条件，如
\[y(0)=0 \]
又$k(l)=1>0$，则$b$处处可以取第一、二、三类边界条件，如
\[y(l)=0 \]
例 2. $k(x)=1$, $q(x)=0$, $\rho(x)=1$，则方程为
\[y''+\lambda y=0 \]
对$a=0$, $b=l$，则
$k(a)=k(b)=1>0$，则可以加上周期边界条件：
\[y(x)=y(x+l) \]
例 3. $k(x)=1-x^2$, $q(x)=0$, $\rho(x)=1$，则方程为
\[((1-x^2)y')'+\lambda y=0 \]
对$a=0$, $b=1$，则
$k(a)=k(b)=0$，则可以加上自然边界条件：
\[|y(\pm 1)|<\infty \]
例 4. $k(x)=x$, $q(x)=\frac{m^2}x$, $\rho(x)=x$，则方程为
\[(x y')'-\frac{m^2}x y+\lambda xy=0 \]
对$a=0$, $b=1$，则
$k(a)=0$，则可以加上自然边界条件：
\[|y(0)|<\infty \]
$k(b)>0$，则可以加上第一、二、三类边界条件，如
\[y(1)=0 \]
若$k(x),\rho(x),q(x)$满足前面的条件，则固有值问题 \[\casefunc{ & \dfrac{d}{dx}\left(k(x)\dfrac{dy}{dx}\right)-q(x)y+\lambda \rho(x)y=0 \\ & \mbox{5种边界条件中的任一种} } \] 的固有值和固有函数有如下性质：
非负性的证明
\[\int_a^b(\dfrac{d}{dx}\left(k(x)\dfrac{dy}{dx}\right)-q(x)y+\lambda \rho(x)y)ydx=0 \] 则有
\[\lambda\int_a^b\rho(x)y^2dx=\int_a^bq(x)y^2dx-\int_a^by(k(x)y')'dx \\ =\int_a^b q(x)y^2dx-k(x)y'y|_a^b+\int_a^b k(x)(y')^2dx \\ =\int_a^b q(x)y^2dx+\int_a^b k(x)(y')^2dx \\ +k(a)y(a)y'(a)-k(b)y(b)y'(b) \]
若能证明
\[k(a)y(a)y'(a)-k(b)y(b)y'(b)\geq0 \] 则$\lambda>0$。上式跟边界条件有关。
(1) $k(a)>0$，$a$端有第一、二、三类边界条件
\[\alpha_1y'(a)-\beta_1y(a)=0, \alpha_1,\beta_1\geq0,\alpha_1^2+\beta_1^2\neq 0 \] 不防设$\alpha_1\neq0$，则
\[y'(a)=\frac{\beta_1}{\alpha_1}y(a), \frac{\beta_1}{\alpha_1}\geq0 \] 即，$y'(a)$与$y(a)$同号。这样有
\[k(a)y(a)y'(a)\geq0 \]
(2) $k(b)>0$，$b$端有第一、二、三类边界条件
\[\alpha_1y'(a)+\beta_1y(a)=0, \alpha_1,\beta_1\geq0,\alpha_1^2+\beta_1^2\neq 0 \] 不防设$\alpha_1\neq0$，则
\[y'(b)=-\frac{\beta_1}{\alpha_1}y(a), \frac{\beta_1}{\alpha_1}\geq0 \] 即，$y'(a)$与$y(a)$异号。这样有
\[-k(b)y(b)y'(b)\geq0 \]
(3) $a$端有自然边界，即$|y(a)|<+\infty$，且$k(a)=0$，则
\[k(a)y(a)y'(a)=0 \]
(4) $b$端有自然边界，即$|y(b)|<+\infty$，且$k(b)=0$，则
\[k(b)y(b)y'(b)=0 \]
(5) 周期边界条件。此时$y(a)=y(b)$, $y'(a)=y'(b)$, $k(a)=k(b)$，即
\[k(a)y(a)y'(a)-k(b)y(b)y'(b)=0 \]
下证$\lambda=0$时的充要条件。
正交性的证明：
\[\dfrac{d}{dx}\left(k(x)\dfrac{dy_m}{dx}\right)-q(x)y_m+\lambda_m \rho(x)y_m=0 \\ \dfrac{d}{dx}\left(k(x)\dfrac{dy_n}{dx}\right)-q(x)y_n+\lambda_n \rho(x)y_n=0 \]
第一式乘$y_n$与第二式乘$y_m$相减后，得到
\[(k(x)y'_m)'y'_n-(k(x)y_n)y'_m+(\lambda_m-\lambda_n)\rho(x)y_my_n=0 \] 在$[a,b]$上积分，有
\[(\lambda_m-\lambda_n)\int_a^b\rho(x)y_m(x)y_n(x)dx \\ =\int_a^b(-(k(x)y'_m)'y'_n+(k(x)y_n)y'_m)dx \]
右端使用分部积分，有
\[=k(a)(y_n(a)y'_m(a)-y_m(a)y'_n(a))\\ -k(b)(y_n(b)y'_m(b)-y_m(b)y'_n(b)) \]
就5种边界条件，讨论可得，值为$0$。即有
\[\int_a^b\rho(x)y_m(x)y_n(x)dx=0 \]
其中 \[f_k=\dfrac{1}{\|y_k(x)\|^2}\int_a^b\rho(x)f(x)y_k(x)dx \]
这里，
\[\|y_k(x)\|^2=\int_a^b\rho(x)y^2_k(x)dx \]
例 5. 解固有值问题
\[\casefunc{ & y''+\lambda y=0 , x\in(-l,l) \\ & y'(-l)=y'(l)=0 } \]
例 6. 解固有值问题
\[\casefunc{ & x^2y''+ xy'(x)+\lambda y=0 , x\in(1,e) \\ & y(1)=y(e)=0 } \]
例 7. 长为$l$的导热细杆，侧面绝热，且杆的左端绝热，右端与周围保持常温为零的介质的热交换，杆身没有热源，杆的初始温度为$\phi(x)$，求杆内的温度分布。
例 8. 求定解问题
\[\casefunc{ & \triangle_3u=0 , x\in(0,a),y\in(0,b),z\in(0,c) \\ & u(0,y,z)=u(a,y,z)=u(x,0,z)=u(x,b,z)=0 \\ & u(x,y,0)=0, u(x,y,c)=\phi(x,y) } \]
9.
分离变量
解固有值问题
对于二阶方程的固有值问题
\[\casefunc{ & u''+\lambda u=0 , x\in(0,l) \\ & u \mbox{在} x=0,l \mbox{处的边界条件} } \]
总结如下的固有值和固有函数：
（1） $u(0)=u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{n\pi}l)^2 , u_n(x)=\sin\frac{n\pi x}l \]
（2） $u'(0)=u'(l)=0$时，$0$也是特征值 \[\lambda_n=(\frac{n\pi}{l})^2 , u_n(x)=\cos\frac{n\pi x}{l} \]
（3） $u(0)=u'(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{(2n-1)\pi}{2l})^2 , u_n(x)=\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2l} \]
（4） $u'(0)=u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{(2n-1)\pi}{2l})^2 , u_n(x)=\cos\frac{(2n-1)\pi x}{2l} \]
（5） $u(0)=u(l)$, $u'(0)=u'(l)$时(周期边界)， $0$也是固有值 \[\lambda_n=(\frac{2n\pi}{l})^2 , u_n(x)=\{\sin(\frac{2n\pi x}l),\cos\frac{2n\pi x}{l}\} \]
（6） $u(0)=u'(l)+\sigma u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{\gamma_n}{l})^2 , u_n(x)=\sin\frac{\gamma_n x}l \] 其中$\gamma_n$是方程$\tan\gamma=-\frac{\gamma}{\sigma l}$的第$n$个正根，$\sigma>0$
（7） $u'(0)=u'(l)+\sigma u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{\gamma_n}{l})^2 , u_n(x)=\cos\frac{\gamma_n x}l \] 其中$\gamma_n$是方程$\cot\gamma=\frac{\gamma}{\sigma l}$的第$n$个正根，$\sigma>0$
（8） $u'(0)-\sigma u(0)=u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{\gamma_n}{l})^2 , u_n(x)=\frac{\gamma_n}{\sigma l}\cos\frac{\gamma x}l+\sin\frac{\gamma_n x}l \] 其中$\gamma_n$是方程$\tan\gamma=-\frac{\gamma}{\sigma l}$的第$n$个正根，$\sigma>0$
（9） $u'(0)-\sigma u(0)=u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{\gamma_n}{l})^2 , u_n(x)=\frac{\gamma_n}{\sigma l}\cos\frac{\gamma x}l+\sin\frac{\gamma_n x}l \] 其中$\gamma_n$是方程$\cot\gamma=\frac{\gamma}{\sigma l}$的第$n$个正根，$\sigma>0$
（10） $u'(0)-\sigma_1 u(0)=u'(l)+\sigma_2 u(l)=0$时， \[\lambda_n=(\frac{\gamma_n}{l})^2 , u_n(x)=? \]
例 9. 本节读完
9.
注解
注解. 什么是分离变量