|
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
一维常系数齐次边界，非齐次方程的定解问题如下：
\[\casefunc{ & L_tu+L_xu=f(t,x), t>0,x\in(x_1,x_2) \\ & \alpha_1u_x(t,x_1)-\beta_1u(t,x_1)=0 \\ & \alpha_2u_x(t,x_2)+\beta_2u(t,x_2)=0 \\ & u(0,x)=\phi(x), u_t(0,x)=\psi(x) } \] 其中$L_t$,$L_x$分别是关于$t, x$的二阶线性偏微分算子，$\alpha_i, \beta_i, i=1,2$都是非负常数，$\alpha_i^2+\beta_i^2\neq 0, i=1,2$。
一般有2种方法：固有函数法和齐次化原理
例 1. \[\casefunc{ & u_{tt}=a^2 u_{xx}+f(t,x) , t>0,x\in(0,l) \\ & u(t,0)=u(t,l)=0 \\ & u(0,x)=\phi(x), u_t(0,x)=\psi(x) } \]
分为2个方程的解 \[I. \casefunc{ & u_{tt}=a^2 u_{xx} , t>0,x\in(0,l) \\ & u(t,0)=u(t,l)=0 \\ & u(0,x)=\phi(x), u_t(0,x)=\psi(x) } \] 和
\[II. \casefunc{ & u_{tt}=a^2 u_{xx}+f(t,x) , t>0,x\in(0,l) \\ & u(t,0)=u(t,l)=0 \\ & u(0,x)=0, u_t(0,x)=0 } \]
方程$I$已经可以得到解。下面来解方程$II$。
1. 齐次时的固有函数
先由
\[\casefunc{ & w_{tt}=a^2 w_{xx} , t>0,x\in(0,l) \\ & w(t,0)=w(t,l)=0 } \] 得到固有值和固有函数
\[\lambda_n=(\frac{n\pi}l)^2, X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}l \] 由Sturm-Liouville定理，这些固有函数是正交、完备的。
2. 展开非齐次项
记$f(t,x)$的展开为
\[f(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(t)\sin\frac{n\pi x}l \\ f_n(t)=\frac2l\int_0^lf(t,x)\sin\frac{n\pi x}l dx \]
3. 解方程
假定方程$II$的解为
\[w(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}T_n(t)\sin\frac{n\pi x}l \] 代入方程，有
\[\sum_{n=1}^{\infty}T''_n(t)\sin\frac{n\pi x}l =-\sum_{n=1}^{\infty}a^2\lambda_nT_n(t)\sin\frac{n\pi x}l \\ +\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\sin\frac{n\pi x}l \] 可以得到
\[T''_n(t)+\lambda_na^2T_n(t)=f_n(t) \]
另外，由初始条件，有
\[T_n(0)=T'_n(0)=0 \] 这样，得到如下的微分方程
\[\casefunc{ & T''_n+\lambda_na^2T_n=f_n(t) \\ & T_n(0)=T'_n(0)=0 } \]
用Laplace变换方法求解
\[T_n(t)=\frac{l}{n\pi a}\int_0^lf_n(t)\sin\frac{n\pi a(t-\tau)}ld\tau \]
若$f(t,x)$不依赖于时间，即为$f(x)$，则可以先求一个满足泛定条件和边界条件的$v(x)，
\[\casefunc{ & a^2v''(x)+f(x)=0 \\ & v(0)=0, v(l)=0 } \] (积分两次，即可得到$v(x)$)
再令$u(t,x)=v(x)+w(t,x)$，代入方程，有
\[\casefunc{ & w_{tt}=a^2w_{xx} \\ & w(t,0)=w(t,l)=0 \\ & w(0,x)=\phi(x)-v(x), w_t(0,x)=\psi(x) } \]
例 2. \[\casefunc{ & u_t=a^2u_{xx}+A(1-\dfrac{x}l)e^{-ht} , t>0,x\in(0,l) \\ & u(t,0)=u(t,l)=0 \\ & u(0,x)=0 } \] 其中$A, h$为常数，且$h\neq(\frac{n\pi a}l)^2, n=1,2,\cdots$
齐次方程的定解问题
\[\casefunc{ & w_t=a^2w_{xx} , t>\tau>0,x\in(0,l) \\ & w|_{x=0}=w|_{x=l}=0 \\ & w|_{t=\tau}=A(1-\frac{x}l)e^{-h\tau} } \]
5.
注解
注解. 什么是分离变量
若边界条件也是非齐次的，则
例 3. \[\casefunc{ & u_{tt}=a^2 u_{xx}, t>0,x\in(0,l) \\ & u(t,0)=0, u(t,l)=\sin(\omega t), \omega\neq\dfrac{n\pi a}l \\ & u(0,x)=0, u_t(0,x)=0 } \]
先取$w(t,x)$满足边界条件
\[w(t,0)=0 , w(t,l)=\sin(\omega t) \] 则可假定$w(t,x)=A(t)x+B(t)$，来满足边界条件。可以得到
\[w(t,x)=\frac{x}l\sin(\omega t) \] 取$u=v+w$，代入方程，则方程的边界条件变为齐次的（当然，方程可能变为非齐次的）
\[\casefunc{ & v_{tt}=a^2v_{xx}+\frac{x}l\omega^2\sin(\omega t) \\ & v(t,0)=v(t,l)=0 \\ & v(0,x)=0, v_t(0,x)=-\frac{\omega x}l } \]
空间区域$V$内的Poisson方程第一边值问题
\[\casefunc{ & \triangle_3 u=f(x,y,z) , (x,y,z)\in V \\ & u|_{\partial V}=\phi(x,y,z) } \]
一个比较实用的方法是，先求出方程的一个特解$v(x,y,z)$，然后利用叠加原理，令$u=v+w$，代入原定解问题，就可以得到Laplace方程的第一边值问题
\[\casefunc{ & \triangle_3 w=0 , (x,y,z)\in V \\ & w|_{\partial V}=\phi(x,y,z)-v(x,y,z) } \]
例 4. \[\casefunc{ & \triangle_2 u=12(x^2-y^2) , a^2\leq x^2+y^2\leq b^2 \\ & u|_{x^2+y^2=a^2}=1, \dfrac{\partial u}{\partial n}|_{x^2+y^2=b^2}=0 } \]
4.
注意到方程右边是多项式，次数不超过2
令$v(x,y)=ax^4+bx^4$，可得
\[v(x,y)=x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2) \\ =r^2\cos(2\theta) r^2=r^4\cos(2\theta) \]
令$u=v+w$，代入方程，则有
\[\casefunc{ & \triangle_2w=0 \\ & w|_{r=a}=1-v|_{r=a}=1-a^4\cos(2\theta) \\ & w|_{r=b}=0-v|_{r=b}=-4b^3\cos(2\theta) } \]
注解. 什么是分离变量
例 5. 在上半圆盘$\Omega=\{x^2+y^2<1, y>0\}$内, 用分离变量法，求解Laplace方程边值问题：
\[\casefunc{ & u_{xx}+u_{yy}=0 , (x,y)\in\Omega \\ & u(x,0)=0 \\ & u|_{x^2+y^2=1}=-4y^3 } \]
例 6. 解热传导方程混合问题
\[\casefunc{ & u_t=u_{xx} , t>0, x\in(0,1) \\ & u_x(t,0)=u_x(t,1)=0 \\ & u(0,x)=\phi(x) } \]
5.
注解
注解. 什么是分离变量
二维Laplace算子的极坐标形式
\[\triangle_2 u=u_{rr}+\dfrac1ru_r+\dfrac1{r^2}u_{\theta\theta} \]
三维Laplace算子的球坐标形式
\[\begin{aligned} \triangle_3u=& \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 u_r) +\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta u_{\theta}) \\ & +\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\phi\phi} ,\theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi] \end{aligned} \]