\[\newcommand{\half}[1]{\dfrac{#1}{2}} \newcommand{\PD}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)} \newcommand{\Real}{\mathbb R} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\To}{\longrightarrow} \newcommand{\vecn}{\vec{\mathbf{n}}} \newcommand{\Vector}[1]{\left[\begin{array}{c} #1 \end{array}\right]} \newcommand{\Reci}[1]{\dfrac{1}{#1}} \newcommand{\reci}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\dx}{\Delta x} \newcommand{\dy}{\Delta y} \newcommand{\DS}{\displaystyle} \newcommand{\limz}[1]{\lim_{#1\to0}} \newcommand{\dlimz}[1]{\displaystyle\lim_{#1\to0}} \newcommand{\dint}{\displaystyle\int} \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim} \newcommand{\casefunc}[1]{\left\{\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right.} \newcommand{\det}[1]{\left|\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right|} \]

特殊函数

1. Bessel函数

张瑞

中国科学技术大学数学科学学院

rui@ustc.edu.cn

本章讨论在柱坐标与球坐标系下解定解问题时，所出现的两种特殊函数: Bessel函数与Legendre函数。

Bessel函数

例 1. 均匀圆柱，半径为 $$a$$ ，柱高 $$l$$ ，柱侧绝热，而上、下底保持温度为 $$f_1(r), f_2(r)$$ 。试求柱内稳定的温度分布。 $\casefunc{ & \triangle u(r,\phi,z)=u_{rr}+\dfrac1r u_r+\dfrac1{r^2}u_{\phi\phi}+u_{zz}=0 \\ & u_r|_{r=a}=0 , \\ & u(r,\phi,0)=f_1(r), u(r,\phi,l)=f_2(r) }$

可以看到，问题对 $\phi$ 对称，且定解条件不依赖于 $\phi$ ，这样，解与 $\phi$ 无关。令 $$u=R(r)Z(z)$$ ，分离变量后，可得

$r^2R''+rR'+\lambda r^2R=0 \\ Z''-\lambda Z=0$

例 2. 设有两端无限长的直圆柱体，半径为 $$b$$ ，已知初始温度为 $\phi(x,y)$ ，表面温度为 $$0$$ ，求圆柱体内的温度变化规律。

用极坐标系，则问题为

$\casefunc{ & u_t=a^2(u_{rr}+\dfrac1r u_r+\dfrac1{r^2}u_{\theta\theta} , t>0,\theta\in[0,2\pi], r<b \\ & u|_{t=0}=\phi(x,y)=f(r,\theta) \\ & u|_{r=b}=0 }$ 令 $u=R(r)\Theta(\theta)T(t)$ ，分离变量后，有

$\begin{aligned} & T'+a^2k^2T=0, \\ & \Theta''+\mu\Theta=0 \\ & r^2R''+rR'+(k^2r^2-\mu)R=0 \end{aligned}$

Bessel 方程

$\nu$ 阶Bessel方程为

$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 , \nu\geq 0$

用广义幂级数解法。令 $y=x^{\rho}\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n+\rho}$ 其中 $\rho$ 待定。把级数逐项求导

$\begin{aligned} & xy'=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+\rho)a_nx^{n+\rho} \\ & x^2y''=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+\rho)(n+\rho-1)a_nx^{n+\rho} \end{aligned}$

代入Bessel方程，有

$0=\sum_{n=0}^{+\infty}((n+\rho)^2-\nu^2)a_nx^{n+\rho}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^{n+\rho+2}$ 这样，可以得到 $\{a_n\}$ 应该满足

$\casefunc{ & (\rho^2-\nu^2)a_0=0 \\ & ((1+\rho)^2-\nu^2)a_1=0 \\ & ((n+\rho)^2-\nu^2)a_n+a_{n-2}=0 }$ 不防令 $a_0\neq0$ （否则取第一个非0项作为 $$a_0$$ ），则可以得到

$\begin{aligned} & \rho=\pm\nu \\ & (1+2\rho)a_1=0 \\ & (n(n+2\rho))a_n+a_{n-2}=0 \end{aligned}$

当 $\rho=\nu, \nu\geq0$ 时，可以得到解为

$y(x)=(\dfrac{x}2)^{\nu}\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\dfrac1{k!\Gamma(k+\nu+1)}(\dfrac{x}2)^{2k}$ 记为 $J_\nu(x)$ ，称为第一类 $\nu$ 阶Bessel函数

当 $\rho=-\nu, \nu\geq0$ 时，可以得到解为

$J_{-\nu}(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\dfrac1{k!\Gamma(k-\nu+1)}\left(\dfrac{x}2\right)^{2k-\nu}$ 称为第一类 $-\nu$ 阶Bessel函数

注解. 利用 $\Gamma$ 函数的递推式 $\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma(x+1)}x$ 来定义 $\Gamma$ 函数中自变量为负的情况。

$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt ,x>0$

$\Gamma(-\frac12)=\dfrac{\Gamma(-\frac12+1)}{-\frac12}=-2\Gamma(\frac12)$

$\Gamma(-\frac32)=\dfrac{\Gamma(-\frac32+1)}{-\frac32}=-\frac23\Gamma(-\frac12)$

vertical slide 2

Bessel方程的通解

当 $\nu$ 不是整数时, $J_{\nu}(x)$ 与 $J_{-\nu}(x)$ 线性无关，则通解为 $y(x)=C_1J_{\nu}(x)+C_2J_{-\nu}(x)$

当 $\nu$ 是非负整数 $$n$$ 时， $$J_n(x)$$ 与 $J_{-n}(x)$ 线性相关。

所以，不能直接用 $J_{\nu}(x)$ 与 $J_{-\nu}(x)$ 来构造Bessel方程的通解

当 $\nu$ 不是整数时，定义 $N_{\nu}(x)=\cot(\nu\pi) J_{\nu}(x)-\csc(\nu\pi) J_{-\nu}(x) \\ =\dfrac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$ 称为第二类 $\nu$ 阶Bessel函数,或Neumann函数。当 $\nu=n$ 为整数时，

$N_n(x)=\lim_{\nu\to n}N_{\nu}(x)$

可以证明， $\nu$ 为任意非负实数时， $N_{\nu}(x)$ 与 $J_{\nu}(x)$ 线性无关。这样，Bessel方程的通解为

$y(x)=C_1J_{\nu}(x)+C_2N_{\nu}(x)$