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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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利用Laurent展开，可以得到
\[e^{\frac{x}2(z-\frac1z)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)z^n , z\neq0, x\in\Real \] 左端的函数称为整阶Bessel函数列$\{J_n(x)\}$的母函数或生成函数。利用上式，还可以得到$J_n(x)$的积分表示
\[J_n(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(x\sin\theta-n\theta)d\theta \] 或写成
\[J_n(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\sin\theta-n\theta)}d\theta \]
利用母函数，可以证明整阶Bessel函数的很多性质。如
\[J_n(x+y)=\sum_{-\infty}^{+\infty}J_k(x)J_{n-k}(y) \]
例 1. 证明等式：
（1）
\[\cos(x\sin\theta)=J_0(x) \\ +2[J_2(x)\cos2\theta+J_4(x)\cos4\theta+\cdots] \]
（2）
\[\sin(x\sin\theta)=2[J_1(x)\sin\theta+J_3(x)\sin3\theta+\cdots] \]
Bessel函数成立下面的微分关系
\[\frac{d}{dx}(x^{\nu}J_{\nu}(x))=x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ \frac{d}{dx}(\frac{J_{\nu}(x)}{x^{\nu}})=-\frac{J_{\nu+1}(x)}{x^{\nu}} \] 或写成
\[J'_{\nu}(x)=J_{\nu-1}(x)-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x) \\ J'_{\nu}(x)=\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \]
证明.
当$\nu=0$时，可以得到
\[J'_0(x)=J_{-1}(x)=-J_1(x) \]
把微分关系的两式相减或相加，可以得到两个递推关系
\[J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}x J_{\nu}(x) \\ J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2J'_{\nu}(x) \]
当$\nu=n$为整数时，可以由两个相邻的整数阶Bessel函数表示出更高一阶的Bessel函数来。如
\[\begin{aligned} J_2(x) & =\frac2xJ_1(x)-J_0(x) \\ & =-\frac2xJ'_0(x)-J_0(x) \\ J_3(x) & =\frac4xJ_2(x)-J_1(x) \\ & =(\frac8{x^2}-1)J_1(x)-\frac4xJ_0(x) \end{aligned} \]
由微分关系，可得
\[\frac1x\frac{d}{dx}(x^{\nu}J_{\nu}(x))=x^{\nu-1}J_{\nu-1}(x) \\ \frac1x\frac{d}{dx}(\frac{J_{\nu}(x)}{x^{\nu}})=-\frac{J_{\nu+1}(x)}{x^{\nu+1}} \] 这样，有
\[(\frac1x\frac{d}{dx})^n(x^{\nu}J_{\nu}(x))=x^{\nu-n}J_{\nu-n}(x) \\ (\frac1x\frac{d}{dx})^n(\frac{J_{\nu}(x)}{x^{\nu}})=-\frac{J_{\nu+n}(x)}{x^{\nu+n}} \] 利用$J_{\frac12}(x)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\sin x$，可得
\[J_{n+\frac12}=(-1)^nx^{n+\frac12}\sqrt{\frac2{\pi}}(\frac1x\frac{x}{dx})^n(\frac{\sin x}{x}) \]
类似，由$J_{-\frac12}(x)=\sqrt{\frac2{\pi x}}\cos x$，可得
\[J_{-(n+\frac12)}=x^{n+\frac12}\sqrt{\frac2{\pi}}(\frac1x\frac{x}{dx})^n(\frac{\cos x}{x}) \]
当$\nu$不为整数时，$N_{\nu}(x)$是$J_{\nu}(x)$与$J_{-\nu}(x)$的线性组合，所以，也满足微分关系与递推关系。可以证明，$\nu$为整数时，$N_n(x)$也满足。
例 2. 计算 \[\int_0^x J_0(x)\cos xdx \]
\[\int_0^x J_0(x)\cos xdx \\ =xJ_0(x)\cos(x)|_0^x-\int_0^x x[J_0(x)\cos x]'dx \\ =xJ_0(x)\cos x+\int_0^x x[J_1(x)\cos x+J_0(x)\sin x]dx \] 由$(xJ_1(x))'=xJ_0(x)$ (微分关系)，可得
\[(xJ_1(x)\sin x)'=(xJ_1(x))'\sin x+xJ_1(x)(\sin x)' \\ =xJ_0(x)\sin x+x J_1(x)\cos x \\ \] 所以
\[\int_0^x J_0(x)\cos xdx =xJ_0(x)\cos x+x J_1(x)\sin x+C \]
例 3. 计算积分 \[I=\int_0^{+\infty}e^{-ax}J_0(bx)dx \] 其中$a$，$b$是实数，且$a>0$。并求Laplace变换$L(J_0(t))$， $L(J_1(t))$
例 4. 计算积分
\[\int x^3J_{-2}(x)dx , \int x^3J_0(x)dx \]
例 5. 证明：
\[\int x^2J_2(x)dx=-x^2J_1(x)-3xJ_0(x)+3\int J_0(x)dx \]
解：
当$|x|$很大时，有渐近公式
\[J_{\nu}(x)\approx\sqrt{\frac3{\pi x}}\cos(x-\frac{\nu\pi}2-\frac{\pi}4) \\ N_{\nu}(x)\approx\sqrt{\frac3{\pi x}}\cos(x-\frac{\nu\pi}2-\frac{\pi}4) \\ \]
可以看到，它们是衰减振荡函数。
零点的近似公式为
\[x_k\approx k\pi+\frac{\nu\pi}2+\frac{3\pi}4 \]
由$J_\nu(x)$有无穷个零点及Roll定理，则$J'_\nu(x)$也有无穷个实零点。（两个零点之间，有一个导数为零的点）
更一般地，可以证明 \[J_\nu(x)+hxJ_\nu'(x)=0 \] 有无穷多个实根。其中$h$为常数
例 6. 本节读完
6.
二维Laplace算子的极坐标形式
\[\triangle_2 u=u_{rr}+\dfrac1ru_r+\dfrac1{r^2}u_{\theta\theta} \]
三维Laplace算子的球坐标形式
\[\begin{aligned} \triangle_3u=& \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 u_r) +\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta u_{\theta}) \\ & +\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\phi\phi} ,\theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi] \end{aligned} \]