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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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Bessel方程的固有值问题 \[\casefunc{ & x^2y''+xy'+(\lambda x^2-\nu^2)y=0 , x\in(0,a), \nu\geq0 \\ & \alpha y(a)+\beta y'(a)=0 \\ & y(0) \mbox{有界} } \] 这里，$\alpha$, $\beta$是非负常数，且不全为零。方程可以化为Sturm-Liuville型，
\[(xy')'+(\lambda x-\frac{\nu^2}x)y=0 \] 有$k(x)=x$, $q(x)=\frac{\nu^2}x$, $\rho(x)=x$，满足S-L定理的条件。
令$\lambda=\omega^2\geq0$，易得方程的通解是
\[y(x)=AJ_\nu(\omega x)+BN_\nu(\omega x) \] 由$y(0)$有界，则$B=0$，所以
\[y(x)=AJ_\nu(\omega x) \] 由$a$处的边界条件，得
\[\alpha J_\nu(\omega a)+\beta\omega J'_\nu(\omega a)=0 \] 这个方程有无穷个正的零点，记为
\[\omega_1, \omega_2, \cdots \] 这样，可以得到固有值和固有值函数分别为
\[\begin{aligned} & \lambda_n=\omega_n^2 \\ & y_n(x)=J_\nu(\omega_n x) , n=1,2,\cdots \end{aligned} \]
由
\[x^2 J''_\nu(x) +x J'_\nu(x) + (x^2-\nu^2)J_\nu(x)=0 \] 有
\[(\omega x)^2(J''_\nu(\omega x))+(\omega x)(J'_\nu(\omega x))+((\omega x)^2-\nu^2)J_\nu(\omega x)=0 \] 即
\[(x)^2(\omega^2 J''_\nu(\omega x))+(x)(\omega J'_\nu(\omega x))+((\omega x)^2-\nu^2)J_\nu(\omega x)=0 \]
\[x^2(J_\nu(\omega x))''+x(J_\nu(\omega x))'+(\omega^2 x^2-\nu^2)J_\nu(\omega x)=0 \] 所以，$J_\nu(\omega x)$是通解。
由Sturm-Liuville定理，$J_\nu(\omega_nx)$与$J_\nu(\omega_mx)$带权$\rho(x)=x$正交，即
\[\int_0^a xJ_\nu(\omega_m x)J_\nu(\omega_n x)dx=0 \]
还要计算这个正交函数系的模的平方
\[N_\nu^2=\int_0^axJ_\nu^2(\omega x)dx \] 为
\[a^2\omega^2J_\nu'^2(\omega a)+(\omega^2a^2-\nu^2)J_\nu^2(\omega a)=2\omega^2N^2_\nu \]
记$y(x)=J_\nu(\omega x)$，则它满足方程
\[x(xy')'+(\omega^2 x^2-\nu^2)y=0 \] 两边同时乘$2y'$，得到
\[2xy'(xy')'+2(\omega^2x^2-\nu^2)yy'=0 \] 或
\[d(xy')^2+(\omega^2x^2-\nu^2)dy^2=0 \] 从$0$到$a$积分，有
\[(xy')^2|_0^a+(\omega^2 x^2-\nu^2)y^2|_0^a-\int_0^a y^2d(\omega^2x^2-\nu^2)=0 \] 即
\[(xy')^2|_0^a+(\omega^2 x^2-\nu^2)y^2|_0^a=2\omega^2\int_0^a xy^2 dx \]
对第一类边界条件，可得：
\[N_\nu^2=\frac{a^2}2J_{\nu+1}^2(\omega a) \]
对第二类边界条件，可得：
\[N_\nu^2=\frac12[a^2-(\frac{\nu}{\omega})^2]J_\nu^2(\omega a) \]
对第三类边界条件，可得：
\[N_\nu^2=\frac12[a^2-(\frac{\nu}{\omega})^2+(\frac{a}{\omega h})^2]J_\nu^2(\omega a) \]
对于第一类的边界条件，$J_\nu(\omega a)=0$ ，
由微分关系
\[J_\nu'(x)=\frac{\nu}xJ_\nu(x)-J_{\nu+1}(x) \] 则有
\[J'_{\nu}(\omega a)=-J_{\nu+1}(\omega a) \]
定理 1.
设$f(x)$是定义在$(0,a)$内的逐段光滑的函数，积分$\int_0^a\sqrt{x}|f(x)|dx$具有有限值，且$f(x)$满足相应固有值的边界条件，则Fourier-Bessel级数收敛于$\frac12[f(x+0)+f(x-0)]$，级数中的$\omega_n$是固有值。
例 1. 设$\omega_n , n=1,2,\cdots$是方程$J_0(x)=0$的所有正根，试将函数$f(x)=1-x^2, 0<x<1$展开成Bessel函数$J_0(\omega_n x)$的级数
例 2. 解定解问题
\[\casefunc{ & \triangle u(r,\phi,z)=u''_{rr}+\frac1ru'_r+\frac1{r^2}u''_{\phi\phi}+u''_{zz}=0 \\ & u'_r|_{r=a}=0 \\ & u(r,\phi,0)=f_1(r) \\ & u(r,\phi,l)=f_2(r) } \]
例 3. 解定解问题
\[\casefunc{ & u'_t=a^2(u_{xx}+u_{yy}) , x^2+y^2<b^2 , t>0 \\ & u|_{t=0}=\phi(x,y) \\ & u|_{x^2+y^2=b^2}=0 } \]
例 4. 本节读完
4.
二维Laplace算子的极坐标形式
\[\triangle_2 u=u_{rr}+\dfrac1ru_r+\dfrac1{r^2}u_{\theta\theta} \]
三维Laplace算子的球坐标形式
\[\begin{aligned} \triangle_3u=& \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 u_r) +\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta u_{\theta}) \\ & +\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\phi\phi} ,\theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi] \end{aligned} \]