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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
对三维波动方程或三维热传导方程做分离变量，有
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\[u_{tt}=a^2\triangle_3 u \] 令$u(t,M)=T(t)V(x,y,z)$，则有 \[\frac{T''}{a^2T}=\frac{\triangle_3V}{V}=-\lambda \] 则有 \[T''+a^2\lambda T=0 \\ \triangle_3V+\lambda V=0 \] |
\[u_{t}=a^2\triangle_3 u \] 令$u(t,M)=T(t)V(x,y,z)$，则有 \[\frac{T'}{a^2T}=\frac{\triangle_3V}{V} \] 则有 \[T'+a^2\lambda T=0 \\ \triangle_3V+\lambda V=0 \] |
可以看到，需要解形如$\triangle_3u+k^2u=0, k\geq0$的方程
三维Laplace算子的球坐标形式为
\[\begin{aligned} \triangle_3u=& \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 u_r) +\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta u_{\theta}) \\ & +\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\phi\phi} ,\theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi] \end{aligned} \]
令$u(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$，代入$\triangle_3u+k^2u=0$，可得
\[\frac1R\frac1{r^2}(r^2R')'+\frac1{r^2}(\frac1{\sin\theta}\frac1\Theta(\sin\theta \Theta')'+\frac1{\sin^2\theta}\frac{1}{\Phi}\Phi'')+k^2=0 \]
分离变量后，可以得到
\[\begin{aligned} & (a) \Phi''+\mu\Phi=0 \\ & (b) \frac1{\sin\theta}(\sin\theta\Theta')'+(\lambda-\frac{\mu}{\sin^2\theta})\Theta=0 \\ & (c) \frac1{r^2}(r^2R')'+(k^2-\frac{\lambda}{r^2})R=0 \end{aligned} \] 方程$(c)$是Bessel方程，（$k=0$时，是Euler方程）
对方程$(b)$，取$x=\cos\theta$, $y=\Theta(\arccos x)$, $\mu=m^2$，可以得到
\[[(1-x^2)y']'+(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2})y=0 \] 称为$m$阶Legendre方程，
若问题是轴对称的，解不依赖于$\phi$，则$u=R(r)\Theta(\theta)$，问题可以分解为
\[\begin{aligned} & (b) \frac1{\sin\theta}(\sin\theta\Theta')'+(\lambda)\Theta=0 \\ & (c) \frac1{r^2}(r^2R')'+(k^2-\frac{\lambda}{r^2})R=0 \end{aligned} \]
对方程$(b)$，取$x=\cos\theta$, $y=\Theta(\arccos x)$可以得到 \[(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0 \]
\[[(1-x^2)y']'+\lambda y=0 , x\in[-1,1] \] 称为Legendre方程，
$x=\cos\theta$, 则$\theta=\arccos(x)$，
令$y(x)=\Theta(\arccos(x))$，则
\[y'(x)=\Theta'(\theta)\theta'(x)=\Theta'(\theta)\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[y''(x)=(\Theta'(\theta)\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}})' \\ =(\Theta'(\theta))'\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}+\Theta'(\theta)(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}})' \\ =\Theta''(\theta)\theta'(x)\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}-\Theta'(\theta)x(1-x^2)^{-\frac32} \\ =\Theta''(\theta)\frac1{1-x^2}-\Theta'(\theta)x(1-x^2)^{-\frac32} \]
所以
\[(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=\Theta''(\theta)+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Theta'(\theta) \]
Legendre方程 \[ [(1-x^2)y']'+\lambda y=0 \] 是$k(x)=1-x^2$, $q(x)=0$, $\rho(x)=1$的Sturm-Liouville型方程。 由$k(\pm1)=0$，则固有值问题的边界为自然边界。
\[\casefunc{ & [(1-x^2)y']'+\lambda y=0 , x\in[-1,1] \\ & |y(\pm1)|<+\infty } \]
定理 1.
记$\lambda=l(l+1)$，则当$l$不是整数时，Legendre方程在$[-1,1]$上没有非$0$的有界解；
当$l$为整数$n=0,1,2,\cdots$时，固有值与固有函数为
\[\begin{aligned} & \lambda_n=n(n+1) \\ & y_n(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \end{aligned} \]
证明：
$l$不是整数时，Legendre方程在$[-1,1]$上没有非$0$的有界解（不证明）
$l$是整数时，考虑$y(x)=(x^2-1)^n$，则
\[y'=2nx(x^2-1)^{n-1} \\ (x^2-1)y'=2nx(x^-1)^n=2nx y \] 两边求$x$的$n+1$阶导，可得
\[(x^2-1)y^{(n+2)}+(n+1)2xy^{(n+1)}+\frac{n(n+1)}2 2y^{(n)} \\ =2nxy^{(n+1)}+2n(n+1)y^{(n)} \]
\[(1-x^2)y^{(n+2)}+2xy^{(n+1)}-n(n+1)y^{(n)}=0 \]
记 \[p_n=\frac{1}{2^n n!}\dfrac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \] 称为Legendre多项式，它仍然是固有值问题的解。
由二项式定理，有
\[(x^2-1)^n=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kn!}{k!(n-k)!}x^{2n-2k} \] 代入，可得
\[p_n(x)=\sum_{k=0}^M\frac{(2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k} \] 这里，$M=[\frac{n}2]$（取整函数）。
\[p_n(x)=\sum_{k=0}^M\frac{(2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k} \]
$p_0(x)=1$
$p_1(x)=x$
$p_2(x)=\frac12(3x^2-2)$
$p_3(x)=\frac12(5x^3-3x)$
$p_4(x)=\frac18(35x^4-30x^2+3)$
$p_5(x)=\frac18(63x^5-70x^3+15x)$
由Sturm-Liouville定理，有如下的正交性（权$\rho(x)=1$），
\[\int_{-1}^1 p_m(x)p_n(x)dx=0 , m\neq n \]
若，半球形域，则固有值问题的会变为
\[\casefunc{ & (1-x^2)y''-2x y'+\lambda y=0 \\ & y(0)=0 (\mbox{ 或 } y'(0)=0) \\ & |y(1)|<+\infty } \] 边界条件$y(0)=0$时，固有值和固有函数为
\[\lambda_n=(2n+1)(2n+2) \\ y_n(x)=p_{2n+1}(x) \]
边界条件为$y'(0)=0$时，固有值和固有函数为
\[\lambda_n=2n(2n+1) \\ y_n(x)=p_{2n}(x) \]
对于另一个Euler型方程
\[r^2R''+2rR'-n(n+1)R=0 \] 令$x=\ln r$, $y(x)=R(r)$，则有
\[y''+y'-n(n+1)y=0 \] 所以
\[y(x)=Ce^{nx}+De^{-(n+1)x} \] 即
\[R=Cr^n+Dr^{-(n+1)} \]
例 1.
1.
二维Laplace算子的极坐标形式
\[\triangle_2 u=u_{rr}+\dfrac1ru_r+\dfrac1{r^2}u_{\theta\theta} \]
三维Laplace算子的球坐标形式
\[\begin{aligned} \triangle_3u=& \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 u_r) +\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta u_{\theta}) \\ & +\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\phi\phi} ,\theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi] \end{aligned} \]