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特殊函数

5. Legendre多项式的母函数和递推公式

张瑞

中国科学技术大学数学科学学院

rui@ustc.edu.cn

Legendre多项式的母函数和递推公式

Legendre多项式的母函数

设 $$t$$ 为复数，

$w(x,t)=\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}} , |x|<1$ 这里，约定 $$w(x,0)=1$$ 。可得 $$w(x,t)$$ 在 $$|t|<1$$ 内单值解析。 $$w(x,t)$$ 可以展成 $$t$$ 的幂级数

$w(x,t)=\sum_{n=0}^{+\infty} C_n(x)t^n , |t|<1$ 这里，

$C_n(x)=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}\frac1{t^{n+1}}dt$ $$C$$ 是 $$|t|<1$$ 内，包含原点的任意闭路。

作变换

$\sqrt{1-2xt+t^2}=1-ut$ 则

$C_n(t)=\frac1{2\pi i}\oint_{C'}\frac{(u^2-1)^n}{2^n(u-x)^{n+1}} du$ $$C'$$ 是 $$C$$ 的像，是一个包含 $$u=x$$ 的闭路。由Cauchy公式，有

$C_n(t)=\frac1{2^nn!}[\frac{d}{dx}(u^2-1)^n]|_{u=x}=p_n(x)$

因此

$w(x,t)=(1-2xt+t^2)^{-\frac12}=\sum_{n=0}^{+\infty}p_n(x)t^n$

Cauchy公式:

若 $$f(z)$$ 在闭路 $$C$$ 及其围成区域 $$D$$ 内解析，则有

$f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta \\ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta$

取 $$f(x)=(x^2-1)^n$$ ，即有

$\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^{n})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{(u^2-1)^n}{(u-x)^{n+1}}du$

变量代换 $$(1-2xt+t^2)=(1-ut)^2$$ , 则

$t=\frac{2(u-x)}{u^2-1}$ 则

$dt=\frac1{(u^2-1)^2}(2(u^2-1)-2(u-x)2u)du \\ =\frac{2(-u^2-1+2ux)}{(u^2-1)^2}du \\ \frac1{\sqrt{(1-2xt+t^2)}}=\frac1{1-tu}=\frac{u^2-1}{-u^2-1+2ux}$ 代入积分表达式可得。

$w(x,t)=(1-2xt+t^2)^{-\frac12}$

称为Legendre多项式的母函数

$C_n(t)=\frac1{2\pi i}\oint_{C'}\frac1{(u^2-1)^n}{2^n(u-x)^{n+1}} du=p_n(x)$ 是 $$p_n(x)$$ 的积分表达式，称为Schlafli公式

$p_n(1)=1 , \forall n$
$|p_n(x)|\leq 1, \forall |x|\leq 1$

取 $$x=1$$ ，有

$(1-t)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}p_n(1) t^n$ 则有 $$p_n(1)=1$$

Legendre多项式的递推公式

对于 $n\geq 1$ ，有

$\begin{aligned} & (n+1)p_{n+1}(x)-x(2n+1)p_n(x)+np_{n-1}(x) =0 \\ & np_n(x)-xp'_n(x)+p'_{n-1}(x)=0 \\ & np_{n-1}(x)-p'_n(x)+xp'_{n-1}(x)=0 \\ & p'_{n+1}(x)-p'_{n-1}(x)=(2n+1)p_n(x) \end{aligned}$

例 1. 设 $m\geq 1$ , $n\geq 1$ ，证明：

$(m+n+1)\int_0^1x^mp_n(x)dx=m\int_0^1x^{m-1}p_{n-1}dx$

例 2. $$n$$ 为偶数，求

$\int_0^1 p_n(x)dx$ $$n$$ 为奇数呢？

Ex. 2 $=\casefunc{ & 0 , n=2k \\ & \frac{(-1)^k(2k-1)!!}{(2k+2)!!} , n=2k+1 }$

特殊函数

5. Legendre多项式的母函数和递推公式

Legendre多项式的母函数和递推公式

Legendre多项式的母函数

Legendre多项式的递推公式

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