\[\newcommand{\half}[1]{\dfrac{#1}{2}} \newcommand{\PD}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)} \newcommand{\Real}{\mathbb R} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\To}{\longrightarrow} \newcommand{\vecn}{\vec{\mathbf{n}}} \newcommand{\Vector}[1]{\left[\begin{array}{c} #1 \end{array}\right]} \newcommand{\Reci}[1]{\dfrac{1}{#1}} \newcommand{\reci}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\dx}{\Delta x} \newcommand{\dy}{\Delta y} \newcommand{\DS}{\displaystyle} \newcommand{\limz}[1]{\lim_{#1\to0}} \newcommand{\dlimz}[1]{\displaystyle\lim_{#1\to0}} \newcommand{\dint}{\displaystyle\int} \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim} \newcommand{\casefunc}[1]{\left\{\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right.} \newcommand{\det}[1]{\left|\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right|} \]

特殊函数

6. 函数的Fourier-Legendre展开

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数的Fourier-Legendre展开

先求$p_n(x)$的模。把母函数

\[(1-2xt+t^2)^{-\frac12}=\sum_{n=0}^{+\infty}p_n(x)t^n \] 两边平方后，再对$x$从$-1$到$1$积分，有

\[\int_{-1}^1 \frac1{(1-2xt+t^2)}dx=\sum_{m=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}[\int_{-1}^1p_m(x)p_n(x)dx]t^{m+n} \] 由正交性

\[\sum_{n=0}^{+\infty}[\int_{-1}^1p_n^2(x)dx]t^{2n}=-\frac12\ln(1-2t+t^2)|_{-1}^1 \]

这样，

\[\sum_{n=0}^{+\infty}[\int_{-1}^1p_n^2(x)dx]t^{2n}=\frac1t[\ln(1+t)-\ln(1-t)] \\ =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac2{2n+1}t^{2n} \] 比较后，可得

\[\|p_n(x)\|^2=\int_{-1}^1p_n^2dx=\frac2{2n+1} \]

定理 1.
设$f(x)$是$(-1,1)$内的任意实值函数，满足

（1） $f(x)$在$(-1,1)$内是分段光滑的；

（2） 积分$\int_{-1}^1f^2(x)dx$具有有限值，

则$f(x)$可以按Legendre多项式展开成无穷级数

\[f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}C_np_n(x) \]

\[C_n=\frac1{\|p_n(x)\|^2}\int_{-1}^1f(x)p_n(x)dx \\ =\frac{2n+1}2\int_{-1}^1f(x)p_n(x)dx \]

母函数写成

\[(1-2xt+t^2)^{-\frac12}=\sum_{n=0}^{+\infty} t^n p_n(x) , |t|<1 \] 则可以把这个式子看作是函数$(1-2xt+t^2)^{-\frac12}$按$p_n(x)$的展开。于是有

\[t^n=\frac{2n+1}2\int_{-1}^1 (1-2xt+t^2)^{-\frac12} p_n(x)dx \\ |t|<1 , n=0,1,2,\cdots \] 当$|t|>1$时，有

\[\frac1{t^{n+1}}=\frac{2n+1}2\int_{-1}^1 (1-2xt+t^2)^{-\frac12} p_n(x)dx \\ |t|>1 , n=0,1,2,\cdots \]

vertical slide 2

例 1. 将函数

\[f(x)=\casefunc{ & 0 , -1<x<\alpha \\ & \frac12, x=\alpha \\ & 1 , \alpha<x<1 } \] 按Legendre多项式展开

例 2. 将函数$f(x)=x^2$按Legendre多项式展开

例 3. 解定解问题

\[\casefunc{ & \triangle_3u=0 , r\in[0,a), \theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi) \\ & u(a,\theta,\phi)=f(\theta) } \]

2.

例 4. 解定解问题。半球面保持恒温$u_0$，底部保持$0$度，

\[\casefunc{ & \triangle_3u=0 , r\in[0,a), \theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi) \\ & u|_{\theta=\frac{\pi}2}=0 \\ & u|_{r=a}=u_0 } \]

4.

目录

本章读完

例 5. 分离变量法解鼓面的振动问题

\[\casefunc{ & u_{tt}=u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac1ru_r , t>0, r^2=x^2+y^2<1 \\ & u|_{x^2+y^2=1}=0 \\ & u|_{t=0}=0 , u_t|_{t=0}=\psi(r) } \]

例 6. 上半球内解Laplace方程

\[\casefunc{ & \triangle_3u=0 , r\in[0,1), \theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi) \\ & u|_{\theta=\frac{\pi}2}=0 \\ & u|_{r=a}=3\cos^2\theta } \]

5.

二维Laplace算子的极坐标形式

\[\triangle_2 u=u_{rr}+\dfrac1ru_r+\dfrac1{r^2}u_{\theta\theta} \]

三维Laplace算子的球坐标形式

\[\begin{aligned} \triangle_3u=& \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 u_r) +\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta u_{\theta}) \\ & +\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}u_{\phi\phi} ,\theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi] \end{aligned} \]