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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
定义 1.
$f(x)$在任何有限区间上逐段光滑，且在$(-\infty, +\infty)$上绝对可积，即积分$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx$存在，则函数
\[F(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\lambda x}dx \] 称为$f(x)$的Fourier变换，简记为$F[f]$；$f(x)$称为$F(\lambda)$的反Fourier变换，记为$f(x)=F^{-1}[f(\lambda)]$
反演公式
\[\frac12[f(x+)+f(x-)]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{-i\lambda x}d\lambda \] 若$f(x)$连续，则有
\[f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{-i\lambda x}d\lambda \]
线性
\[F[C_1f+C_2g]=C_1F[f]+C_2F[g] \]
频移
若$F[f]$存在，则对$\forall \lambda_0\in\Real$，有 \[F[f(x)e^{i\lambda_0 x}]=F(\lambda+\lambda_0) \]
微分关系
若$f(\pm\infty)=0$，且$F[f'(x)]$存在，则 \[F[f'(x)]=-i\lambda F[f] \] 更一般地，若$F[f^{(k)}]$存在，且
$f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\cdots=f^{(k+1)}(\pm\infty)=0$，则
\[F[f^{(k)}(x)]=(-i\lambda)^k F[f] \]
卷积性质
若$f(x)$, $g(x)$绝对可积，则卷积函数
\[f*g=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-\xi)g(\xi)d\xi \] 的Fourier变换存在，且
\[F[f*g]=F[f]\cdot F[g] \]
公式的逆形式为
\[F^{-1}[F(\lambda)G(\lambda)]=F^{-1}[F(\lambda)]*F^{-1}[G(\lambda)] \]
定义 2.
函数$f(x,y,z)$的Fourier变换为
\[F(\lambda,\mu,\nu)=\iiint_{-\infty}^{\infty}f(x,y,z)e^{i(\lambda x+\mu y+\nu z)}dxdydz \] 仍然记为$F[f]$。它的反演公式
\[f(x,y,z)=\frac1{(2\pi)^3} \iiint_{-\infty}^{\infty}F(\lambda,\mu,\nu)e^{-i(\lambda x+\mu y+\nu z)}d\lambda d\mu d\nu \]
微分性质
若$f(\pm\infty,y,z)=0$，则$F[\pd{f}{x}]=-i\lambda F[f]$
若$f(y,\pm\infty,z)=0$，则$F[\pd{f}{y}]=-i\mu F[f]$
若$f(x,y,\pm\infty)=0$，则$F[\pd{f}{z}]=-i\nu F[f]$
若$f(\pm\infty,y,z)=f'(\pm\infty,y,z)=0$，则 \[F[\pd{^2f}{x^2}]=(-i\lambda)^2 F[f] \]
其余的$F[\pd{^2f}{y^2}]$, $F[\pd{^2f}{z^2}]$类似。特别地有
\[F[\triangle_3f]=-(\lambda^2+\mu^2+\nu^2)F[f] \]
例 1. 解初始问题
\[\casefunc{ & u_t=a^2u_{xx} , x\in\Real, t>0 \\ & u(0,x)=\phi(x) } \]
解： 作Fourier变换 \[\bar u(t,\lambda)=\int_\Real u(t,x)e^{i\lambda x}dx \] 则方程变为
\[\casefunc{ & \frac{d\bar u}{dt}=-a^2\lambda^2\bar u \\ & \bar u(0,\lambda)=\bar \phi(\lambda) } \]
可解得
\[\bar u(t,\lambda)=\bar\phi(\lambda)e^{-a^2\lambda^2t} \] 利用反Fourier变换，可得
\[u(t,x)=\phi(x)*\frac1{2a\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}} \\ =\frac1{2a\sqrt{\pi t}}\int_\Real \phi(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}}d\xi \]
可以证明： 如果$\phi(x)$是$\Real$上的连续函数，且有界，则上述公式就是一维热传导方程Cauchy问题的解。
有
\[\begin{aligned} & F[u_{xx}] =-\lambda^2 \bar u, \\ & F[u_t] =\int_\Real u_t e^{i\lambda x}dx=\frac{d\bar u}{dt} \end{aligned} \]
Fourier变换解题的步骤为：
例 2. 解定解问题
\[\casefunc{ & u_{tt}+a^2u_{xxxx}=0, x\in\Real, t>0 \\ & u(0,x)=\phi(x), u_t(0,x)=0 } \]
对于定义在$[0,+\infty)$的函数，可以使用正弦变换与余弦变换，
\[\bar f_s(\lambda)=\int_0^{+\infty} f(x)\sin(\lambda x)dx \\ \bar f_s(\lambda)=\int_0^{+\infty} f(x)\cos(\lambda x)dx \] 它们的反演公式为
\[f(x)=\frac2\pi \int_0^{+\infty} \bar f_s(\lambda)\sin(\lambda x)d\lambda \\ f(x)=\frac2\pi \int_0^{+\infty} \bar f_c(\lambda)\cos(\lambda x)d\lambda \]
例 3. 用余弦变换解定解问题
\[\casefunc{ & u_t=a^2 u_{xx} , x>0, t>0 \\ & u(0,x)=0, u_x(t,0)=Q \\ & u(t,+\infty)=0, u_x(0,+\infty)=0 } \] $Q$为常数。
3.
例 4. 本节读完
4.