\[\newcommand{\half}[1]{\dfrac{#1}{2}}
\newcommand{\PD}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\vecn}{\vec{\mathbf{n}}}
\newcommand{\Vector}[1]{\left[\begin{array}{c} #1 \end{array}\right]}
\newcommand{\Reci}[1]{\dfrac{1}{#1}}
\newcommand{\reci}[1]{\frac{1}{#1}}
\newcommand{\dx}{\Delta x}
\newcommand{\dy}{\Delta y}
\newcommand{\DS}{\displaystyle}
\newcommand{\limz}[1]{\lim_{#1\to0}}
\newcommand{\dlimz}[1]{\displaystyle\lim_{#1\to0}}
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int}
\newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim}
\newcommand{\casefunc}[1]{\left\{\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right.}
\newcommand{\det}[1]{\left|\begin{aligned} #1 \end{aligned}\right|}
\]
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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
$\delta$函数用来描述点源（如：点电荷、质点、集中力等）
例 1. (点电荷的线密度) 设数轴上分布有电荷，其密度函数为
\[\rho_\eps(x)=\casefunc{
& \frac1{2\eps} , |x|<\eps \\
& 0 , |x|>0
}
\]
则数轴上的总电量为
\[Q=\int_{-\eps}^{\eps}\rho_\eps(x)=1
\]
让$\eps$减小，但总电荷$Q$仍为$1$，则密度$\rho_\eps$就会变大。当$\eps\to0$是，上述分布状态的极限就是在$x=0$处放置了单位点电荷了。
数学上用来描述放置在原点处的点电荷的函数$\delta$，需要满足两个条件：
- $\delta(x)=\casefunc{& 0, x\neq 0 \\& +\infty , x=0}$
- $\DS\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1$
通常称这样的函数为$\delta$函数。
例 2. 设有一条静止、紧张、无限长的弦，其线密度为$1$。若在点$x=0$处，在很短的时间内，以力$F$敲一下，使它获得冲量
\[F\Delta t=1
\]
这时，弦上的点将获得初始速度$v$，则
\[v(x)=\delta(x)
\]
例 3. 一根温度为$0$的导热杆，线密度为$\rho$，比热$c$。用火焰在$x=0$处烧一下，传给杆的热量为$Q$，则杆的初始温度分布为
\[T(x)=\frac{Q}{c\rho}\delta(x)
\]
$\delta$函数的基础特性
对任何连续函数$\phi(x)$，有
（1）
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\phi(x)dx=\phi(0)
\]
（2）
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-\xi)\phi(x)dx=\phi(\xi)
\]
物理意义明显，但数学理论（广义函数论）的建立较晚（20世纪30年代）。
特性
- 对称性。 $\delta(-x)=\delta(x)$，为偶函数。这样
\[\delta(x)*\phi(x)=\phi(x)
\]
- $\delta$函数的导数。由
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(x)f(x)dx=-f'(0)
\]
定义的算符$\delta'(x)$称为$\delta$函数的导数。由
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{(n)}(x)f(x)dx=(-1)^nf^{(n)}(0)
\]
定义的算符$\delta^{(n)}(x)$称为$\delta$函数的$n$阶导数。
- $\delta$函数的Fourier变换。
\[F[\delta(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{i\lambda x}dx=e^0=1
\]
逆变换有
\[\delta(x)=F^{-1}[1]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\lambda x}d\lambda \\
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}d\lambda \\
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\cos({\lambda x})d\lambda
\]
如上的积分在通常意义下是不存在的，但有运算意义。
三维$\delta$函数
三维$\delta$函数满足
（1）
\[\delta(M)=\delta(x,y,z)=\casefunc{
& 0 , x^2+y^2+z^2\neq 0 \\
&+\infty, x^2+y^2+z^2 = 0
}
\]
（2）
\[\iiint_{\Real^3}\delta(x,y,z)dxdydz=1
\]
- 运算。$f(M)$是连续函数，则
\[\iiint_{\Real^3}\delta(x-\xi,y-\eta,z-\zeta)f(x,y,z)dxdydz=f(\xi,\eta,\zeta)
\]
或者记为
\[\iiint_{\Real^3}\delta(M-M_0)f(M)dM=f(M_0)
\]
更一般地，对任意区域$V$，有
\[\iiint_V\delta(M-M_0)f(M)dM=\casefunc{
& f(M_0) , M_0\in V \\
& 0, M_0\notin V
}
\]
- 对称性。$\delta(M)=\delta(-M)$。进而，可以得到
\[\delta(M)*f(M)=f(M)
\]
- Fourier变换。$F[\delta(M)]=1$
例 4. 解定解问题
\[\casefunc{
& u_t=a^2u_{xx} , x\in(0,2l), t>0 \\
& u(0,x)=\delta(x-l) \\
& u_x(t,0)=u_x(t,2l)=0
}
\]
例 5. 设$f(t)$是已知函数，求
\[I=\frac{2a}\pi\int_0^{+\infty}f(\tau)\sin(\lambda x)\sin(a\lambda(t-\tau))d\tau
\]
其中$a>0$，$0<x<at$，并且累次积分可以交换次序。