1. 周期函数的Fourier级数

Fourier分析

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

周期函数的Fourier级数

Fourier级数是关于函数族$1$,$\sin x$,$\cos x$, $\sin2x$, $\cos2x$, $\cdots$的展开，适合研究那些具有周期的现象

周期函数、三角函数的正交性

以$T$为周期的函数$f(x+T)=f(x)$，取$\xi=\frac{2\pi x}T$， 则函数$y(\xi)=f(\frac{T}{2\pi}\xi)$以$2\pi$为周期，

\[\begin{aligned} y(\xi+2\pi) =&f(\frac{T}{2\pi}(\xi+2\pi))=f(\frac{T}{2\pi}\xi+T) \\ =&f(\frac{T}{2\pi}\xi)=y(\xi) \end{aligned} \]

因此，只研究周期为$2\pi$的函数就可以了。

物理背景：Bernoulli在解决弦振动问题时提出：任何复杂的振动都可以分解成一系列简谐振动之和。即周期为$2\pi$的函数$f(x)$可以写成

\[\begin{aligned} f(x) =&\sum_{n=0}^\infty A_n\sin(nx+\phi_n) \\ =&A_0\sin\phi_0+\sum_{n=1}^\infty (A_n\sin\phi_n \cos(nx)+A_n\cos\phi_n \sin(nx)) \\ =&\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \end{aligned} \]

定义 1.
以$2\pi$为周期的函数$f(x)$的Fourier级数展开为

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]

其中$a_0$, $a_n$, $b_n$, $n=1,2,\cdots$称为$f(x)$的Fourier系数

定义 2.
三角函数$1$,$\sin x$,$\cos x$, $\sin2x$, $\cos2x$, $\cdots$称为三角函数系。

三角函数系在其一个周期$[-\pi,\pi]$上具有正交性，即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间$[-\pi,\pi]$上的积分为$0$

  1. $\forall n\geq 1$，$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \sin(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot \cos(nx)dx=0$
  2. $\forall m\neq n$， $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx=0$
  3. $\forall m,n\geq 1$， $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=0$
  • $\forall n\geq 1$， $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx=\pi$
  • $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}1dx=2\pi$

定理 1.
设周期为$2\pi$的函数$f(x)$可以展开成Fourier级数

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]

则Fourier系数由下面的Euler-Fourier公式给出

\[a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \]

证明. 利用三角函数系的正交性即得

证明. 利用正交性，

\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx)dx =&\int_{-\pi}^{\pi} \left[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right]\cos(mx)dx \\ =&\int_{-\pi}^{\pi} a_m\cos^2(mx)dx =a_m \pi \end{aligned} \]

周期函数的Fourier级数展开

例 1. (10.1.2) 将函数展开为Fourier级数

\[f(x)=\begin{cases} \frac12(\pi-x) , x\in(0,2\pi] \\ f(x-2n\pi) , x\in(2n\pi, 2(n+1)\pi] \end{cases} \]

判定敛散性，并求和函数

\begin{tikzpicture}[scale=0.6] \draw[-stealth, black] (-7,0)--(7,0); \draw[-stealth, black] (0,-2)--(0,2); \draw[red] plot[domain=0:2*pi] (\x, {0.5*(pi-\x)}); \draw[red] plot[domain=0:2*pi] ({\x-2*pi}, {0.5*(pi-\x)}); \draw[blue, dashed] (2*pi,0) node[above] {$2\pi$} --(2*pi,-0.5*pi); \draw[blue, dashed] (-2*pi,0) node[below] {$-2\pi$} --(-2*pi,0.5*pi); \fill (0,-0.5*pi) circle(2pt) node [right] {$-0.5\pi$}; \draw (0,0.5*pi) circle(2pt) node [left] {$0.5\pi$}; \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[-stealth, black] (-0.7,0)--(7,0); \draw[-stealth, black] (0,-2)--(0,2); \draw[red] plot[domain=0:2*pi] (\x, {0.5*(pi-\x)}); %\draw[red] % plot[domain=0:2*pi] ({\x-2*pi}, {0.5*(pi-\x)}); % Fourier展开的前1项 \draw[blue] plot[domain=0:2*pi, samples=100] (\x, {sin(\x r)}); % Fourier展开的前5项 \draw[green] plot[domain=0:2*pi, samples=100] (\x, {sin(\x r)+0.5*sin(2*\x r)+1/3*sin(3*\x r)+1/4*sin(4*\x r)+1/5*sin(5*\x r)}); % Fourier展开的前10项 \draw[purple] plot[domain=0:2*pi, samples=500] (\x, {sin(\x r)+0.5*sin(2*\x r)+1/3*sin(3*\x r)+1/4*sin(4*\x r)+1/5*sin(5*\x r)+1/6*sin(6*\x r)+1/7*sin(7*\x r)+1/8*sin(8*\x r)+1/9*sin(9*\x r)+1/10*sin(10*\x r)}); \draw (pi,1) node[above, purple] {$S_{10}$}; \draw (pi+0.4*pi,1) node[above, green] {$S_{5}$}; \draw (pi+0.8*pi,1) node[above, blue] {$S_{1}$}; \draw[blue, dashed] (2*pi,0) node[above] {$2\pi$} --(2*pi,-0.5*pi); %\draw[blue, dashed] (-2*pi,0) node[below] {$-2\pi$} --(-2*pi,0.5*pi); \fill (0,-0.5*pi) circle(2pt) node [right] {$-0.5\pi$}; \draw (0,0.5*pi) circle(2pt) node [left] {$0.5\pi$}; \end{tikzpicture}

可以看到和函数

\[S(x)=\begin{cases} f(x), & x\neq 2k\pi \\ 0, & x=2k\pi \end{cases} \]

定理 2. (Dirichlet收敛定理)
$f(x)$以$2\pi$为周期，

（1） 若$f(x)$在任意有限区间上逐段光滑，则它的Fourier级数在整个数轴上都收敛；

  • $f(x)$在每个连续点处收敛于$f(x)$，
  • 在每个间断点处收敛于$\frac{f(x+)+f(x-)}2$

（2） 若$f(x)$在整个数轴上处处连续，则其Fourier级数在整个数轴上绝对一致收敛于$f(x)$，即Fourier级数的绝对值级数在整个数轴上一致收敛

逐段光滑是指：对任意有限区间$[a,b]$， 存在有限个点，将区间$[a,b]$分成有限个子区间，

  • 函数$f(x), f'(x)$在每个子区间内连续，
  • 在这些子区间的端点处$f(x)$,$f'(x)$最坏只能是第一类间断。

定义 3.
称

\[T_n(x)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)) , k=1,2,\cdots \]

为一个n次三角多项式。

定理 3.
$f(x)$是定义在整个数轴上的周期为$2\pi$的逐段光滑的连续函数，则$f(x)$可以被三角多项式一致逼近

\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[-stealth, black] (-0.7,0)--(7,0); \draw[-stealth, black] (0,-2)--(0,2); \draw[red] plot[domain=0:2*pi] (\x, {0.5*(pi-\x)}); %\draw[red] % plot[domain=0:2*pi] ({\x-2*pi}, {0.5*(pi-\x)}); % Fourier展开的前1项 \draw[blue] plot[domain=0:2*pi, samples=100] (\x, {sin(\x r)}); % Fourier展开的前5项 \draw[green] plot[domain=0:2*pi, samples=100] (\x, {sin(\x r)+0.5*sin(2*\x r)+1/3*sin(3*\x r)+1/4*sin(4*\x r)+1/5*sin(5*\x r)}); % Fourier展开的前10项 \draw[purple] plot[domain=0:2*pi, samples=500] (\x, {sin(\x r)+0.5*sin(2*\x r)+1/3*sin(3*\x r)+1/4*sin(4*\x r)+1/5*sin(5*\x r)+1/6*sin(6*\x r)+1/7*sin(7*\x r)+1/8*sin(8*\x r)+1/9*sin(9*\x r)+1/10*sin(10*\x r)}); \draw (pi,1) node[above, purple] {$S_{10}$}; \draw (pi+0.4*pi,1) node[above, green] {$S_{5}$}; \draw (pi+0.8*pi,1) node[above, blue] {$S_{1}$}; \draw[blue, dashed] (2*pi,0) node[above] {$2\pi$} --(2*pi,-0.5*pi); %\draw[blue, dashed] (-2*pi,0) node[below] {$-2\pi$} --(-2*pi,0.5*pi); \fill (0,-0.5*pi) circle(2pt) node [right] {$-0.5\pi$}; \draw (0,0.5*pi) circle(2pt) node [left] {$0.5\pi$}; \end{tikzpicture}
  • Fourier级数在间断点处收敛到$\frac{f(x+)+f(x-)}2$，
  • Fourier级数在间断点附近的误差趋于该间断处跳跃$|f(x+)-f(x-)|$的约$9\%$。称为 Gibbs现象

若$f(x)$以2l为周期，

  • 取
    \[g(t)=f\left(\frac{l}{\pi}t\right) , f(x)=g\left(\frac{\pi}l x\right) \]
  • 则$g(t)$以$2\pi$为周期，这样，有
    \[g(t) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)) \]
    其中
    \[\begin{aligned} a_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\cos(nt)dt , b_n=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\sin(nt)dt \end{aligned} \]

回到变量$x$，就有

$f(x)$是以$2l$为周期的函数，则它的Fourier级数可以表示为

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi}lx\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi}lx\right)\right) \]

其中

\[\begin{aligned} a_n=&\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}l\right)dx, \\ b_n=&\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}l\right)dx \end{aligned} \]

Fourier正弦级数与Fourier余弦级数

若$f(x)$是以$2\pi$为周期的奇函数，则有

\[a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx=0 \]

则有

\[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) \]

称为Fourier正弦级数，此时

\[b_n=\frac2{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx , n=1,2,\cdots \]

若$f(x)$是以$2\pi$为周期的偶函数，则有

\[b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=0 \]

则有

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) \]

称为Fourier余弦级数，此时

\[a_n=\frac2{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx , n=0,1,2,\cdots \]

有限区间上函数的Fourier级数

有限区间上的函数，作“周期延拓”到整个区间，然后求解

直接开拓

  • $f(x)$定义在$[-l,l]$逐段光滑，直接做周期为$2l$的周期开拓，
    \[F(x)=\begin{cases} f(x), & x\in(-l,l] \\ f(x-2nl), & x\in((2n-1)l, (2n+1)l] \end{cases} \]
    则$F(x)$是定义在整个数轴上的$2l$为周期的函数

则有Fourier展开

\[F(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi}lx\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi}lx\right)\right) \]
\[\begin{aligned} a_n=&\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}l\right)dx, \\ b_n=&\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}l\right)dx \end{aligned} \]

对于$f(x), x\in(-l,l)$同样有，

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi}lx\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi}lx\right)\right) \]

例 2. (例10.1.6) 将函数展开成Fourier级数。

\[f(x)=\begin{cases} \frac1{2h} , & |x|\leq h \\ 0, & h<|x|\leq l \end{cases} \]

例 3. 将函数$f(x)=sgn(x), x\in(-\pi,\pi)$展开成Fourier级数。 并求$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$

例 4. 在$(a,a+2l)$中展开$f(x)=x$

  • $f(x)$定义在$[a,b]$上时，取$2l=b-a$，则有
    \[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty \left(\cos\left(\frac{2n\pi}{b-a}x\right)+b_n\sin\left(\frac{2n\pi}{b-a}x\right)\right) \]
    \[\begin{aligned} a_n=&\frac2{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\cos\left(\frac{2n\pi x}{b-a}\right)dx, \\ b_n=&\frac2{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\sin\left(\frac{2n\pi x}{b-a}\right)dx \end{aligned} \]

奇性开拓

$f(x)$定义在$[0,l]$上，先做奇性开拓

\[f_o(x)=\begin{cases} f(x), & x\in(0,l] \\ 0, & x=0 \\ -f(-x) , & x\in(-l,0) \end{cases} \]

然后再做周期开拓，得到$F_o(x)$。 这样，函数$F_o(x)$是整个数轴上的周期为$2l$的奇函数，可以展开为Fourier正弦级数

\[F_o(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi}lx \]
\[b_n=\frac2l\int_{-l}^lf_o(x)\sin(\frac{n\pi}lx)dx \]

偶性开拓

$f(x)$定义在$[0,l]$上，先做偶性开拓

\[f_e(x)=\begin{cases} & f(x), x\in[0,l] \\ & f(-x) , x\in(-l,0] \end{cases} \]

然后再做周期开拓，得到$F_e(x)$。 这样，函数$F_e(x)$是整个数轴上的周期为$2l$的偶函数，可以展开为Fourier余弦级数

\[F_e(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi}lx \]
\[a_n=\frac2l\int_{-l}^lf_e(x)\cos(\frac{n\pi}lx)dx \]

例 5. 对函数$f(x)=x^2$，

（1） $x\in[-\pi,\pi]$，作余弦展开

（2） $x\in[0,\pi]$，作正弦展开

（3） 在$x\in[0,2\pi]$上展开

例 6. 把$(0,\frac{\pi}2)$上的函数$f(x)$开拓到$(-\pi,\pi)$，使得Fourier级数形如

\[f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos((2n-1)x) , x\in(-\pi,\pi) \]

Bessel不等式与Parsval等式

 

从均方收敛的角度来考察Fourier级数

  • 记$L^2[-\pi,\pi]$为$[-\pi,\pi]$中可积且平方可积函数的全体，
    \[L^2[-\pi,\pi]=\left\{f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R} \big| \int_{-\pi}^\pi fdx, \int_{-\pi}^\pi f^2dx \ \mbox{ are limited }\right\} % 存在有限 \]
    可以证明$L^2[-\pi,\pi]$为线性空间。
  • 引入内积
    \[(f(x),g(x))=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx \]
  • 及度量（称为$L^2$度量）
    \[\|f(x)-g(x)\|=\left(\int_{-\pi}^\pi (f(x)-g(x))^2dx\right)^{\frac12} \]

定义 4.
$L^2[-\pi,\pi]$中函数列$f_n(x)$收敛到函数$f(x)$， 或者说$f_n(x)$均方收敛到$f(x)$，是指

\[\lim_{n\to\infty}\|f(x)-g(x)\|=0 \]

即

\[\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^\pi (f(x)-g(x))^2dx=0 \]
  • 这种收敛与函数列的逐点收敛或一致收敛完全不同
  • $\{f_n(x)\}$看作是线性空间中的点列

对$f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，则

\[\begin{aligned} a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,\ b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx \end{aligned} \]

存在有限。因而，有Fourier级数

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \]

它的第$n$个部分和为

\[T_n(x)= \frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)) \]

$T_n(x)$是否在$L^2$度量收敛到$f(x)$?

定理 4. (Fourier系数的最优性)
$f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，$T_n(x)$是$f(x)$的Fourier级数的第$n$个部分和，$S_n(x)$是任意一个$n$次三角多项式，则有

\[\|f(x)-T_n(x)\|\leq\|f(x)-S_n(x)\| \]

定理 5. (Bessel不等式)
$f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，且

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \]

则有

\[\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2) \leq \frac1\pi \int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx \]

证明.

定理 6. (Parseval等式)
$f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，且

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \]

则$T_n(x)$在$L^2$度量下收敛到$f(x)$，且有

\[\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2) = \frac1\pi \int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx \]

证明略

推论 1.
$f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，则其Fourier系数为$a_n$, $b_n$，满足

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{|a_n|+|b_n|}n$收敛

（2） $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0$

推论 2. (推广形式的Parseval等式)
$f(x), g(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，$f(x)$的Fourier系数为$a_n$, $b_n$，$g(x)$的Fourier系数为$\alpha_n$, $\beta_n$，则有

\[ \frac1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) dx=\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\alpha_n+b_n\beta_n) \]

证明.

定理 7. (Fourier级数逐项积分)
$f(x)\in L^2[-\pi,\pi]$，且

\[f(x) \sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \]

则对区间$[-\pi,\pi]$上的任意$a$, $b$，有如下的逐项积分公式

\[\int_a^bf(x)dx= \int_a^b\frac{a_0}2dx +\sum_{n=1}^\infty \int_a^b \left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) \right)dx \]

特别有

\[\int_0^x (f(t)-\frac{a_0}2)dt =\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}n +\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{b_n}n\cos(nx)+\frac{a_n}n\sin(nx)\right) \]

证明.

例 7. (逐项积分) 已知

\[\displaystyle x=2\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}n , x\in(-\pi, \pi) \]

求$x^2$, $x^3$的展开式

Fourier级数的应用

例 8. (Parseval等式) (例10.1.10)求

\[f(x)=\begin{cases} 1, & |x|<\alpha \\ 0, & \alpha<|x|<\pi \end{cases} \]

的Fourier展开式，并求

\[\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2} \]

例 9. (例10.1.11)将周期$2\pi$的函数

\[f(x)=\frac14x(2\pi-x), x\in[0,2\pi] \]

展开为Fourier级数，并求

\[\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}, \ \ \ \ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^4} \]

目录

本节读完

例 10.

10.