2. Fourier积分与Fourier变换

Fourier分析

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

Fourier积分与Fourier变换

讨论定义在整个数轴上的非周期函数的展开问题

Fourier积分

$f(x)$定义在$\mathbb{R}$上，且为非周期函数，如何展开它？

用“有限逼近无限”的思想

$f(x)$在$\mathbb{R}$上绝对可积，在任何有限区间上逐段光滑。

  1. 截取$f(x)$在有限区间$(-l,l)$上的取值，得到$f_l(x)$。 则$f_l(x)$可以延拓成周期函数。
  2. 将$f_l(x)$展开成Fourier级数
  3. 取$l\to+\infty$，可以得到什么？

得到$f_l(x), x\in(-l,l)$的Fourier展开为

\[f_l(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)) \]

其中$\omega=\frac{\pi}l$,

\[\begin{aligned} a_n=\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega t)dt, b_n=\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(t)\sin(n\omega t)dt \end{aligned} \]

即

\[f_l(x)\sim\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1l\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega(x-t))dt \]
\[f_l(x)\sim\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1l\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega(x-t))dt \]

当$l\to+\infty$时，

(1). 由$f(x)$在整个数轴上绝对可积，则

\[\left|\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt\right|\leq\frac1{2l}\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt \]

所以，有

\[\lim_{l\to\infty}\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt=0 \]

(2). 令$\lambda_n=n\omega=\frac{n\pi}l$, $\Delta\lambda_n=\lambda_{n}-\lambda_{n-1}=\omega=\frac{\pi}l$，则

\[\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}\frac1l\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega(x-t))dt \\ =&\frac1{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\Delta\lambda_n\int_{-l}^{l}f(t)\cos(\lambda_n(x-t))dt \end{aligned} \]
  • 记函数$\displaystyle g_l(\lambda)=\int_{-l}^{l}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt$， 则上式是一个Riemann和的形式。
  • 虽然$\{\lambda_n\}$并不是一个有限区间上的分割，但$l\to+\infty$时，上述的和式有一个合理的极限应该是
    \[\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt\right]d\lambda \]

经过粗略的分析，可以得到

定义 1.
函数$f(x)$的Fourier积分表示为

\[f(x)\sim\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt\right]d\lambda \]

或者写成

\[f(x)\sim\int_0^{+\infty}\left[A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x)\right]d\lambda \]
\[\begin{aligned} A(\lambda)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda t)dt ,\\ B(\lambda)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin(\lambda t)dt \\ \end{aligned} \]

可以严格的证明(这里略去)

定理 1. (Fourier积分表示的收敛定理, Dirichlet定理)
函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上绝对可积，在任何有限区间上逐段光滑，

  • 则对任意实数$x$,
    \[\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt\right]d\lambda =\frac{f(x+)+f(x-)}2 \]
  • 特别地，在连续点上， $f(x)$的Fourier积分表示收敛。
有限区间上的函数 无限区间上的函数
Fourier级数 Fourier积分
$\cos(nx)$, $\sin(nx)$ $\cos(\lambda x)$, $\sin(\lambda x)$
$n$为自然数，即为离散的变量 $\lambda$是在$[0,\infty)$上变化的任意实数

例 1. (例10.2.2) 求函数

\[f(x)=\begin{cases} 1, & |x|\leq 1 \\ 0, & |x|>1 \end{cases} \]

的Fourier积分表示

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt$是关于$\lambda$的偶函数

利用Euler公式： $e^{ix}=\cos(x)+i\sin x$，有

\[\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2 \]

则有

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \cos\lambda(x-t)dt\right]d\lambda \\ =& \ \frac12 \int_{0}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \\ &+\frac12\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \\ =&\frac12 \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \end{aligned} \]

可以得到$f(x)$的Fourier积分的复数表示

\[f(x)\sim\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \]

或者

\[f(x)\sim\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \]

或者

\[f(x)\sim\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i2\pi\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \]

Fourier变换的定义

$f(x)$的Fourier积分的复数表示为

\[f(x)\sim\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt\right] e^{i\lambda x} d\lambda \]

定义 2.
称$F(\lambda)$为函数$f(x)$的Fourier变换或像函数

\[F(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt \]

$f(x)$为$F(\lambda)$的Fourier逆变换或本函数

\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda \]

由$F(\lambda)$回到$f(x)$的公式也称为Fourier变换的反演公式

若$f(x)$为偶函数，则它的Fourier变换为

\[\begin{aligned} F(\lambda)=&\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\cos(\lambda t)-i\sin(\lambda t)dt \\ =&2\int_0^{+\infty}f(t)\cos(\lambda t)dt \end{aligned} \]

记为$F_c(\lambda)$，称为Fourier余弦变换。

此时$F_c(\lambda)$也是偶函数，它的Fourier逆变换为

\[f(x)=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F_c(\lambda)\cos(\lambda x)d\lambda \]

若$f(x)$为奇函数，则它的Fourier变换为

\[\begin{aligned} F(\lambda)=&\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\cos(\lambda t)-i\sin(\lambda t)dt \\ =&-2i\int_0^{+\infty}f(t)\sin(\lambda t)dt \end{aligned} \]

定义Fourier正弦变换为

\[F_s(\lambda)=2\int_0^{+\infty}f(t)\sin(\lambda t)dt \]

此时$F_s(\lambda)$也奇函数，它的Fourier逆变换为

\[f(x)=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F_s(\lambda)\sin(\lambda x)d\lambda \]
\[\begin{aligned} f(x)=&\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(-i)F_s(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda \\ =&\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}(-i)F_s(\lambda)i \sin(\lambda x)d\lambda \end{aligned} \]

例 2. (例10.2.5) 求函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$, $x>0$的Fourier正弦变换和Fourier余弦变换

对于定义在半无限区间$[0,+\infty)$上的函数，可以将它作奇或偶开拓，然后用Fourier余弦变换或Fourier正弦变换

Fourier积分收敛的条件可以放宽到：

  1. $f(x)$在任何有限区间上绝对可积
  2. 存在$M>0$，$f(x)$分别在$x>M$与$x<-M$上都是单调的， 且$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$

2.

Fourier变换的性质

用$\mathcal{F}[f]=F[\lambda]$表示$f(x)$的Fourier变换，$\mathcal{F}^{-1}[F]=f(x)$表示$F(\lambda)$的Fourier逆变换。

  1. 线性: $\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g]$
  2. 频移特性: $\mathcal{F}[f(x)e^{-i\lambda_0 x}]=\mathcal{F}[f](\lambda+\lambda_0)$
  3. 时移特性: $\mathcal{F}^{-1}[F(\lambda)e^{i x_0 \lambda}]=f(x+x_0)$
  4. 本函数微分: 当$x\to\pm\infty$时，$f(x)$的极限为$0$，且$f'(x)$的Fourier变换存在，则
    \[\mathcal{F}[f'(x)](\lambda)=i\lambda \mathcal{F}[f(x)](\lambda) \]
    若$x\to\pm\infty$时，$f(x)$及其前$k-1$阶导数的极限为$0$，则
    \[\mathcal{F}[f^{(k)}(x)](\lambda)=(i\lambda)^k \mathcal{F}[f(x)](\lambda) \]
  5. 像函数微分: $F'(\lambda)=\mathcal{F}[-ixf(x)](\lambda)$
  1. 卷积的Fourier变换: $\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]$，
  2. Parseval等式: $f(x)\in L^2(\mathbb{R})$，则有
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)dx=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\lambda)|^2d\lambda \]

定义 3.
函数$f(x)$和$g(x)$的卷积 定义为

\[f*g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t)dt \]

$f*g=g*f$, $(f*g)*h=f*(g*h)$

例 3. $p$为正常数，$\displaystyle f_p(x)=\begin{cases} \frac1{2p} , |x|\leq p, \\ 0, |x|>p \end{cases} $，试求$f_p(x)$的Fourier变换及Fourier反演公式

例 4. 求$g(x)$满足积分方程

\[\int_0^{+\infty}g(t)\cos(xt)dt=\begin{cases} \cos x, |x|\leq\frac{\pi}2 \\ 0, |x|>\frac{\pi}2 \end{cases} \]

例 5. 证明

\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin\alpha\cos(\alpha x)}{\alpha}d\alpha =\begin{cases} \frac{\pi}2, |x|<1, \\ \frac{\pi}4, |x|=1, \\ 0, |x|>1 \end{cases} \]

Fourier变换的应用

例 6. (解微分方程) (例10.2.9)解热传导方程的初值问题，

\[\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} , & x\in\mathbb{R}, t>0 \\ u(x,0)=\phi(x) , & x\in\mathbb{R} \end{cases} \]

其中$\phi(x)\in L^2(\mathbb{R})$

[#ex9-4-2].

目录

本章读完

例 7. $f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，在$[-\pi,\pi]$上的表达式为

\[f(x)=\begin{cases} \pi+x , & -\pi\leq x\leq 0, \\ \pi-x , & 0<x<\pi \end{cases} \]

（1） 将$f(x)$展开成Fourier级数，并指出该Fourier级数的收敛性；

（2） 写出相应的Parseval等式；

（3） 求$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^2}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$； $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^4}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}$；

7.

定义 4.
函数$f(x)$的部分Fourier积分为

\[S_\nu(x)=\int_0^{\nu}\left[A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x)\right]d\lambda \]

部分Fourier积分也有Gibbs现象。