极限理论

复习

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

复习

函数极限

chap2-mind-function

函数连续

chap2-mind-continue

数列极限

chap2-mind-array

习题

例 1. 求 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

例 2. 设$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(A_n-A_{n-1})=0$。

试证：若极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{A_1+A_2+\cdots+A_n}{n}$存在，则有

\[\lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\frac{A_1+A_2+\cdots+A_n}{n} \]

例 3. 若$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=a$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b$，则

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}n=ab \]

例 4. 已知$\ln x+\frac1x\geq1, \forall x>0$，且等号成立的充要条件是$x=1$。 若正项数列$\{x_n\}$满足

\[\ln x_n+\frac1{x_{n+1}}<1 \]

证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$存在，并求这个极限。

例 5. 求极限 $\displaystyle \lim \left(1+\frac{\sqrt[n]{n}-1}a\right)^{\frac{n}{\ln n}}$, $a>0$

例 6. 求$\displaystyle \lim \left(1+\sin\left(\pi \sqrt{1+4n^2}\right)\right)^n$

例 7. 求极限

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[k]{(x+a_1)(x+a_2)\cdots(x+a_k)}-x\right) \]

其中$a_1, a_2,\cdots, a_k$是常数。

例 8. 求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left(\arctan(x+1)-\arctan(x)\right)$

例 9. 若 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac1{\sin(kx)}}=e$，则$k=?$

例 10. 若 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left((ax+b)e^{\frac1x}-x\right)=2$，求$a=?$, $b=?$

例 11. 已知$f(x)$满足 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+f(x)\sin(2x)}-1}{e^{3x}-1}=2$， 则$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=?$

例 12. 已知$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac1{2^x-1}\ln\left(1+\frac{f(x)}{1-\cos x}\right)=4$，

求$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^3}$

例 13. 函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$, $\cdots$是$[a,b]$上的一个点列，求

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1n\sum_{k=1}^ne^{f(x_k)}} \]

例 14. 设$f(x)$, $g(x)$均为$[a,b]$上严格单调增的正的连续函数，证明：存在$\xi\in(a,b)$，满足

\[f(a)g(b)+f(b)g(a)=2f(\xi)g(\xi) \]

例 15. 函数$f(x)$在$[0,a]$上连续，且$f(0)=f(a)$，证明：存在$\xi\in(0,a)$，满足

\[f(\xi+\frac{a}2)=f(\xi) \]

例 16. 函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)=0$，证明：存在$\xi\in(0,1)$，满足

\[f(\xi+\frac14)=f(\xi) \]

例 17. 设$f(x)$在$[0,1]$上连续，$f(0)=f(1)$。 证明，对任意正整数$n$，存在$x_n\in[0,1]$，满足$f(x_n)=f(x_n+\frac1n)$

例 18. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且

\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0 \]

证明，存在$\xi\in(-\infty,+\infty)$，使

\[f(\xi)+\xi=0 \]

例 19. 已知$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty} \left(1+x^n+\left(\frac{x^2}2\right)^n\right)^{\frac1n}$, $x\geq 0$。 讨论$f(x)$的连续性。

例 20. 设$\displaystyle f(x)=\lim_{t\to x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$，求$f(x)$的间断点。