数列极限

极限理论

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

数列极限

定义 1.
数列:简单地来说，数列就是按顺序排列的一列无穷多个数。

利用函数的概念，可以将数列定义为一个从正整数集到实数集的一个函数 $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{R}$，记$a_n=f(n)$，将$a_n$按下标$n$的顺序排列起来，得到

\[a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \]

简记为$\{a_n\}$。

例 1.  

\[\begin{aligned} 1,\frac12,\frac13,&\cdots,\frac1n,\cdots\\ %\frac12,\frac1{4},\cdots,\frac1{2^n},\cdots\\ 1,-1,1,-1,&\cdots, (-1)^{n+1}, \cdots \end{aligned} \]

有些数列有明显的“趋势”，随着$n$无限增大时无限接近某个定数。如数列

\[\begin{aligned} 1,\frac12,\frac13,&\cdots,\frac1n,\cdots \\ -1,\frac12,-\frac13,&\cdots,(-1)^n\frac1n,\cdots \\ \end{aligned} \]

都会无限接近$0$，或者说趋向于$0$。

数列

\[\frac12,\frac23,\cdots,\frac{n}{n+1},\cdots \]

会无限接近$1$。

但有些就没有这种“趋势”，

\[-1,1,-1,1,\cdots,(-1)^n,\cdots \]

会在$-1$和$1$之间来回跳动。

数列

\[1,10^{-1000},\frac12,10^{-1000},\cdots,\frac1n,10^{-1000},\cdots \]

还会无限接近$0$吗？

数列$\{a_n\}$“无限接近”某个数$a$，就称数列$\{a_n\}$的极限是$a$。

  • 这种说法没办法用于验证一个数列是否有极限。

    就像没法用“无限不循环小数”来证明$\sqrt2$是无理数。

  • 需要“数学化”的定义。也就是，可以用来证明，或者计算的定义。

“无限接近”应该包含2层含义：

  1. 从数值的大小上来说是“无限”的： 不管要求离$a$的距离多么的小，总有$\{a_n\}$中的项是满足的。
  2. 从位置上来说是“无限”的： $\{a_n\}$中不能无论多后面总有数离$a$比较远。 也就是说，总能找到某个位置$N$，使得这个位置后面所有的$a_n$都离$a$很近。

数列极限的定义

定义 2. (数列的极限)
设有数列$\{a_n\}$和定数$a$，若$\forall \epsilon>0$，总存在自然数$N(\epsilon)$，使得当$n>N$时，成立不等式

\[|a_n-a|<\epsilon \]

则称数列$\{a_n\}$的极限是$a$，记为 $\displaystyle\color{red}\lim_{n\to+\infty}a_n=a$

这个定义式中，

  1. “$\color{blue}\forall \epsilon>0$”和“$\color{blue}|a_n-a|<\epsilon$”，表明$a_n$从数值上无限靠近$a$
  2. “总存在$\color{blue}N(\epsilon)$”和“当$\color{blue}n>N$时成立”，表明$a_n$从位置上无限靠近$a$

数列$\{a_n\}$的极限是$a$也称为$\{a_n\}$收敛于$a$，或$\{a_n\}$趋于$a$。

还可以简单地写成

\[\displaystyle \lim a_n=a \]

或者记为

\[a_n \to a, n\to\infty \]

数列$\{a_n\}$有极限$a$也称数列$\{a_n\}$是收敛的，

否则称数列$\{a_n\}$发散。

数列极限定义的框架是

$\forall\epsilon>0$, $\exists N(\epsilon)$, 满足

\[|a_n-a|<\epsilon, \quad \forall n>N \]

论证的重点： 把$N$找出来。

证明： $\lim \frac1n = 0$

找到$N$，使得$\forall n>N$满足$|\frac1n-0|<\epsilon$，也就是$n>\frac1\epsilon$。

所以，可以取$N=[\frac1\epsilon]+1$

解. $\color{red}\forall \epsilon>0$，取$\color{red}N=[\frac1\epsilon]+1$， 则当$\color{red}n>N$时，有

\[{\color{red}\left|\frac1n-0\right|<}\frac1N <\frac1{\frac1\epsilon}={\color{red}\epsilon} \]

例 2. 证明：

（1）(例2.1.2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^\alpha}=0, \alpha>0$，

（2）(例2.1.3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}q^n=0, |q|<1$

从表达式“$|a_n-a|{\color{red}<\epsilon}, \forall n{\color{red}>N}$”可以看出，

  • $\epsilon$要小。

    比如： 证明了$\forall 0<\epsilon<1$时的极限定义，则对$\forall\epsilon>0$也成立。

  • $N$可以大，不需要找到那个最小的$N(\epsilon)$。

    比如： 找到了$N_0$，则任意比$N_0$大的整数都可以当作极限定义中的$N(\epsilon)$

不需要找到最小的$N$，因而可以对$|a_n-a|$作适当放大简化，以方便得到$N(\epsilon)$。

例 3. 证明： $\displaystyle\lim\frac{n}{5+3n}=\frac13$

要找$N$，满足

\[\left|a_n-\frac13\right|=\left|\frac{n}{5+3n}-\frac13\right| =\frac5{9n+15}<\epsilon, \quad \forall n>N \]

可以

  • 取$N=\left[\frac19\left(\frac5{\epsilon}-15\right)\right]+1>\frac19\left(\frac5{\epsilon}-15\right)$
  • 或者放大表达式，得到$\frac{5}{9n+15}<\frac5{5n}=\frac1n<\epsilon$， 得到$N=[\frac1\epsilon]+1>\frac1\epsilon$

解. $\color{red}\forall\epsilon>0$，取整数$\color{red}N>\frac1\epsilon$，则

\[{\color{red}\left|a_n-\frac13\right|}=\frac{5}{9n+15} <\frac{5}{5n}=\frac1n{\color{red}<\epsilon}, {\color{red}\forall n>N} \]

$N$可以更大，因而可以要求$N$比某个数$N_0$大，然后再放大$|a_n-a|$，以方便得到$N(\epsilon)$。

例 4. 求： $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$

注意到，$\forall n\geq 2$，有

\[\begin{aligned} \sqrt[n]{n}=&\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}1\cdots1} \\ \leq &\frac1n\left(\sqrt{n}+\sqrt{n}+(n-2)\right) =1+\frac{2\sqrt{n}}n-\frac2n \\ < & 1+\frac{2}{\sqrt{n}} \end{aligned} \]

因而有 $\displaystyle|\sqrt[n]{n}-1|<\frac{2}{\sqrt{n}}, \quad \forall n\geq 2$

解. $\color{red}\forall\epsilon>0$， 取${\color{red}N=\left[(\frac{2}{\epsilon})^2\right]+1}{\color{blue}+2}$，则$\color{red}\forall n>N$，有$n>2$和$\sqrt n>\sqrt N>\frac{2}{\epsilon}$，

\[\begin{aligned} {\color{red}0<\sqrt[n]{n}-1} =&\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}1\cdots1}-1 \\ \leq &\frac1n\left(\sqrt{n}+\sqrt{n}+(n-2)\right)-1 \\ =&\frac{2\sqrt{n}}n-\frac2n < \frac{2}{\sqrt{n}} {\color{red}<\epsilon} \end{aligned} \]

显然，$\sqrt[n]n>1$，$\forall n>1$。 记$\sqrt[n]n=1+\lambda_n$，则$\lambda_n>0$。 由

\[\begin{aligned} n=(1+\lambda_n)^n=&1+n\lambda_n+\frac{n(n-1)}2\lambda_n^2+\cdots \\ >&\frac{n(n-1)}2\lambda_n^2, \quad \forall n>1 \end{aligned} \]

有

\[\lambda_n<\sqrt{\frac{2}{n-1}} \]

即对$\forall n>1$，有 $\displaystyle1<\sqrt[n]n=1+\lambda_n<1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}$

可得

\[|\sqrt[n]n-1|<\sqrt{\frac{2}{n-1}} , \forall n>1 \]

例 5. 证明： $\displaystyle \lim \frac1{\sqrt{|n^2-100n|+0.5}}=0$

解. 要直接计算满足

\[\frac1{\sqrt{|n^2-100n|+0.5}}<\epsilon \]

的$n$比较复杂。可以做适当的放大

\[\begin{aligned} \frac1{\sqrt{|n^2-100n|+0.5}}=& \frac1{\sqrt{n^2-100n+0.5}}, {\color{red}n>100}\\ <&\frac1{\sqrt{n^2-100n}} \\ <&\frac1{\sqrt{n^2/2}}=\frac{\sqrt2}n , {\color{red}n>200}\\ \end{aligned} \]

$N$只需要说明它的存在性，不需要，有时候可能没办法，给出$N(\epsilon)$的表达式。

例 6. 若数列$\{a_n\}$的奇数项及偶数项都收敛于同一极限$a$，则$\lim a_n=a$

例 7. ((习题)) 若$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{a_n}=1$

例 8. 若$a_n>0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ln({a_n})=0$

例 9. ((例2.1.4)) 证明： $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0$，

例 10. ((习题)) 若$\lim a_n=0$，$|b_n|\leq M, n=1,2,\cdots$，则$\lim a_n b_n=0$

数列极限定义的等价描述

$\forall c>\epsilon>0$, $\exists N>f(\epsilon)$, 满足

\[|a_n-a|<M \epsilon, \quad \forall n>N \]

其中$c$, $M$都是正的常数，$f(\epsilon)$是与$\epsilon$相关的一个表达式。

定义 3. (不收敛)
数列$\{a_n\}$的极限不是$\color{blue}a$的描述：$\exists \epsilon_0>0$，对$\forall N$，总$\exists n_0>N$，使得

\[|a_{n_0}-a|>\epsilon_0 \]

则称$\{a_n\}$不收敛于$a$，记为$a_n\nrightarrow a (n\to\infty)$。

如果$\{a_n\}$不收敛于任意实数，即数列$\{a_n\}$没有极限， 则称$\{a_n\}$为发散数列

例 11. (例2.1.5) 证明：$\{(-1)^n\}$是发散数列。

注意到数列极限定义中，

  • 只关心$n$充分大($n>N$)后的$a_n$是否足够靠近数$a$，

  • 因而，改变数列的有限项都不会改变数列的敛散特性。

    (包括改变有限个任意位置的项的值、删除有限个任意位置的项、在有限个任意位置插入新的项)

  • 后面对数列特性、定理的描述中，要求$\{a_n\}$满足某个特征，与$\{a_n\}$在$n$充分大后满足某个特性是相同的意思

数列极限的性质与四则运算

定理 1. (数列极限的四则运算)
数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别收敛到$a$, $b$，则

（1） 数列$\{a_n\pm b_n\}$收敛，且

\[\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty} a_n\pm\lim_{n\to\infty} b_n=a\pm b \]

（2） 数列$\{a_n b_n\}$收敛，且有

\[\lim_{n\to\infty}(a_n b_n)=\lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n=a b \]

（3） 若$b\neq 0$，则数列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$收敛，且有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{ \lim b_n}=\frac{a} b \]

推论 1.
若$a_n$收敛到$a$，则对任意实数$c$，有

\[\lim_{n\to\infty}(c a_n )=c \lim_{n\to\infty} a_n =ca \]

推论 2.
若$a_n$收敛到$a$，则对任意$m$次多项式

\[p(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_mx^m \]

有

\[\lim_{n\to\infty} p(a_n)=p(a) \]

例 12. (例2.1.7)求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+2n^2+1}{n^3+2n^2+3n+4}$

解. 因为分子和分母都没有极限，所以不能直接使用除法规则，

\[\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+2n^2+1}{n^3+2n^2+3n+4} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^3}(3n^3+2n^2+1)}{\frac{1}{n^3}(n^3+2n^2+3n+4)} \]
\[%\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+2n^2+1}{n^3+2n^2+3n+4} =\lim_{n\to\infty}\frac{3+2(\frac{1}{n})+(\frac1n)^3} {1+2(\frac1n)+3(\frac1n)^2+4(\frac1n)^3} \]
\[%\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+2n^2+1}{n^3+2n^2+3n+4} =\frac{3+2\times 0+3\times 0^3} {1+2\times 0+3\times 0^2+4\times 0^3} =3 \]

例 13. 求$\lim a_n$，其中 $\displaystyle a_n = \frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(2n-1)^2}{n^3}$

解. 如下解法是否正确？

\[\begin{aligned} \lim a_n=&\lim \left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(2n-1)^2}{n^3} \right] \\ =&\lim \frac{1^2}{n^3}+\lim\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\lim\frac{(2n-1)^2}{n^3} \\ =&0+0+\cdots+0 =0 \end{aligned} \]

无限项的和不能使用四则运算规则

解. 先求$a_n$

\[a_n=\frac1{n^3}\left[1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2\right] \]

由

\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1) \]

得到

\[1^2+2^2+\cdots+(2n)^2=\frac162n(2n+1)(4n+1) \]

而

\[\begin{aligned} &\left[1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2\right] +\left[2^2+4^2+\cdots+(2n)^2\right] \\ =&\left[1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2\right] +4\left[1^2+2^2+\cdots+(n)^2\right] \end{aligned} \]

可得

\[\begin{aligned} &\left[1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2\right] \\ =&\frac162n(2n+1)(4n+1) -4\left[1^2+2^2+\cdots+(n)^2\right] \\ =&\frac162n(2n+1)(4n+1) -4\frac16n(n+1)(2n+1) \\ \end{aligned} \]

得到

\[\begin{aligned} a_n=&\frac1{n^3}\left( (\frac{16}6-\frac86)n^3+\alpha n^2+\beta n+\gamma\right) \\ \to & \frac86 , \quad n\to\infty \end{aligned} \]

例 14. 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=a$，求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$

例 15.

  1. 若$\{x_n\}$收敛，$\{y_n\}$发散，则$\{x_n+y_n\}$, $\{x_ny_n\}$的敛散性如何？
  2. 若$\{x_n\}$,$\{y_n\}$都发散，则$\{x_n+y_n\}$, $\{x_ny_n\}$的敛散性如何？

例 16. 若$\lim(x_n-y_n)=0$，是否有$\lim x_n=\lim y_n$？

例 17. 若$\lim(x_ny_n)=0$，是否有$\lim x_n=0$或$\lim y_n=0$？

15.

（1） $x_n+y_n$一定发散。（否则，$y_n=(x_n+y_n)-x_n$就会收敛）

$x_ny_n$的敛散性不一定

  • $x_n=\frac1n$收敛， $y_n=n$发散， $x_ny_n=1$ 收敛；
  • 取$y_n=n^2$发散，但$x_ny_n=n$发散

（2）$x_n+y_n$与$x_ny_n$的敛散性都不一定。

\[\begin{aligned} x_n=\frac{1+(-1)^n}2=0,1,0,1,\cdots \\ y_n=\frac{1-(-1)^n}2=1,0,1,0,\cdots \end{aligned} \]

均发散，但$x_ny_n=0$, $x_n+y_n=1$收敛

（3） $x_n=(-1)^n$发散，$(x_n)^2=1$收敛

例 18. 数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$有界，且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(a_n+b_n)=0$，求

\[\lim_{n\to\infty}\left(a_n\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+b_n\sqrt{n^2-\sqrt{n}}\right) \]

解. 如下解法是否正确？

解. 由$\lim n(a_n+b_n)=0$，因而$\lim na_n=-\lim nb_n$，记为$\lambda$。则

\[\begin{aligned} & a_n\sqrt{n^2+\sqrt{n}}+b_n\sqrt{n^2-\sqrt{n}} \\ =&na_n \frac{\sqrt{n^2+\sqrt n}}n+nb_n\frac{\sqrt{n^2-\sqrt n}}n \\ \to & \lambda \times 1 -\lambda \times 1 \\ =&0 \end{aligned} \]

命题 1.
已知$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=b$，

  • $p(x)$是多项式， 则$\displaystyle\color{blue}\lim_{n\to\infty} p(a_n)=p(a)$
  • $\alpha > 0$, 则$\displaystyle\color{blue}\lim_{n\to\infty} \alpha^{b_n}=\alpha^b$ (作业)
  • $\beta>0$, $\beta\neq 1$, $a>0$， 则$\displaystyle\color{blue}\lim_{n\to\infty} \log_\beta a_n=\log_\beta a$ (作业)
  • 则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\color{blue} \sin(a_n)=\sin(a)$ (作业)
  • $a>0$,对$\forall \beta\in\mathbb{R}$， 有$\displaystyle\color{blue}\lim_{n\to\infty} a_n^{\beta}=a^\beta$
    • $a>0$， 则$\displaystyle\color{blue}\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}$
  • $a>0$， 则$\displaystyle\color{blue}\lim_{n\to\infty} a_n^{b_n}=a^b$

命题. 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$，则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{a_n}=e^a$。

解. 当$a=0$时，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{a_n}=e^0=1$。

当$a\neq 0$时，

取$b_n=a_n-a$，则$\lim b_n=0$，因此$\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{b_n}=1$。

可以得到

\[\lim e^{a_n}=\lim e^{a_n-a}e^a=\lim e^{b_n} e^a = {e^a} \]

命题. 若$a_n>0$且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a>0$， 则

\[\lim_{n\to\infty}\ln({a_n})=\ln(a) \]

解. 当$a=1$时，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ln({a_n})=0=\ln(1)$。

当$a\neq 1$时，

取$b_n=\frac{a_n}a$，则$\lim b_n=1$， 因此$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\ln({b_n})=0$。

可以得到

\[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \ln({a_n}) =&\lim\left[ \ln\left(\frac{a_n}a\right)+\ln(a)\right] \\ =&\lim \left[ \ln({b_n})+\ln(a)\right] = \ln(a) \end{aligned} \]

定理 2. (数列极限的唯一性)
如果$\{a_n\}$是收敛的，则$\{a_n\}$的极限是唯一的。

定理 3. (收敛数列的有界性)
如果$\{a_n\}$是收敛的，则$\{a_n\}$一定是有界数列。即$\exists M>0$，使得$|a_n|<M, \forall n$

例 19. 证明极限四则运算的乘法规则

定理 4. (收敛数列的保序性)
数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别收敛到$a$, $b$，则

（1） 若对充分大$n$，有$a_n\geq b_n$，则$a\geq b$

（2） 如果$a>b$，则当$n$充分大时，有$a_n>b_n$

问题. 若对充分大$n$，有$a_n> b_n$，则是否有$a> b$？

解. 若对充分大$n$，有$a_n> b_n$，则同样是$a\geq b$。

也就是说，仍然可能$a=b$。

如$\{a_n=\frac1{n+1}\}$, $\{b_n=\frac1{(n+1)^2}\}$有$a_n>b_n$， 但

\[\lim a_n = \lim b_n =0 \]

推论 3.
设$\{a_n\}$收敛于$a$，则

  1. 若充分大$n$成立$a_n\geq 0$，则$a\geq 0$
  2. 若$a>0$，则当$n$充分大时，$a_n>0$
  3. 若存在$b$,$c$使得当$n$充分大时，$b\leq a_n\leq c$，则$b\leq a\leq c$
  4. 若存在$b$,$c$，使得$b<a<c$，则当充分大时，$b<a_n<c$

例 20. ((习题)) 若$\lim a_n=a>0$，则存在正数$\tau>0$及自然数$N$，有

\[a_n>\tau>0, \quad \forall n>N \]

例 21. 证明极限四则运算的除法规则

定义 4. (无穷大)
若$\forall M>0$，$\exists N$，使得

\[|a_n|>M , \forall n>N \]

则称数列$\{a_n\}$发散到无穷大，或$\{a_n\}$为无穷大量，记为

\[\lim_{n\to\infty}a_n=\infty \]

若$\forall M>0$，$\exists N$，使得$a_n>M , \forall n>N$， 则记为

\[\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty \]

若$\forall M>0$，$\exists N$，使得 $a_n<-M , \forall n>N$，则记为

\[\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty \]

定义 5. (无穷小)
若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$，则称$\{a_n\}$为无穷小量

推论 4.
若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$，则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=0$

例 22. 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$，且数列$\{b_n\}$有界。则有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=0$

定理 5. (Stoltz定理)
(1) 数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$的极限均为$0$，$\{y_n\}$严格单调，且

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=l \]

则有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=l \]

(2) 数列$\{y_n\}$的极限均为$\infty$，$\{y_n\}$严格单调，且

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=l \]

则有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=l \]

例 23. 设$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$，则

（1） $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n=a$

（2） 当$a_n>0$，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}=a$

例 24. 设$x_n>0$，且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=r$，则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=r$

例 25. 求极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt2+\cdots+\sqrt[n]n}n$

Stoltz定理对$l=\infty$的情形，也成立。

例 26. 当$a>1$时，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}n=+\infty$

数列收敛的判别法则

夹逼原理

定理 6. (两边夹原理(Squeeze Theorem, Pinching Theorem, 迫敛法)
如果数列$\{b_n\}$, $\{c_n\}$都收敛于$l$，且对充分大$n$，有

\[b_n\leq a_n\leq c_n \]

则有

\[\lim_{n\to\infty}a_n=l \]

注. 小明的哥哥与妹妹是同一天生的，则小明一定也是这一天生的。进而，他们是三胞胎。

注. 下课了，你的两个好朋友夹着你就去了图书馆，因此，你也必定去了图书馆。

所以，交友要慎重。一定要远离那些不吃午饭的人。

注. 你的宿舍的老大和老三都有对象了，那么做为老二的你，为什么还没对象？

例 27. （例2.1.8）设$\alpha>0$，求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}$

解. 注意到$\displaystyle 1<\sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}<{1+\frac{1}{n^\alpha}}$

例 28. (例2.1.9)求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right)$

解. 将和式记为$S_n$，则有 $\displaystyle\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} > S_n > \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$

例 29. (例2.1.10)求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}, \quad a>0$

例 30. 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n^k}{a^n} , \quad a>1, k>0$

例 31. 证明，$\forall k>0$，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^k}=0$

例 32. 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$，则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{[na_n]}n=a$

例 33. 设$x_n\neq 0$，且有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=0$，求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$

例 34. 求$\displaystyle \lim \sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n}$，其中$a_1,\cdots,a_m$是$m$个正数。

解. 不防设$a_1>a_2>\cdots>a_m$，则

\[\sqrt[n]{a_1^n}<\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n}<\sqrt[n]{ma_1^n} \]

例 35. 求

\[\lim\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n}\right) \]

单调有界原理

定理 7. (单调有界数列收敛)
$\{a_n\}$单调，则$a_n$收敛当且仅当$a_n$有界。进一步，

  • 当$\{a_n\}$单调增时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\sup\{a_n\}$；
  • 当$\{a_n\}$单调减时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\inf\{a_n\}$；

例 36. (例2.1.11)判定$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$的收敛性。

例 37. 求极限

（1）(例2.1.12) $a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}$

（2）(例2.1.13) $a_1=1$, $\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$

应用单调有界原理，需要先判定数列的单调、有界性。

可以通过观察数列的前若干项，做出猜测，然后(用归纳法)证明。

例 38. 若$0<x_1<3$，且$x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}$，求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$

解. 由表达式

\[0<\sqrt{x_n(3-x_n)}\leq \frac{x_n+(3-x_n)}2=\frac32 \]

例 39. 已知$x_1=\frac19$， $\displaystyle x_{n+1}=\frac12\left(1+\frac1{x_n}\right)$。 证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$存在，并求其值。

例 40. (Gauss数)$a>b>0$，取

\[a_1=\frac{a+b}2 , b_1=\sqrt{ab} \]
\[a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2 , b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n} \]

判定$a_n$, $b_n$的收敛性

例 41. [习题] $a_0>0$, $\displaystyle a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)$，证明$\lim a_n$存在，并求其值。

  • 单调有界原理是实数完备性“公理”之一。
  • 事实上，若用“无限不循环小数”的方式来扩充有理数的话，可以直接证明单调有界原理

Cauchy收敛原理

定义 6. (Cauchy数列)
数列$\{a_n\}$称为Cauchy数列，若$\forall \epsilon>0$, $\exists N=N(\epsilon)$为正整数，使得

\[|a_m-a_n|<\epsilon, \quad \forall m,n>N \]

例 42. 数列$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$是Cauchy序列

定义 7. (非Cauchy数列)
数列不是Cauchy数列，若$\exists \epsilon_0>0$， 使得对$\forall N$，都存在$n_0,m_0>N$，满足

\[|a_{m_0}-a_{n_0}|>\epsilon_0 \]

定义 8. (Cauchy数列)
数列$\{a_n\}$称为Cauchy数列，若$\forall \epsilon>0$, $\exists N=N(\epsilon)$为正整数，使得

\[|a_{n+p}-a_n|<\epsilon, \quad \forall n>N, \forall p\in\mathbb{N} \]

定理 8. (Cauchy收敛准则)
数列收敛的充要条件是其为Cauchy数列

  • Cauchy收敛准则是实数完备性“公理”之一。
  • Cauchy数列只跟序列自身的特性有关，因此同样可以在有理数域上定义Cauchy序列。
  • 有理数域上并不满足Cauchy收敛准则。因为有些Cauchy序列收敛不到一个有理数。
  • 可以将Cauchy准则作为“公理”。
  • 当有理数组成的Cauchy序列没有收敛到有理数时，就认为它构造了一个无理数。

例 43. (例2.1.14) $a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{\sin(k)}{k^2}$，证明$a_n$收敛

例 44. (例2.1.15) $a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$，证明$a_n$发散

例 45. $a_n=\frac{\cos1!}{1\times2}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}$收敛

例 46. 数列$a_n=\sin(n)$发散

定义 9. (子列)
若$\{p_n\}$为自然数集的一个无穷子集，则$\{a_{p_n}\}$为数列$\{a_n\}$的一个子列。

(习题): 从数列$\{a_n\}$中挑选出无限多项，并按照它们在原数列中的出现顺序排成一个数列

\[a_{p_1}, a_{p_2}, \cdots, a_{p_n} \]

则数列$\{a_{p_n}\}$为数列$\{a_n\}$的一个子列。

定理 9.
若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$， 则任意一个子列$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{p_n}=a$

命题. 若存在一个子列$\{a_{p_n}\}$发散，则$\{a_n\}$发散。

命题. 若存在2个子列$\{a_{p_n}\}$，$\{a_{q_n}\}$分别收敛到2个不同的数，则数列$\{a_n\}$发散。

例 47. 求数列$a_n=(-1)^n$的敛散性

问题. 若数列有两个子列$\{a_{p_n}\}$，$\{a_{q_n}\}$均收敛到$a$，能否推出$\lim a_n=a$？

解. 不一定

问题. 若数列有无穷个子列$\{a_{p_n}\}$，$\{a_{q_n}\}$均收敛到$a$，能否推出$\lim a_n=a$？

解. 不一定

例 48. (习题) 若$\{a_n\}$的奇序列$\{a_{2n-1}\}$和偶序列$\{a_{2n}\}$都以$a$为极限，则$\{a_n\}$收敛到$a$。

例 49. (习题) 若$\{a_n\}$的子列$\{a_{3n-2}\}$, $\{a_{3n-1}\}$和$\{a_{3n}\}$都以$a$为极限，则$\{a_n\}$收敛到$a$。

自然对数底$e$

设初始本金为$p$元，银行年利率为$r$。考虑复利模型。

  • $n$年后，本金和利息共有$a_n=p(1+r)^n$
  • 假定在一年内，分$m$次支付利息，每次的利息为$\frac{r}m$，并按复利计算，则一年可以得到的本息和为
    \[s_m=p\left(1+\frac{r}m\right)^m \]

可以看到，$p=1$, $r=0.1$时，有$s_m$为

\[1.1, 1.1025, 1.10337, \cdots,1.1051558_{365},\cdots \]

问题. 如果支付次数为无穷次，得到的钱会无穷多吗？

复利模型的神奇

曼哈顿岛300年前，以50美元买入。如果做投资，以年10%的利率计，现在可以得到本息共多少？

\[50\times(1+0.1)^{300}=130850549809423.17=1.30\times 10^{14} \]

有生之年，可以投资60年

\[50\times(1+0.1)^{60}=15224.08 \]

股神

\[(1+0.22)^{50} = 20796.56, \quad (1+0.22)^{40} = 2847.038 \]

关于努力

\[1.01^{365} = 37.78, 1.01^{30}=1.35, 1.011^{365}=54.22 \]
\[1.02^{365} = 1377.41, 1.02^{30}=1.81 \]

数列

\[e_n=\left(1+\frac{1}n\right)^n \]

定理 10.
数列$\{e_n\}$单调增且有上界，因而是收敛数列

记 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}e_n=e$，称为自然对数底。

$e$有近似值$e\approx 2.71828182...$

例 50. (例2.1.16) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^{-n}$

例 51. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^{n^2}$

例 52. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2+\sum_{k=2}^n\frac1{k!}\right)=e$

例 53. 证明，对任意自然数$n$，有

\[\displaystyle e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\cdots+\frac1{n!}+\frac{1}{n!}\frac{\theta}{n}, \theta\in(0,1] \]

例 54. $\displaystyle d_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$，则$d_n$单调减，极限也为$e$。

这样，就可以得到

\[\left(1+\frac1n\right)^n < e < \left(1+\frac1n\right)^{n+1} \]

进而，有

\[\frac1{n+1}<\ln\left(1+\frac1n\right)<\frac1n \]

例 55. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

实数的完备性

定理 11. (确界原理)
非空有上界数集必有上确界。

定理 12.
单调递增有上界的数列是收敛数列。

定理 13. (Cauchy收敛准则)
数列收敛的充要条件是它为Cauchy列。

定理 14. (区间套定理)
设有闭区间列$\{[a_n,b_n]\}$，满足：

(1) $[a_1,b_1]\supset[a_1,b_2]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots$

(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$

则存在唯一的一点$\xi$属于所有的闭区间，即 $\displaystyle\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n,b_n]$

如果用刀来砍数轴的话，较厚的刀刃砍下来的是较长的区间。

当刀刃越来越薄的时候，得到的区间越来越小。

即便刀刃薄到0，还是能切到一个点。说明实数是没有“空隙”的。

定理 15. (Bolzano定理)
有界数列必有收敛的子列。

后面会用到。

定理 16. (Borel有限覆盖定理)
如果开区间集合$S$覆盖了闭区间$[a,b]$，则$S$中存在有限个开区间也覆盖了闭区间$[a,b]$。

目录

本节读完

例 56. $\{p_n\}$为趋于$+\infty$的任意数列，$\{q_n\}$为趋于$-\infty$的任意数列，则

\[\lim_{n\to\infty}(1+\frac1{p_n})^{p_n}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1{q_n})^{q_n}=e \]

例 57. $r$为实数，求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n}$

解. 由前面，

\[\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n} =\left(\left(1+\frac1{\frac{n}{r}}\right)^{\frac{n}r}\right)^r \to e^r, n\to\infty \]

例 58. 设$k$为自然数，

\[\displaystyle z_n=\frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}} \]

求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n$， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(z_n-\frac1{k+1}\right)$

例 59. 求$\displaystyle \lim \left(\frac{\sin\frac{\pi}n}{n+1}+\frac{\sin\frac{2\pi}n}{n+\frac12}+\cdots+\frac{\sin\frac{n\pi}n}{n+\frac1n}\right)$

例 60. 证明极限存在

(1) $\displaystyle \lim \left(\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}\right)$

(2) $\displaystyle \lim \left(1+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n\right)$

例 61. 谢谢

61.