函数极限

极限理论

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数极限

函数极限的定义

定义 1. (函数在$+\infty$处的极限)
$f(x)$在$[a,+\infty)$上定义，$l$为给定的数。

若$\color{blue}\forall \epsilon>0$, $\color{blue}\exists M=M(\epsilon)>|a|$，满足

\[\color{blue}|f(x)-l|<\epsilon, \quad \forall x>M \]

则称$x\to+\infty$时，$f(x)$的极限为$l$，记为

\[\color{red}\lim_{x\to+\infty}f(x)=l \]

或

\[f(x)\to l , x\to+\infty \]

定义 2. (函数在$-\infty$处的极限)
$f(x)$在$(-\infty,a]$上定义，$l$为给定的数。

若$\forall \epsilon>0$, $\exists M=M(\epsilon)>|a|$，满足

\[|f(x)-l|<\epsilon, \quad \forall x<-M \]

则称$x\to-\infty$时，$f(x)$的极限为$l$，记为 $\displaystyle\color{red}\lim_{x\to-\infty}f(x)=l$，或

\[f(x)\to l , x\to-\infty \]

如果既允许$x\to+\infty$，也允许$x\to-\infty$，则记为

\[\color{red}\lim_{x\to\infty}f(x)=l \]

例 1. (例2.2.1) 证明： 当$k\in\mathbb{N}$，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac1{x^k}=0$

例 2. 证明： 当$k\in\mathbb{N}$，$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt[k]{x}}=0$

例 3. 证明： 对$\alpha<0$，$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{\alpha}=0$

例 4. (例2.2.3) 证明： 对$a>1$，有$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}{a^x}=0$

例 5. 由$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}n=0$， 试求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$和 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^k}$, $k>0$为常数。

定义 3. (函数在一点的极限)
函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\{x| 0<|x-x_0|<\eta\}$内定义，$l\in \mathbb{R}$，若$\color{blue}\forall \epsilon>0$， $\color{blue}\exists \delta=\delta(x_0,\epsilon)>0$，满足

\[\color{blue}|f(x)-l|<\epsilon, \quad \forall x\in\{0<|x-x_0|<\delta\} \]

则称$x\to x_0$时，$f(x)$的极限 存在，且为$l$，记为

\[\color{red}\lim_{x\to x_0}f(x)=l \]

或

\[f(x)\to l , x\to x_0 \]

例 6. (例2.2.4) 求$\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\frac1x$

例 7. 证明，对任意实数$a$，有

\[\lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a), \lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a) \]

例 8. 已知$a>1$时，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a^{\frac1n}=1$， 求$\displaystyle\lim_{x\to0}a^x$

例 9. 证明$\displaystyle\lim_{x\to1}\ln x=0$

定义 4. (函数的左、右极限)
函数$f(x)$在$x_0$的左邻域$\{x|x_0-\eta<x<x_0\}$内有定义，$l$是给定的数。若对$\forall \epsilon>0$, $\exists\delta=\delta(\epsilon,x_0)\in(0,\eta)$，使得

\[|f(x)-l|<\epsilon, \forall x_0-\delta<x<x_0 \]

则称$f(x)$在$x_0$左极限为$l$，记为

\[\color{red}\lim_{x\to x_0^-}f(x)=l \]

或者

\[\color{red}f(x_0^-)=l \]

类似，可以定义函数$f(x)$的右极限，记为

\[\color{red}\lim_{x\to x_0^+}f(x)=l , \quad \ \ \ f(x_0^+)=l \]

函数$f(x)$在$x_0$的右邻域$\{x|x_0<x<x_0+\eta\}$内有定义，$l$是给定的数。若对$\forall \epsilon>0$, $\exists\delta=\delta(\epsilon,x_0)\in(0,\eta)$，使得

\[|f(x)-l|<\epsilon, \forall x_0<x<x_0+\delta \]

则称$f(x)$在$x_0$右极限为$l$，记为

\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)=l \]

或者

\[f(x_0^+)=l \]

例 10. (例2.2.6) 符号函数

\[\mbox{sgn}(x)=\begin{cases} & 1, x>0 \\ & 0, x=0 \\ & -1, x<0 \end{cases} \]

在$0$处左、右极限

例 11. $\displaystyle\lim_{x\to0+}x^\alpha=0$，$\alpha>0$

定理 1.
函数$f(x)$在$x_0$的去心邻域有定义，则$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$存在的充要条件是，$f(x)$在$x_0$的单侧极限$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$和$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$都存在且相等

函数在点$x_0$处的极限(左极限、右极限)与函数在$x_0$处的函数值没有关系。

函数在点$x_0$处可以没有定义，但它在$x_0$处的极限(左极限、右极限)可以存在。

定义 5. (无穷大量)
函数$f(x)$在$x_0$附近有定义，若对任意$M>0$，$\exists\delta>0$，满足

\[|f(x)|>M , \forall 0<|x-x_0|<\delta \]

则称$x\to x_0$时，$f(x)$为无穷大量,记为

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty \]

类似，可以定义$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty$,$\displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x)=\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0+}f(x)=\infty$,$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, $\cdots$ 等情形

函数的极限有6种形式，

  • $x\to+\infty$, $x\to-\infty$, $x\to\infty$,
  • $x\to x_0$, $x\to x_0^-$, $x\to x_0^+$

通常以$x\to x_0$为例来描述极限相关的特性(或定理)， 而这些特性通常可以推广到其它的极限形式。

定理 2.
设$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则有$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=0$

设$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0$，则有$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=\infty$

定理 3.
设$g(x)$在$x_0$附近有界，$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0$，则有

\[\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=0 \]

定理 4. (函数极限与数列极限的关系)
函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内定义，则$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=l$的充要条件是，任意以取值异于$x_0$而以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}$，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$

注. 实际上，只要有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)$存在，就可以证明这些极限值是同一个。

条件“取值异于$x_0$”很重要。

如$f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$， 则$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1$。

取$\{x_n\}$为$\{1,0,\frac12,0,\cdots,\frac1n,0,\cdots\}$，$\lim x_n=0$,

则$\{f(x_n)\}$是$\{1,0,1,0,\cdots,1,0,\cdots\}$，没有极限。

实际上，若任意以取值异于$x_0$而以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}$，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)$存在，则这些极限是一样的。

解. 否则，若有$a_n\to x_0$, $b_n\to x_0$，有$f(a_n)\to a$, $f(b_n)\to b$,并且 $a\neq b$，则取$c_n=\{a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots\}$，则$c_n\to x_0$，但$f(c_n)$无极限。 矛盾

这个定理是沟通函数极限和数列极限的桥梁，通常用来证明某些函数极限不存在

例 12. (例2.2.10) 证明：当$x\to 0$时，$f(x)=\sin\frac1x$的极限不存在

例 13. 证明：当$x\to+\infty$时，$f(x)=\cos(x)$的极限不存在

例 14. 证明：Dirichlet函数

\[D(x)=\left\{\begin{aligned} 1, x\in \mathbb{Q} \\ 0, x\notin \mathbb{Q} \end{aligned}\right. \]

在任意一点的极限不存在。

函数极限的性质与四则运算

定理 5. (函数极限的四则运算法则)
设$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=l_2$,

(1) 函数$f(x)\pm g(x)$的极限也存在，且有

\[\lim_{x\to x_0}f(x)\pm g(x)=l_1\pm l_2 \]

(2) 乘积函数$f(x)g(x)$的极限也存在，且

\[\lim_{x\to x_0}f(x) g(x)=l_1 l_2 \]

(3) 若$l_2\neq 0$，则函数$\frac{f(x)}{g(x)}$的极限也存在，且

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l_1}{ l_2} \]

推论 1.
$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1$, 则对任意常数$c$，有

\[\lim_{x\to x_0}c f(x)=c \lim_{x\to x_0}f(x) = c l_1 \]

例 15. 若$p_n(x)$是次数不高于$n$次的多项式，则对任意数$a$，有$\displaystyle\lim_{x\to a}p_n(x)=p_n(a)$

例 16. (例2.2.7) $\displaystyle\lim_{x\to-1}(\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x^3+1})$

例 17. (例2.2.8) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

例 18. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac{n}m}-1}x$, $m,n\in\mathbb{N}$

例 19. (例 2.2.11) $\displaystyle\lim_{x\to 0}a^x =1$, $a>0$ (前面证明 $a>1$)

定理 6. (函数极限的唯一性)
函数极限如果存在，则唯一

定理 7. (局部有界性)
若函数极限$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_0$附近有界。即存在$\delta>0$和$M>0$，使得

\[|f(x)|<M, \forall x\in\{x|0<|x-x_0|<\delta\} \]

例 20. 证明函数极限的乘法规则

定理 8. (函数极限的比较定理)
设$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=l_2$,

(1) 如果在$x_0$附近有$f(x)\geq g(x)$，则$l_1\geq l_2$

(2) 如果$l_1>l_2$，则在$x_0$附近有$f(x)>g(x)$

定理 9. (函数极限的保号性)
设$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=l$,

(1) 如果在$x_0$附近有$f(x)\geq 0$，则$l\geq 0$

(2) 如果$l>0$，则存在$\tau>0$，满足$x_0$附近成立$f(x)>\tau>0$

例 21. 证明极限运算的除法规则

复合函数的极限

定理 10. (复合函数的极限)
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$存在； 又设$x=\phi(t)$， $\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(t)=x_0$， 且存在$\tau>0$, 有

\[\phi(t)\neq x_0, \quad \forall 0<|t-t_0|<\tau \]

则有

\[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t))=\lim_{x\to x_0}f(x) \]

例 22. (复合函数极限的条件) 取

\[f(x)=\begin{cases} & 1, x\neq 0 \\ & 0, x=0 \end{cases} , \quad \psi(t)=t\sin\frac1t, (t\neq 0) \]

则$\displaystyle\lim_{t\to 0}\psi(t)=0$, $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1$。 而$f(\psi(t))$为

\[f(\psi(t))=\left\{\begin{aligned} 0,\quad &t=\frac1{2n\pi} \\ 1,\quad &t\neq 0\ \mbox{and}\ t\neq\frac1{2n\pi} \end{aligned} \right. \]

则$\displaystyle\lim_{t\to 0}f(\psi(t))$不存在(为什么？)。

取Riemann函数，

\[R(x)=\begin{cases} &\frac1q , x=\frac{p}{q} , p,q\mbox{ is coprime} \\ & 0 , x\notin\mathbb{Q} \end{cases} \]

则$\displaystyle\lim_{x\to0}R(x)=0$，而$f(R(t))$在任意实数处的极限不存在。

\[f(R(t))=D(t)=\left\{\begin{aligned} 0, & x\in\mathbb{Q} \\ 1, & x\notin\mathbb{Q} \end{aligned} \right. \]

例 23. (注 2.2.2) $a>0$时，有$\displaystyle\lim_{x\to b}a^x =a^b$, $\displaystyle\lim_{x\to a}\ln x=\ln a$

命题 1. (幂指函数的极限)
若$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A>0$, $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=B$，则

\[\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=A^B \]

问题. $\displaystyle\lim_{x\to0}e^{x\sin\frac1x}=1$成立吗？

解. 不能直接由复合函数极限规则来判断，需要自行证明。

例 24. 若$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，则$\displaystyle\lim_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^a$

现在已经证明：

  • 关于$e^x$, $\ln x$，有
    \[\begin{aligned} &\lim_{x\to a}\ln x=\ln a (a>0), && \lim_{x\to b}e^x=e^b, \\ &\lim_{x\to 0+}\ln x=-\infty, && \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty, \\ &\lim_{x\to -\infty}e^x=0+, && \lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty, \\ \end{aligned} \]
  • 关于幂函数$x^b, x>0$，有
    \[\begin{aligned} &\lim_{x\to a}x^b=a^b (a>0), && \lim_{x\to 0+}x^b=0 \\ &\lim_{x\to+\infty}x^b=+\infty (b>0) , && \lim_{x\to+\infty}x^b=0+ (b<0) \\ \end{aligned} \]

  • 关于三角函数$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$，有

    \[\begin{aligned} &\lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a) , && \lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a) \\ &\lim_{x\to a}\tan x=\tan a (a\neq \pm\frac{\pi}2) \\ &\lim_{x\to \frac{\pi}2+}\tan x=-\infty, && \lim_{x\to \frac{\pi}2-}\tan x=+\infty \\ %&\lim_{x\to -\frac{\pi}2+}\tan x=-\infty, && \lim_{x\to -\frac{\pi}2-}\tan x=+\infty \\ \end{aligned} \]

    且$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sin(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cos(x)$不收敛。

  • 关于反三角函数

    \[\lim_{x\to +\infty} \arctan(x)=\frac{\pi}2, \lim_{x\to -\infty} \arctan(x)=-\frac{\pi}2, \]
\[\lim_{x\to \frac{\pi}2+}\tan x =\lim_{x\to \frac{\pi}2+}\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}2+}\sin x} {\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}2+}\cos x} =\frac{1}{0+} \]

[习题2.2(1-1) ] 按定义证明 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \arctan(x)=\frac{\pi}2$

证明. 对$\color{red}\forall \frac{\pi}4>\epsilon>0$，取$\color{red}M=\tan(\frac{\pi}2-\epsilon)>0$， 则当$x>M$时，有$\arctan(x)>\arctan(M)$，从而

\[\frac{\pi}2>\arctan(x)>\arctan(M)=\frac{\pi}2-\epsilon \]

即

\[\color{red} 0>\arctan(x)-\frac{\pi}2>-\epsilon, \forall x>M \]

复合函数的极限在应用过程中，就是不断变量代换的过程

例 25. (例2.2.12) $\displaystyle\lim_{x\to 1-}\left(\sqrt{\frac1{1-x}+1}-\sqrt{\frac1{1-x}-1}\right)=0$

例 26. 求$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}$

例 27. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$

复合函数的极限也可以用在$\pm\infty$的情形：

设函数$f(x)$在$x\geq a$有定义，$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$存在； 又设$x=\phi(t)$， $\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(t)=+\infty$， 则有

\[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t))=\lim_{x\to x_0}f(x) \]

例 28. [习题] $\displaystyle \lim_{x\to a}\arctan\frac1{x-a}$

函数极限的判别法则

与数列极限类似的

$\blacktriangleright$ 夹逼原理

$\blacktriangleright$ 单调有界原理

$\blacktriangleright$ Cauchy收敛准则

夹逼原理

定理 11. (函数极限的两边夹定理)
当$x\to x_0$时，有$g(x)\to l$, $h(x)\to l$。且在$x_0$附近有

\[g(x)\leq f(x)\leq h(x) \]

则有

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=l \]

例 29. (例 2.2.13) 求极限$\displaystyle\lim_{x\to 0+}x\left[\frac1x\right]$

例 30. 证明$\displaystyle\lim_{x\to0}\cos(x)=1$, $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$

单调有界判别法

定理 12. (函数极限的单调有界判别法)
单调有界函数在其区间上每一点都有左、右极限。特别地，$f(a+)$, $f(b-)$存在。进一步地，如果$f(x)$在$(a,b)$内单调增，则有

\[f(x_0-)\leq f(x_0)\leq f(x_0+) \]

如果$f(x)$在$(a,b)$内单调减，则有

\[f(x_0-)\geq f(x_0)\geq f(x_0+) \]

Cauchy收敛准则

定理 13. (Cauchy收敛准则)
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，则$f(x)$在点$x_0$处有极限的充要条件是：

$\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0$, 使得对任意$x', x''$属于$x_0$的$\delta$去心邻域， 即$0<|x'-x_0|<\delta, 0<|x''-x_0|<\delta$时，成立

\[\begin{aligned} |f(x')-f(x'')|<\epsilon %, \forall & 0<|x'-x_0|<\delta, \\ & 0<|x''-x_0|<\delta \end{aligned} \]

注. Cauchy准则通常用来判别某个极限不存在

函数$f(x)$在$x_0$处的极限不存在的Cauchy准则是什么？

解. $\exists \epsilon_0>0$，使得对$\forall \delta>0$， 都存在$x_0$的$\delta$去心邻域内的两个点$x', x''$， 即$0<|x'-x_0|<\delta, 0<|x''-x_0|<\delta$，成立

\[|f(x')-f(x'')|>\epsilon_0 \]

例 31. 用Cauchy准则来判定$x\to0$时，$\sin\frac1x$是否存在极限？

简单理解来说，就是总能在$x_0$附近找到两个点$x', x''$，使得$|f(x')-f(x'')|>\epsilon_0$

解. 对于$\epsilon_0=\frac12$， $\forall\delta>0$，找到整数$N>\frac{1}{2\pi\delta}$， 取$x'=\frac1{2\pi N}$, $x''=\frac1{2\pi N+\frac{\pi}2}$， 则

\[0<x''<x'<\delta, \quad [x',x''\in B_0^+(0,\delta)] \]

(即$x',x''$在$0$的$\delta$去心邻域内)，成立

\[|\sin(x')-\sin(x'')|=|0-1|=1>\epsilon_0 \]

函数$f(x)$在$+\infty$处的极限存在的Cauchy准则是什么？

解. $\forall \epsilon>0$, $\exists M>0$, 使得对任意$x', x''>M$，成立

\[\begin{aligned} |f(x')-f(x'')|<\epsilon \end{aligned} \]

函数$f(x)$在$+\infty$处的极限不存在的Cauchy准则是什么？

解. $\exists \epsilon_0>0$, 对$\forall M>0$, 总能找到$x', x''>M$，成立

\[\begin{aligned} |f(x')-f(x'')|>\epsilon_0 \end{aligned} \]

例 32. 用Cauchy准则证明$x\to+\infty$时，$\sin x$的极限不存在。

两个重要的的极限及其应用

命题 2.
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$

命题 3.
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^{x}=e$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac1x}=e$

例 33. [例2.2.14] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}x$

例 34. [例2.2.15] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$

例 35. $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}$

例 36. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos^2x}}{\sin^2x}$

例 37. [例2.2.16] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos\frac{\phi}2\cos\frac{\phi}{2^2}\cdots\cos\frac{\phi}{2^n}$，其中$\phi\neq0$

例 38. [例2.2.17] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$

例 39. [例2.2.18] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}$ ,

例 40. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}$

例 41. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln\cos(ax)}{\ln\cos(bx)}$

例 42. [例2.2.20] $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$

例 43. [例2.2.19] $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{x}n\right)^{n}$

若$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=1$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$， 则$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}$是$1^{\infty}$形态的不定式。

解. 由

\[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} =&\lim_{x\to x_0}(1+f(x)-1)^{g(x)} \\ =&\lim_{x\to x_0}\left((1+f(x)-1)^{\frac1{f(x)-1}}\right)^{(f(x)-1)g(x)} \\ \end{aligned} \]

令$t=f(x)-1$，可以得到

\[\lim_{x\to x_0}\left((1+f(x)-1)^{\frac1{f(x)-1}}\right)=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t}=e \]

若$\displaystyle\lim_{x\to x_0}{(f(x)-1)g(x)}=a$， 则$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^{a}$。

例 44. [例2.2.21] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^x+b^x}2\right)^{\frac1x}$, $a,b>0$

例 45. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sin\frac1x+\cos\frac1x\right)^{x}$

谢谢

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补充例题，挑战一下

例 46. (Cauchy定理) 若$f(x)$在$(a,+\infty)$上定义，且在每个有界的区间$(a,b)$上有界，则(下式右端极限存在时)

(a) $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to +\infty}(f(x+1)-f(x))$

(b) 若$f(x)\geq c>0$，则

\[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)\right)^{\frac1x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)} \]

例 47. (函数形式的Stolz定理) (1) 若$f(x),g(x)$在$(a,+\infty)$上定义，且在每个有界的区间$(a,b)$上有界，

(2) $g(x)$当$x>a$时满足$g(x+1)>g(x)$，且

\[\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \]

则(下式右端极限存在时)

\[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)-f(x)}{g(x+1)-g(x)} \]

例 48. $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)=e^x$

例 49. Thanks

49.