无穷小量与无穷大量

极限理论

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

无穷小量与无穷大量

无穷小量及其比较

定义 1. (无穷小量)
若一个量在某个变化过程中极限为$0$，就称它为无穷小量

例 1. $n\to+\infty$时，

  • $\displaystyle \frac1{n^\alpha}\ (\alpha>0)$和 $|q|^n\ (|q|<1)$是无穷小量
  • $\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n-e$和 $\displaystyle \frac{2n}{n+100}-2$也是无穷小量

例 2. 对于函数来说，

  • $x\to+\infty$时，$\displaystyle \frac1{x^k}(k>0)$,
  • $x\to 0$时，$\displaystyle x\sin\frac1x$, $\displaystyle \frac{\sin x}{x}-1$,

$0$是无穷小量，但无穷小量不是$0$。

若$\lim a_n=a$，则$a_n-a$是一个无穷小量。

因此，可以说，任何形式的极限都可以归结为无穷小量的极限。

定理 1.
有限个无穷小量的代数和及其积仍是无穷小量

若对$i=1,2,\cdots,m$，有$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\alpha_i(x)=0$。 则

\[\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^m \alpha_i(x)=0 \]

$m$个数列$\{a^{(i)}_n\}$, $i=1,\cdots,m$，满足

\[\lim a^{(i)}_n=0, \quad i=1,2,\cdots,m \]

则

\[\lim \sum_{i=1}^m a^{(i)}_n =0 \]

下面的说法是否正确？

有无穷小量$\{\frac1n\}$,$\{\frac1{n+1}\}$,$\cdots$,$\{\frac1{n+m}\}$，则

\[\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n+m} \to 0, n\to\infty \]

有无穷小量$\{\frac1n\}$,$\{\frac1{n+1}\}$,$\cdots$,$\{\frac1{n+n}\}$，则

\[\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n+n} \to 0, n\to\infty \]

定义 2.
若一个变量在某个变化过程中始终保持有界，则称它为在这个变化过程中的有界变量。

$x\to x_0$时，$f(x)$是有界变量是指，存在$\delta>0$, $M>0$，有

\[|f(x)|<M, \forall 0<|x-x_0|<\delta, % \mbox{or} x\in B_0(x_0,\delta) \]

函数$f(x)$在$x\in\mathbb{R}$上有定义，且$f(0)$是有界的， 是否表明$x\to 0$时，$f(x)$是有界变量？

定理 2.
无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量

函数$f(x)$在$x\in\mathbb{R}$中有定义，

\[f(x)=\begin{cases} p, & x=\frac{q}p\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases} \]

可以看到：

  • $f(x)$以$1$为周期。

  • $f(x)$在任意一个实数上有定义，是有界的。

    但在任何一个小区间上是无界的。

若$f(x)$在区间$[a,b]$上是有界的。由$f(x)$以1为周期，因此可以假定$[a,b]\subset[0,1]$。记

\[|f(x)|\leq M, x\in[a,b] \]

则

  • 对$[a,b]$中的有理数$\frac{q}p$，有$0<p\leq M$。
  • 又$0\leq q\leq p$，因此$\frac{q}p$的个数是有限的。
  • 即$[a,b]$区间中的有理数是有限个，显然与有理数在实数集中稠密性矛盾。

因此，$f(x)$在任何区间上是无界的。

定义 3. (无穷小量的比较)
设同一变化过程中（以$x\to x_0$为例），变量$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷小量，并且$\beta(x)\neq 0$。

  1. 如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A\neq 0$为一有限数，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小量。

若$A=1$，则称$\alpha(x)$和$\beta(x)$是等价无穷小，记为

\[\alpha(x) \sim \beta(x) , x\to x_0 \]

例 3. $\displaystyle \frac{\sin x}x=1$，因此，$x\to0$时，$\sin x\sim x$

  1. 如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$更高阶的无穷小量，记为
    \[\alpha(x)=o(\beta(x)), x\to x_0 \]

$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$也可以表示为

\[\alpha(x)=o(1), x\to x_0 \]

例 4. 由$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$，知道， $x\to0$时，$1-\cos x$是比$x$更高阶的无穷小量，可以记为

\[1-\cos x = o(x), x\to 0 \]

  1. 如果存在正数$M>0$，使得在$x_0$附近有

    \[\displaystyle\left|\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right|\leq M \]

    则记为

    \[\alpha(x)=O(\beta(x)), x\to x_0 \]

    $\alpha(x)=O(1), x\to x_0$就表示$\alpha(x)$在$x_0$附近有界。

例 5. $\displaystyle x\sin\frac1x = O(x), x\to 0$

例 6. (例2.3.3) 当$x\to 0$时，有一些常用的等价关系

\[\begin{aligned} \sin(x) \sim x &,& \tan x \sim x \\ e^x-1 \sim x &,& \ln(1+x) \sim x \\ (1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x &,& \\ \arcsin(x) \sim x &,& \arctan x \sim x \\ 1-\cos x \sim \frac12 x^2 &,& \\ \end{aligned} \]

解. 对$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$，作变量代换$t=\sin x$，

则$x\to0$时，有$t\to0$，因此

\[1=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{t\to0}\frac{t}{\arcsin(t)} \]

同样，利用变量代换可以得到，

若$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=0$，且有$x_0$的去心领域中$f(x)\neq 0$，则有

$x\to x_0$时，$\sqrt[n]{1+f(x)}-1 \sim \frac1n f(x)$

类似可以得到

  • 由$x\to0$时，$2x\to0$。因此$x\to 0$时，$\tan(2x)\sim 2x$。
  • $x\to 0$时，$\sqrt[n]{1+\sin x}-1 \sim ?$。
    \[\sqrt[n]{1+\sin x}-1 \sim \frac{\sin x}n \]

定理 3. (等价无穷小量代换)
$x\to x_0$时，$\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\alpha_1(x)$, $\beta_1(x)$都是无穷小量，且$\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$, $\beta(x)\sim\beta_1(x)$，如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}$存在，则有

\[\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)} \]

例 7. [习题] 求$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\tan(2x)\cdot \arcsin(x)}{\sin(3x)\cdot\arctan(2x)}$

解. 由$x\to0$时，$\tan(2x)\sim 2x$。

则$x\to0$时，有

\[\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)\cdot \arcsin(x)}{\sin(3x)\cdot\arctan(2x)} =\lim_{x\to0} \frac{(2x)\cdot (x)}{(3x)\cdot(2x)} = \frac13 \]

例 8. [习题] 求$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[n]{1+\sin x}-1}{\tan x}$

$x\to 0$时，$\sqrt[n]{1+\sin x}-1 \sim \frac{\sin x}n$，则

\[\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[n]{1+\sin x}-1}{\tan x} =\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{n\tan x} =\frac1n \]

例 9. (例2.3.7) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$

例 10. (例2.3.9) $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin x-\tan x}{x^3}$

例 11. $\displaystyle x-\sin(x) = O(x^3) , x\to 0$

例 12. [习题] $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{\tan(x)}-e^{\sin(x)}}{\tan x-\sin x}$

例 13. $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a}$

例 14. $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{\tan x-\tan a}{x-a}$

例 15. $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(nx+\sqrt{1-n^2x^2})}{\ln(x+\sqrt{1-x^2})}$

例 16. 当$a>0$， $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{x^x-a^a}{x-a}$

定义 4. (无穷小量的阶)
当$x\to x_0$时，$\alpha(x)$是与$(x-x_0)^k$同阶的无穷小量，则称$\alpha(x)$是关于$x-x_0$的$\color{red}k$阶无穷小量，其中$k$为正常数。

例 17. (例2.3.8) $x\to 0$时，$x^{\frac12}$, $\sin x$, $\tan x$, $e^x -1$, $1-\cos x$

例 18. (例2.3.10) $x\to0$时，$x\sin\frac1x$是无穷小量，但没有阶

无穷大量及其比较

定义 5. (无穷大量)
函数$f(x)$在$x_0$附近有定义，若对任意$M>0$，$\exists\delta>0$，满足

\[|f(x)|>M , \forall 0<|x-x_0|<\delta \]

则称$x\to x_0$时，$f(x)$为无穷大量,记为$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$

例 19. [例2.3.11]

  • $x\to 0+$时，$\ln x$, $\frac1x$都是无穷大量。
  • $x\to+\infty$时，$x$, $\ln x$, $x^2$, $e^x$都是无穷大量。

$f(x)\neq 0$，若$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$， 则$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=0$。

$f(x)\neq 0$，若$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=0$， 则$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac1{f(x)}=\infty$。

所以无穷小量与无穷大量很多性质类似

定理 4. (无穷大量的性质)
（1） 有限个无穷大量的积，仍然是无穷大

（2） 无穷大与有界量的和为无穷大

(1) 有限个无穷大的代数和的极限未定。称为$\color{blue}\infty-\infty$型未定式

(2) 两个无穷大量的比的极限未定。称为$\color{blue}\frac{\infty}{\infty}$型未定式

(3) 无穷大量与有界量的乘积的极限未定。

例 20. $f(x)=x+\sin x$, $g(x)=x$, $h(x)=2x$。 考察

$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)-g(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)-h(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{h(x)}$,

例 21. 无穷大与有界量的乘积？ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2\sin(x)$

定义 6. (无穷大量的比较)
设在同一变化中（以$x\to x_0$为例），变量$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷大量，

（1） 如果极限$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A\neq 0$，则称$x\to x_0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$是同阶无穷大量

（2） 如果极限$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$，则称$x\to x_0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$是等价无穷大量，记为

\[\alpha(x) \sim \beta(x) , x\to x_0 \]

（3） 如果极限$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$，则称$x\to x_0$时，$\beta(x)$是比$\alpha(x)$更高阶的无穷大量，记为

\[\alpha(x)=o(\beta(x)) , x\to x_0 \]

（4） 如果存在正数$M$，使得在$x_0$附近，有关系式

\[\left|\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right|\leq M \]

则记为

\[\alpha(x)=O(\beta(x)), x\to x_0 \]

定义 7. (无穷大量的阶)
当$x\to x_0$时，$\alpha(x)$是与$\displaystyle \left(\frac1{x-x_0}\right)^k$同阶的无穷大量， 则称$\alpha(x)$是$\color{red}k$阶无穷大量，其中$k$为正常数。

当$x\to\infty$时，$\alpha(x)$是与$\displaystyle {x}^k$同阶的无穷大量， 则称$\alpha(x)$是$\color{red}k$阶无穷大量，其中$k$为正常数。

例 22. [习题] 对$a>1$, $k>0$, 有$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^k}{a^x}=0$

例 23. [习题] 对$a>1$, $k>0$, 有$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^k}=0$

$x\to \infty$时，

(1) $x^{n+1}$是$x^n$的高阶无穷大

(2) $\forall n\in\mathbb{N}$，$e^x$是$x^n$的高阶无穷大

(3) $x^{\frac1n}$是$x^{\frac1{n+1}}$的高阶无穷大

(4) $\forall n\in\mathbb{N}$，$x^{\frac1n}$是$\ln x$的高阶无穷大

$x\to x_0$时，无论是$\alpha(x)$和$\beta(x)$是无穷大量，还是无穷小量，

  • $\alpha(x)=o(\beta(x))$都表示
    \[\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \]
  • $\alpha(x)=O(\beta(x))$都表示，存在$M>0$，在$x_0$附近成立
    \[\left|\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right|\leq M \]

例 24. 证明： $x\to 0$时，对$n>2$，有$x^{-2} o(x^n) = o(x^{n-2})$。

解. 即证明： 若$f(x)$满足$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0$， 则有

\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^{-2}f(x)}{x^{n-2}}=0 \]

例 25. $x\to a$时，若$g(x)$是一个有界量，则

\[g(x)\cdot o(f(x))=o(f(x)) \]

例 26. [习题] 证明: 当$x\to a$时，有

\[o(f(x))\cdot o(g(x))=o(f(x) g(x)) \]

解. 即证明： 函数$h_1(x)$, $h_2(x)$满足

\[\lim_{x\to a}\frac{h_1(x)}{f(x)}=0, \quad \lim_{x\to a}\frac{h_2(x)}{g(x)}=0 \]

则有

\[\lim_{x\to a}\frac{h_1(x) h_2(x)}{f(x)g(x)}=0 \]

例 27. 若$x\to0$时，$f(x)=o(x^n)$, $g(x)=o(x^m)$，则

\[f(x)g(x)=o(x^{m+n}) \]

例 28. (例2.3.5) 设$f(x)=o(1), x\to x_0$，且$f(x)\neq 0$，则有

\[\frac1{1+f(x)}=1-f(x)+o(f(x)) , x\to x_0 \]

$1^{\infty}$形态的等价替换

例 29. $\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac1{x\sin x}}$

例 30. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{\tan x}\right)^{\frac1{\tan^2x}}$

例 31. [习题] 求极限$\displaystyle\lim \left(\cos\frac{x}n+\sin\frac{x}n\right)^n$，其中$x\neq 0$

谢谢

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附加思考

等价无穷小量(大量)有如下特性：

  1. $\alpha(x) \sim \alpha(x)$
  2. 若$\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则$\beta(x) \sim \alpha(x)$
  3. 若$\alpha(x) \sim \beta(x)$, $\beta(x) \sim \gamma(x)$， 则$\alpha(x) \sim \gamma(x)$

本节读完

例 32. 谢

32.