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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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在现实中，有一些函数变化是“跳跃”的，如
而还有大部分函数是“连续”变化的，如
这种“连续”变化的函数就是连续函数。
它是微积分主要研究对象。
微积分中的主要概念、定理、公式、法则等，往往都需要函数具有连续性。
当函数从变化到时，函数值从变化到。 称为函数的增量，称为自变量的增量。
定义 1. (函数在一点处连续)
函数在的某个邻域内有定义。若
则称函数在点处连续，点称为函数的连续点。
对于连续函数来说，当自变量在附近的增量趋于0时，函数值的增量也趋于0。
若在处连续，则有
即
设函数在的某个邻域内有定义，从极限的角度来看，
函数在处连续等价于：函数在处的极限为。即
例 1. (例2.4.1) 函数在处连续
解. 注意到
例 2. (例2.4.2) 函数在处连续
解. 注意到
用语言描述： 在处连续。
函数在的某个邻域内有定义。若， 总，满足
则称在处连续。
例 3. (习题) 在连续，则在连续。
事实上，若，则有
定义 2. (左、右连续)
如果，则称在处左连续
如果，则称在处右连续
左、右连续统称为单侧连续
函数在一点连续的充要条件是函数在这一点既左连续，又右连续
例 4. 取整函数，在每个整数点右连续，但不左连续
例 5. 符号函数在处既不左连续，也不右连续
例 6. 用语言描述函数在上左连续、右连续。
定义 3. (函数在区间上连续)
如果函数在开区间内每一点处都是连续的，则称在开区间内连续。
例 7. (习题) 若， 函数在上连续，则函数在内连续。
依前面计算的基本初等极限，有
例 8. [例2.4.4] , 在内连续。
定义 4. (函数的间断)
如果函数在处不连续，则称函数在处是间断的，而就称为函数的间断点
函数在处连续，需要在的极限值等于。
定义 5.
为函数的间断点。
例 9. (例2.4.7) 函数在处无定义，有极限，为可去间断点
例 10. 取整函数在整数点上是跳跃度为1的跳跃间断点；
符号函数在处为跳跃度2的跳跃间断点。
例 11. Riemann函数
例 12. 函数
判定函数的连续性
例 13. (例2.4.9) 函数的连续性。
解. 为振荡间断点。
例 14. Dirichlet函数的连续性
定理 1. (局部有界性)
如果函数在连续，则在附近有界。
定理 2. (连续函数的保号性)
如果函数在连续，且，则在附近成立
解. 利用函数极限的特性易知。
定理 3. (连续函数的四则运算)
如果函数，在连续，则
进一步，如果，在区间连续，则它们的和、差、积、商都在区间连续。
例 15. 分析函数和在的连续性，
例 16. (例2.4.12) ，在连续，则, 也在连续。
例 17. (命题2.4.1) 下列三角函数在定义域内连续
定理 4. (复合函数的连续性)
函数在连续，而函数在连续，则复合函数在处连续。即有
复合函数求极限，可以表现出“变量代换”的特性。
若和满足上述定理的条件，则令，可以得到
例 18. 研究复合函数在内的连续性，其中
即使是不连续的，复合后的函数仍然可能是连续的。
解. 对，若，则
若，则
即有
因而，是内的连续函数。
定理 5. (反函数的连续性)
函数在某个区间上连续，并且严格单调增（减），则它的反函数也在对应的区间
上连续，并且严格单调增（减）。
需要用到实数的连续性，暂时不做证明。
例 19. (命题2.4.1) 反三角函数, , 在定义域内是连续的。
定理 6. (初等函数的连续性)
所有的基本初等函数在其定义域内处处连续。
所有初等函数在其定义域内处处连续。
定理 7. (与数列极限的关系)
函数在处连续的充要条件是，对任意收敛到的数列，有
例 20. 函数连续，函数
其中为任意的正数。则有也连续。
定理 8. (初等函数的连续性)
所有初等函数在其定义域内处处连续
例 21. (例2.4.11) 在点处连续，且
证明： 是一个常值函数。
例 22. 在上连续，且
则, 为常数
例 23. , ，则有
反之，若连续，且满足上式，则或
例 24. 连续，且满足
则或
定理 9. (零值定理)
是有界闭区间上的连续函数，且，则至少存在一点，满足
是实数轴上“没有缝隙”的一种体现。
定理 10. (介值定理)
是有界闭区间上的连续函数，且是介于和之间的任意数，则至少存在一点，满足
定理 11. (介值定理)
是有界闭区间上的连续函数，，则存在，满足
定理 12. (介值定理)
是有界闭区间上的连续函数，，，则存在，满足
例 25. (例2.4.16) 方程在内至少有一个实根
例 26. 连续，且满足
则或
例 27. (例2.4.17(不动点定理)) 是有界闭区间上的连续函数，且有，则存在，满足
定理 13. (有界性定理)
是有界闭区间上的连续函数，则它一定是有界的，即存在，有
定理 14. (最值定理)
是有界闭区间上的连续函数，则它在上可以取到最大值和最小值。即存在，有
例 28. 有界闭区间的条件是不可少的。
函数和都是上的连续函数。 在任意点处的连续性，可以表述为
，取 (与无关)，则
，取(与相关)，则
定义 6. (一致连续性)
函数在区间上定义，若， 存在仅与有关的，满足
则称在上一致连续
一致连续也就是说，只要自变量充分接近，函数值也充分接近。
定义 7. (非一致连续)
，对，在上总能找到，虽然，但
显然，一致连续，则连续
一致连续是区间上的整体性质，而连续是区间上的点态性质。
例 29. (例2.4.19) 函数在()上一致连续，而在上非一致连续。
例 30. (例2.4.18) 在上一致连续
例 31. (习题) 在上不一致连续
例 32. (习题) 在上不一致连续
有界函数也可以非一致连续
例 33. 在上不一致连续
例 34. (习题) 在上一致连续
无界函数也可以一致连续
定理 15. (一致连续性)
是有界闭区间上的连续函数，则它在上一致连续。
定理 16.
是有界闭区间,上的一致连续函数，则它在上一致连续。
例 35. (例2.4.20) 在上连续，且存在有限，则在上一致连续。
定理 17.
是开区间上的连续函数，且,存在有限，则它在上一致连续。
定理 18.
是开区间上的一致连续函数，则与存在有限。
有限开区间上的一致连续函数，可以拓展为闭区间上的一致连续函数。
例 36. 若在上一致连续，则在上有界
例 37. 有界区间上有限个一致连续的函数的和函数与积函数仍然是上的一致连续函数
若区间是无界的，如，则有限个一致连续函数的和函数仍然是一致连续的。 但有限个一致连续函数的积函数就未必是一致连续的了。
例 38. 判断函数在区间上的一致连续性。
例 39. 在区间上连续，存在有限，且，有，则在上取到最大值
例 40. 谢
40.