函数的连续性

极限理论

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数的连续性

函数连续性的概念

在现实中，有一些函数变化是“跳跃”的，如

  • 居民用电初等的阶梯价格、个人所得税的税率
  • 取整函数$f(x)=[x]$

而还有大部分函数是“连续”变化的，如

  • 一个人的运动轨迹、瀑布、日月星辰的运动

这种“连续”变化的函数就是连续函数。

它是微积分主要研究对象。

微积分中的主要概念、定理、公式、法则等，往往都需要函数具有连续性。

当函数从$x_0$变化到$x_1=x_0+\Delta x$时，函数值从$f(x_0)$变化到$f(x_1)$。 称$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$为函数的增量，$\Delta x$称为自变量的增量。

% 画 sin 和 arcsin 图像 \begin{tikzpicture}[ scale=1.6, declare function={f(\x)=exp(0.7*\x)-sin(\x r)-0.3;}] %\draw[very thin,color=gray] (-1.5,-1.2) grid (1.5,1.22); \draw[->] (-0.1,0) -- (1.8,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.98) node[above] {$y$}; \draw[domain=0.2:1.8, color=orange, ] plot (\x,{f(\x)}); \draw[dashed, blue] (0.5, {f(0.5)}) -- (0.5,0) node[below] {$x_0$}; \draw[dashed, blue] (1.55, {f(1.55)}) -- (1.55,0) node[below] {$x_0+\Delta x$}; \draw[dashed, blue] (0.5, {f(0.5)}) -- (1.55, {f(0.5)}); \draw[blue] (1.55, {f(0.5)}) -- (1.7, {f(0.5)}); \draw[blue] (1.55, {f(1.55)}) -- (1.7, {f(1.55)}); \draw[blue] (1.55, {f(1.3)}) node[right] {$\Delta y$}; \draw[blue] (1.05, {f(0.5)}) node[below] {$\Delta x$}; \end{tikzpicture}

定义 1. (函数在一点处连续)
函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义。若

\[\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=0 \]

则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续，点$x_0$称为函数$f(x)$的连续点。

对于连续函数来说，当自变量在$x_0$附近的增量$\Delta x$趋于0时，函数值的增量也趋于0。

若$f(x)$在$x_0$处连续，则有

\[\lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=0 \]

即

\[\lim_{\Delta x\to0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0) \]

设函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，从极限的角度来看，

函数$f(x)$在$x_0$处连续等价于：函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$f(x_0)$。即

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=f(\lim_{x\to x_0}x) \]

例 1. (例2.4.1) 函数$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{\sin(x)}x , & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$在$x=0$处连续

解. 注意到$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1$

例 2. (例2.4.2) 函数$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x\sin\frac1x , & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$在$x=0$处连续

解. 注意到$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0$

用$\epsilon-\delta$语言描述： $f(x)$在$x_0$处连续。

函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义。若$\forall\epsilon>0$， 总$\exists\delta>0$，满足

\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon, \quad \forall\ \ |x-x_0|<\delta \]

则称$f(x)$在$x_0$处连续。

例 3. (习题) $f(x)$在$x_0$连续，则$|f(x)|$在$x_0$连续。

事实上，若$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l$，则有

\[\lim_{x\to x_0} |f(x)|=|l| \]

定义 2. (左、右连续)
如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$处左连续

如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$处右连续

左、右连续统称为单侧连续

函数在一点连续的充要条件是函数在这一点既左连续，又右连续

例 4. 取整函数$f(x)=[x]$，在每个整数点右连续，但不左连续

例 5. 符号函数在$0$处既不左连续，也不右连续

\[f(x)=sgn(x)=\begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{cases} \]

例 6. 用$\epsilon-\delta$语言描述函数$f(x)$在$x_0$上左连续、右连续。

定义 3. (函数在区间上连续)
如果函数$f(x)$在开区间$(a,b)$内每一点处都是连续的，则称$f(x)$在开区间$(a,b)$内连续。

  • 如果$f(x)$在开区间$(a,b)$内连续，且在左端点$a$处右连续，在右端点$b$处左连续，则称$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。

例 7. (习题) 若$\forall \frac{b-a}2>\epsilon>0$， 函数在$[a+\epsilon, b-\epsilon]$上连续，则函数在$(a,b)$内连续。

依前面计算的基本初等极限，有

例 8. [例2.4.4] $\sin(x)$, $\cos(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续。

  • [例2.4.5] $a^x$在$(-\infty,+\infty)$内连续。 $\ln x$在$(0,+\infty)$内连续。
  • $x^b$在$(0,+\infty)$内连续。

定义 4. (函数的间断)
如果函数$f(x)$在$x_0$处不连续，则称函数$f(x)$在$x_0$处是间断的，而$x_0$就称为函数$f(x)$的间断点

函数在$x_0$处连续，需要$f(x)$在$x_0$的极限值等于$f(x_0)$。

  • 函数$f(x)$在$x_0$的极限值可以由它的左、右极限$f(x_0-)$、$f(x_0+)$来确定。
  • 依据函数在左、右极限的情形，将间断点分类。

定义 5.
$x_0$为函数$f(x)$的间断点。

  1. 函数$f(x)$在$x_0$的左、右极限都存在，则称$x_0$是$f(x)$的第一类间断。
    • 如果$f(x_0-)\neq f(x_0+)$，则称为跳跃间断点，$|f(x_0-)-f(x_0+)|$为跳跃度；
    • 如果$f(x_0-) = f(x_0+)$，则称为可去间断点。
  2. 若函数$f(x)$在$x_0$的左、右极限至少有一个不存在，则称为$f(x)$的第二类间断。
    • 如无穷间断点($\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$)，
    • 振荡间断点(在$x\to x_0$的过程中，$f(x)$无限次振荡，极限不存在)

例 9. (例2.4.7) 函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处无定义，有极限，为可去间断点

例 10. 取整函数$[x]$在整数点上是跳跃度为1的跳跃间断点；

符号函数$\mbox{sgn}(x)$在$0$处为跳跃度2的跳跃间断点。

例 11. Riemann函数

\[\begin{aligned} R(x)=\begin{cases} & \frac1n , x=\frac{m}{n} (m, n \mbox{ are coprime}) \\ & 0, x\notin Q \end{cases} \end{aligned} \]

例 12. 函数

\[\begin{aligned} g(x)=\begin{cases} & \frac1{n+1} , x=\frac{m}{n} (m, n \mbox{ are coprime}) \\ & 0, x\notin Q \end{cases} \end{aligned} \]

判定函数$f(x)=\sin(x)-\sin(x)g(x)$的连续性

例 13. (例2.4.9) 函数$f(x)=\sin\frac1x, (x\neq 0)$的连续性。

解. $x=0$为振荡间断点。

例 14. Dirichlet函数的连续性

\[\begin{aligned} D(x)=\begin{cases} & 1, x\in Q \\ & 0, x \notin Q \end{cases} \end{aligned} \]
  • $xD(x)$，$(x-1)(x-2)D(x)$的间断点呢？

连续函数的性质与四则运算

定理 1. (局部有界性)
如果函数$f(x)$在$x_0$连续，则$f(x)$在$x_0$附近有界。

定理 2. (连续函数的保号性)
如果函数$f(x)$在$x_0$连续，且$f(x_0)>0$，则$f(x)>0$在$x_0$附近成立

解. 利用函数极限的特性易知。

定理 3. (连续函数的四则运算)
如果函数$f(x)$，$g(x)$在$x_0$连续，则

  • 函数$f(x)\pm g(x)$， $f(x)g(x)$， $\frac{f(x)}{g(x)}$($g(x_0)\neq 0$)在$x_0$处也连续。

进一步，如果$f(x)$，$g(x)$在区间$I$连续，则它们的和、差、积、商都在区间$I$连续。

例 15. 分析函数$f(x)+g(x)$和$f(x)g(x)$在$x_0$的连续性，

  • $f(x)$在$x_0$连续，$g(x)$在$x_0$不连续；
  • $f(x)$,$g(x)$在$x_0$均不连续。

例 16. (例2.4.12) $f(x)$，$g(x)$在$x_0$连续，则$\max(f(x),g(x))$, $\min(f(x), g(x))$也在$x_0$连续。

\[\max(f(x), g(x))=\frac{f(x)+g(x)}2+\left|\frac{f(x)-g(x)}2\right| \]

例 17. (命题2.4.1) 下列三角函数在定义域内连续

\[\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos x}, \cot(x)=\frac1{\tan x}, \sec(x)=\frac1{\cos x}, \csc(x)=\frac1{\sin x} \]

定理 4. (复合函数的连续性)
函数$x=\phi(t)$在$t_0$连续，而函数$f(x)$在$x_0=\phi(t_0)$连续，则复合函数$f(\phi(t))$在$t_0$处连续。即有

\[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t))=f(\lim_{t\to t_0}\phi(t))=f(x_0)=f(\phi(t_0)) \]

复合函数求极限，可以表现出“变量代换”的特性。

若$\phi(t)$和$f(x)$满足上述定理的条件，则令$x=\phi(t)$，可以得到

\[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t)) = \lim_{x\to \phi(t_0)}f(x) \]

例 18. 研究复合函数$f(\phi(x))$在$(0,1)$内的连续性，其中

\[f(u)=\left\{\begin{aligned} u , & 0<u\leq 1 \\ 2-u, & 1<u<2 \end{aligned}\right. \]
\[\phi(x)=\left\{\begin{aligned} x , & x\in\mathbb{Q} \\ 2-x, & x\notin\mathbb{Q} \end{aligned}\right. , 0<x<1 \]

即使$\phi(x)$是不连续的，复合后的函数$f(\phi(x))$仍然可能是连续的。

解. 对$x\in(0,1)$，若$x\in \mathbb{Q}$，则

\[f(\phi(x))=f(x)=x \]

若$x\notin \mathbb{Q}$，则

\[f(\phi(x))=f(2-x)=2-(2-x)=x \]

即有

\[f(\phi(x))=x, \quad x\in(0,1) \]

因而，是$(0,1)$内的连续函数。

定理 5. (反函数的连续性)
函数$y=f(x)$在某个区间$I_x$上连续，并且严格单调增（减），则它的反函数$x=f^{-1}(y)$也在对应的区间

\[I_y=\left\{y|y=f(x), x\in I_x\right\} \]

上连续，并且严格单调增（减）。

需要用到实数的连续性，暂时不做证明。

例 19. (命题2.4.1) 反三角函数$\arcsin(x)$, $\arccos(x)$, $\arctan(x)$在定义域内是连续的。

定理 6. (初等函数的连续性)
所有的基本初等函数在其定义域内处处连续。

  • 即三角函数、反三角函数，指数函数、对数函数，幂函数在其定义域内连续。

所有初等函数在其定义域内处处连续。

  • 即由基本初等函数经有限次的四则运算及复合运算得到的函数，在其定义域内处处连续。

定理 7. (与数列极限的关系)
函数$f(x)$在$x_0$处连续的充要条件是，对任意收敛到$x_0$的数列$\left\{x_n\right\}$，有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$

例 20. 函数$f(x)$连续，函数

\[f_c(x)=\left\{\begin{aligned} -c,& & f(x)<-c \\ f(x),& & |f(x)|\leq c \\ c,& & f(x)>c \end{aligned}\right. \]

其中$c$为任意的正数。则有$f_c(x)$也连续。

初等函数的连续性

定理 8. (初等函数的连续性)
所有初等函数在其定义域内处处连续

  1. $\sin(x)$, $\cos(x)$连续，则$\tan=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, $\cot(x)$, $\sec(x)=\frac1{\cos(x)}$, $\csc(x)$, $\arccos(x)$, $\arcsin(x)$连续
  2. $a^x$, $\ln x$连续，则指数函数，对数函数连续
  3. $x^\mu=e^{\mu\ln x}$，则幂函数连续
  4. $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$, $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$, $\mbox{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$, $\mbox{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$也连续

例 21. (例2.4.11) $f(x)$在点$x_0=0$处连续，且

\[f(x)=f(2x), \quad \forall x\in\mathbb{R} \]

证明： $f(x)$是一个常值函数。

例 22. $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且

\[f(x+y)=f(x)+f(y) \]

则$f(x)=cx$, $c$为常数

例 23. $f(x)=a^x$, $a>0$，则有

\[f(x+y)=f(x)f(y) , \forall x,y\in\mathbb{R} \]

反之，若$f(x)$连续，且满足上式，则$f(x)=a^x$或$f(x)=0$

例 24. $f(x)$连续，且满足

\[f(xy)=f(x)f(y) , \forall x,y>0 \]

则$f(x)=x^b$或$f(x)=0$

有界闭区间上连续函数的性质

定理 9. (零值定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，且$f(a)f(b)<0$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，满足$f(\xi)=0$

是实数轴上“没有缝隙”的一种体现。

定理 10. (介值定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，且$r$是介于$f(a)$和$f(b)$之间的任意数，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，满足$f(\xi)=r$

定理 11. (介值定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}\subset(a,b)$，则存在$\xi\in(a,b)$，满足

\[f(\xi)=\frac1n(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)) \]

定理 12. (介值定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}\subset(a,b)$，$\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n>0$，则存在$\xi\in(a,b)$，满足

\[f(\xi)(\omega_1+\cdots+\omega_n)=\omega_1f(x_1)+\cdots+\omega_nf(x_n) \]

例 25. (例2.4.16) 方程$2^x=4x$在$(0,\frac12)$内至少有一个实根

例 26. $f(x)$连续，且满足

\[f(xy)=f(x)+f(y) , \forall x,y>0 \]

则$f(x)=\log_a x$或$f(x)=0$

例 27. (例2.4.17(不动点定理)) $f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，且有$f([a,b])\subset[a,b]$，则存在$\xi\in[a,b]$，满足$f(\xi)=\xi$

定理 13. (有界性定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，则它一定是有界的，即存在$M>0$，有

\[|f(x)|<M, \forall x\in [a,b] \]

定理 14. (最值定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，则它在$[a,b]$上可以取到最大值和最小值。即存在$x_1, x_2\in [a,b]$，有

\[f(x_1)=\max_{x\in[a,b]}f(x), f(x_2)=\min_{x\in[a,b]}f(x), \]

例 28. 有界闭区间的条件是不可少的。

  • $f(x)=\frac1x$在$(0,1]$上取不到最大值，
  • $f(x)=x$在$[1,\infty)$上取不到最大值

一致连续性

函数$f(x)=x$和$g(x)=\frac1x$都是$(0,+\infty)$上的连续函数。 在任意点$x_0\in(0,+\infty)$处的连续性，可以表述为

$\forall\epsilon>0$，取$\delta=\epsilon$ ($\delta$与$x_0$无关)，则

\[|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

$\forall\epsilon>0$，取$\delta=\min(\frac{x_0}2, \frac{x_0^2}2\epsilon)$($\delta$与$x_0$相关)，则

\[\begin{aligned} |g(x)-g(x_0)|=&\left|\frac1x-\frac1{x_0}\right| =\frac{|x-x_0|}{x x_0} \\ <&\delta \frac{2}{x_0^2}\leq \epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \end{aligned} \]

定义 6. (一致连续性)
函数$f(x)$在区间$I$上定义，若$\forall \epsilon>0$， 存在仅与$\epsilon$有关的$\delta=\delta(\epsilon)>0$，满足

\[|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon, \forall |x_1-x_2|<\delta , x_1, x_2\in I \]

则称$f(x)$在$I$上一致连续

一致连续也就是说，只要自变量充分接近，函数值也充分接近。

定义 7. (非一致连续)
$\exists \epsilon_0>0$，对$\forall \delta>0$，在$I$上总能找到$x_1,x_2$，虽然$|x_1-x_2|<\delta$，但$|f(x_1)-f(x_2)|>\epsilon_0$

显然，$f(x)$一致连续，则$f(x)$连续

一致连续是区间$I$上的整体性质，而连续是区间$I$上的点态性质。

例 29. (例2.4.19) 函数$f(x)=\frac1x$在$[a,+\infty)$($a>0$)上一致连续，而在$(0,+\infty)$上非一致连续。

例 30. (例2.4.18) $\sin(x)$在$(-\infty, +\infty)$上一致连续

例 31. (习题) $f(x)=\sin(x^2)$在$(-\infty,+\infty)$上不一致连续

例 32. (习题) $f(x)=\cos(\frac1x)$在$(0,1)$上不一致连续

有界函数也可以非一致连续

例 33. $f(x)=x^2$在$(-\infty,+\infty)$上不一致连续

例 34. (习题) $f(x)=\sqrt{x}$在$[1,+\infty)$上一致连续

无界函数也可以一致连续

定理 15. (一致连续性)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，则它在$[a,b]$上一致连续。

定理 16.
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$,$[b,c]$上的一致连续函数，则它在$[a,c]$上一致连续。

例 35. (例2.4.20) $f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$存在有限，则$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。

定理 17.
$f(x)$是开区间$(a,b)$上的连续函数，且$f(a+)$,$f(b-)$存在有限，则它在$(a,b)$上一致连续。

定理 18.
$f(x)$是开区间$(a,b)$上的一致连续函数，则$f(a+)$与$f(b-)$存在有限。

有限开区间$(a,b)$上的一致连续函数，可以拓展为闭区间$[a,b]$上的一致连续函数。

例 36. 若$f(x)$在$(a,b)$上一致连续，则$f(x)$在$(a,b)$上有界

例 37. 有界区间$(a,b)$上有限个一致连续的函数的和函数与积函数仍然是$(a,b)$上的一致连续函数

若区间$I$是无界的，如$(0,+\infty)$，则有限个一致连续函数的和函数仍然是一致连续的。 但有限个一致连续函数的积函数就未必是一致连续的了。

例 38. 判断函数$f(x)=x\sin x$在区间$[0,\infty)$上的一致连续性。

目录

本节读完

例 39. $f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$存在有限，且$\exists b_0\in[a,+\infty)$，有$f(b_0)\geq l$，则$f(x)$在$[a,+\infty)$上取到最大值

例 40. 谢

40.