微分

复习

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

复习

微分

chap3

chap123

习题

例 1. 求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)\ln(1-x)}$

例 2. 求$\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac{3}{x^3-1}-\frac{5}{x^5-1}\right)$

例 3. 求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi n!e)$

例 4. 函数$f(x)$在$0$附近有三阶连续导数，$f'(0)=1$, $f''(0)=0$, $f'''(0)=-1$。设$a_{n+1}=f(a_n)$满足$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$, $a_n\neq0$，求

  1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{a^2_{n+1}}-\frac1{a^2_n}\right)$
  2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n^2$

例 5. 已知$f(x)=\begin{cases} x , x\leq 0 \\ \frac1n, \frac{1}{n+1}< x \leq \frac1n \end{cases}$，则$f(x)$在$0$处是否连续？是否可导？

例 6. 设 $f(t)=\displaystyle\prod_{i=1}^{100}\left(\tan\frac{\pi t^i}4-i\right)$ 。求$f'(1)$

例 7. 设$x=g(y)$是$f(x)=\ln x+\arctan x$的反函数，求$g'(\frac{\pi}4)$

例 8. 设$f(x)=(x-a)^n\phi(x)$，其中$\phi(x)$在$a$点的邻域内有$n-1$阶连续导数，求$f^{(n)}(a)$

例 9. $x_1>0$，$x_ne^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$，证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$存在，并求它

例 10. 函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(1)>0$，$\displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{f(x)}x<0$。证明：

  1. $f(x)=0$在$(0,1)$内至少存在一个实根
  2. $f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0$在$(0,1)$内至少存在两个不同的实根

例 11. $f(x)$在$(-1,1)$上二阶可导，$f(0)=f'(0)=0$，且有

\[|f''(x)|\leq|f(x)|+|f'(x)| , \forall x\in(-1,1) \]

证明$f(x)=0, \forall x\in(-1,1)$