微分中值定理

单变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

微分中值定理

极值

定义 1. (极值)
 设$y=f(x)$在$I$的邻域内有定义，$x_0$是$I$的内点（不在端点）。若存在$x_0$的$\delta$邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$满足

\[f(x)\leq f(x_0), \forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) \]

则称$x_0$为$f(x)$的极大值点，$f(x_0)$为极大值。

类似可以定义极小值和极小值点。它们统称为极值和极值点

  1. 极大值点不一定是最大值点
  2. 最大值点如果在区间内部，则一定是极大值点
  3. 最大值点可能在端点处，极大值点不能在端点处

费马定理(Fermat)

定理 1. (Fermat(费马)定理)
$f(x)$在$I$上定义，$x_0$为极值点，若$f$在$x_0$可导，则

\[f'(x_0)=0 \]

  1. 导数为$0$的点，不一定是极值点。如$x^3$在$x=0$处。

    称导数为$0$的点为函数的驻点。

  2. 极值点不一定可导。如$|x|$在$x=0$处。

证： $f(x_0)$是极大值，则

\[\begin{aligned} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<0, \Delta x>0 \\ \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}>0, \Delta x<0 \end{aligned} \]

由$f(x)$在$x_0$处可导，则在$x_0$处在左、右导数存在，且都等于$f'(x_0)$。又

\[f'_{-}(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\geq0 \]
\[f'_{+}(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0+}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\leq0 \]

所以

\[f'(x_0)=f'_{+}(x_0)=f'_{-}(x_0)=0 \]

若$x_0$为极小值点，则它为函数$-f(x)$的极大值点。

罗耳(Rolle)定理

定理 2. (Rolle(罗耳)定理)
函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=0 \]

证： $f(x)$在$(a,b)$内可导，则连续。所以，$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则可以取到最大值和最小值。

  1. 若最大值点和最小值点有一个不是端点$a$或$b$，则这个最值点在区间内，是极值点，这个点处的导数为$0$
  2. 若最大值点和最小值点都在端点上，由$f(a)=f(b)$知，$f(x)$为常值函数。任取$\xi\in(a,b)$，$f'(\xi)=0$

推论 1.
设$(a,b)$为有限或无穷区间，函数$f(x)$在在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x \to b-} f(x)=A$ （有限或$+\infty, -\infty$），则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=0 \]

推论 2.
设函数$f(x)$在$[x_0,x_n]$上有定义，且有连续的$n-1$阶导数$f^{(n-1)}(x)$，在区间$(x_0,x_n)$内有$n$阶导数$f^{(n)}(x)$；且有

\[f(x_0)=f(x_1)=\cdots=f(x_n), (x_0<x_1<\cdots<x_n) \]

则有：存在$\xi\in(x_0,x_n)$，满足$f^{(n)}(\xi)=0$

证：

  1. 若$f(x)\equiv A$，则$f'(x)\equiv 0$
  2. 若$\exists x_0\in(a,b)$, s.t. $f(x_0)\neq A$。不防设$f(x_0)>A$，由
    \[\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x \to b-} f(x)=A \]
    函数$f(x)$在$(a,b)$内连续。所以，对任意$\mu ( A<\mu<f(x_0)$，$\exists x_1\in(a,x_0) , x_2\in(x_0,b)$，s.t.
    \[f(x_1)=f(x_2)=\mu \]

推论 3.
设函数$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且有连续的$p+q$阶导数$f^{(p+q)}(x)$，在区间$(a,b)$内有$p+q+1$阶导数$f^{(p+q+1)}(x)$；且有

\[\begin{aligned} f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(p)}(a)=0 , \\ f(b)=f'(b)=\cdots=f^{(q)}(b)=0 , \end{aligned} \]

则有：存在$\xi\in(a,b)$，满足$f^{(p+q+1)}(\xi)=0$

例 1. 函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，

\[f(a)=f(b)=0 \]

证明： 对任意实数$\alpha$, 都$\exists \xi \in (a,b)$, 满足 $\alpha f(\xi)=f'(\xi)$

这类问题，通常需要使用辅助函数。而辅助函数可以通过与已知函数的四则运算或复合来得到。试试考察

\[(e^xf(x)),\ (\sin(x)f(x))',\ (x^n f(x))' \]

解. 要$\alpha f(\xi)=f'(\xi)$，则$f'(\xi)-\alpha f(\xi)=0$，即$\xi$为函数$f'(x)-\alpha f(x)$的零点。取$F(x)=f(x)e^{-\alpha x}$，则

\[F'(x)=(f'(x)-\alpha f(x))e^{-\alpha x} \]

例 2. $f(x)$在$[0,\pi]$上连续，在$(0,\pi)$内可导，$f(0)=0$，则 至少存在一个点$\xi\in(0,\pi)$，满足

\[2f'(\xi)=\tan(\frac12\xi)f(\xi) \]

例 3. 设$f(x)$是$[0,1]$上的二阶可导函数，$f(0)=f(1)$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，满足

\[f''(\xi)=\dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi} \]

3. 取$F(x)=f(x)\cos\frac12 x$，则由$F(0)=F(\pi)=0$及Rolle定理，

\[F'(\xi)=\cos(\frac\xi2)f'(\xi)-\frac12\sin(\frac12\xi) f(\xi)=0 \]

4. 取$g(x)=(1-x)^2f'(x)$， 则

\[\begin{aligned} g'(x)=&(1-x)^2f''(x)+2(1-x)(-x)f'(x)\\ =&(1-x)((1-x)f''(x)-2f'(x)) \end{aligned} \]

由$f(0)=f(1)$，存在$c\in(0,1)$，有$f'(c)=0$。 所以$g(c)=0$，又$g(1)=0$，所以，存在$\xi\in(c,1)$，满足

\[g'(\xi)=(1-\xi)((1-\xi)f''(\xi)-2f'(\xi))=0 \]

拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理 3. (拉格朗日中值定理)
函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b} \]

由这个定理，可以得到

\[f(x+\Delta x)-f(x)=f'(\xi)\Delta x=f'(x+\theta \Delta x)\Delta x , \theta\in(0,1) \]

证： 取

\[F(x)=f(x)-\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x \]

则，$F(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，且

\[\begin{aligned} F(a)-F(b)&=f(a)-\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}a-(f(b)-\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}b) \\ & =f(a)-f(b)-\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}(a-b) \\ & =0 \end{aligned} \]

由罗耳定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$，即

\[f'(\xi)-\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=0 \]

推论 4.
$f(x)$在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\equiv0$，则$f(x)$为常值函数

推论 5.
$f(x)$与$g(x)$均在$(a,b)$内可导，且$f'(x)=g'(x)$,$ \forall x\in(a,b)$， 则$f(x)$与$g(x)$只差一个常数

1.

$f(x)\equiv0$，则任意$x,y\in(a,b)$，有

\[f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y)=0 \]

即，$f(x)=f(y),\forall x,y \in (a,b)$。$f(x)$为常值函数。

2.

若$f'(x)=g'(x)$，则$(f(x)-g(x))'=0$，所以$f(x)-g(x)=c$为常数。

例 4. 导数为常数$f'(x)=k$的唯一函数$f(x),x\in\mathbb{R}$是线性函数$f(x)=kx+b$。

例 5. 满足方程

\[y'=\lambda y (\lambda=const) ,\forall x\in\mathbb{R} \]

的唯一函数是指数函数$y=Ce^{\lambda x}$，其中$C$为任意常数

思路： 常数在哪里？构造一个函数，使得它为常数

例 6. [例3.3.4] 证明： 对$|x|\leq 1$，有

\[\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}2 \]

3.

取$F(x)=f(x)-kx$，则$F'(x)=0$。所以$F(x)=b$

4.

令$g(x)=y(x)e^{-\lambda x}$，

则有$g'(x)=(y'(x)-\lambda y(x))e^{-\lambda x}$，所以

\[g'(x)=(y'(x)-\lambda y(x))e^{-\lambda x}=0 \]

例 7. (例3.3.3) 对$0<\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}$，有

\[\dfrac{\beta-\alpha}{\cos^2\alpha}<\tan\beta-\tan\alpha<\dfrac{\beta-\alpha}{\cos^2\beta} \]

解. 由$\displaystyle \tan(\beta)-\tan(\alpha)=(\tan(x))'|_{x=\xi}(\beta-\alpha), \xi\in(\alpha,\beta)$

例 8. [习题]当$0<a<b$时，有

\[(a+b)\ln\dfrac{a+b}{2}<a\ln a+b \ln b \]

1. 取$f(x)=\tan(x)$，则

\[\begin{aligned} \tan\beta-\tan\alpha&=(\tan\xi)'(\beta-\alpha)\\ &=\dfrac{1}{\cos^2\xi}(\beta-\alpha),\xi \in (0,\dfrac{\pi}{2}) \end{aligned} \]

由$\cos(x)$在$(0,\dfrac{\pi}{2})$内的单调性，可以得到结论

2. 取$f(x)=x\ln(x)$，则

\[\begin{aligned} \dfrac{a+b}{2}\ln(\dfrac{a+b}{2})-a\ln a=f'(\xi_1)\dfrac{b-a}{2},\xi_1 \in (a,\dfrac{a+b}{2}) \\ -\dfrac{a+b}{2}\ln(\dfrac{a+b}{2})+b\ln b=f'(\xi_2)\dfrac{b-a}{2},\xi_2 \in (\dfrac{a+b}{2},b) \\ \end{aligned} \]

又

\[f'(x)=\ln(x)+x\dfrac{1}{x}=1+\ln(x) \]

为递增函数，所以有

\[-\dfrac{a+b}{2}\ln(\dfrac{a+b}{2})+b\ln b>\dfrac{a+b}{2}\ln(\dfrac{a+b}{2})-a\ln a \]

移项后，可以得到结论

定理 4.
分段函数$f(x)$在$x_0$的邻域内连续，在去心邻域内可导，若

\[\lim_{x\to x_0}f'(x)=k \]

则函数$f(x)$在$x_0$处可导，且

\[f'(x_0)=k \]

定理 5.
函数$f(x)$在$(a,b)$内可导，则$(a,b)$中的点，或者为$f'(x)$的连续点，或者为$f'(x)$的第二类间断点。

证： 在$x_0$取增量$\Delta x\neq0$，$|\Delta x|$足够小，则

\[\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0+\theta\Delta x), \theta\in(0,1) \]

由于$\theta$有界，则$\Delta x\to0$，$x_0+\theta\Delta x\to x_0$。所以

\[\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0} f'(x_0+\theta\Delta x)=k \]

即，$f'(x_0)=k$

例 9. [习题]$f(x)$在$[a,+\infty)$内可导，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$，则

\[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0 \]

例 10. [习题] 设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，$(0,1)$内可导，且$f(0)=0, f(1)=1$。

又设$k_1,k_2,\cdots,k_n>0$, $k_1+k_2+\cdots+k_n=1$。

证明：$(0,1)$内存在$n$个互不相同的数$t_1,t_2,\cdots,t_n$，满足

\[\dfrac{k_1}{f'(t_1)}+\dfrac{k_2}{f'(t_2)}+\cdots+\dfrac{k_n}{f'(t_n)}=1 \]

4. $\forall \epsilon>0 $，$\exists M_1>0$, s.t.

\[|f'(x)|<\epsilon , \forall x>M_1 \]

取$x,b>M_1$，则

\[|f(x)-f(b)|=|x-b|\cdot|f'(\xi)|<|x-b|\epsilon , ( \mbox{for} \xi>M_1) \]

所以

\[|f(x)|<|f(b)|+\epsilon|x-b| \]

取$M_2>b$，使 $\dfrac{f(b)}{M_2}<\epsilon$，则$\forall x>M_2$，

\[\left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\leq \dfrac{|f(b)|}{x}+\epsilon\dfrac{|x-b|}{x} <\dfrac{|f(b)}{M_2}+\epsilon=2\epsilon \]

6.

$f'(\xi)$可以看作是某条弦的斜率的话，$\dfrac{k_1}{f'(t_1)}$就是$y$轴长为$k_1$的一段，在$x$轴上的投影。要证的就变成了，$y$轴上有一系列的线段$k_1,k_2,\cdots,k_n$，长度和为$1$，它们在$x$轴的投影之和为$1$

$0<k_1<1$，则存在$c_1\in(0,1)$，有$f(c_1)=k_1$。而$0<k_1+k_2<1$，则存在$c_2\in(c_1,1)$，有$f(c_2)=k_1+k_2$；类似，可以找到$c_m\in(c_{m-1},1)$，有$f(c_m)=k_1+k_2+\cdots+k_m$, $m=1,2,\cdots,n-1$；最后，$c_n=1,f(c_n)=1=k_1+k_2+\cdots+k_n$。 定义$c_0=0$

存在$t_m\in(c_{m-1},c_m)$，s.t.

\[f'(t_m)=\dfrac{k_m}{c_m-c_{m-1}} , m=1,2,\cdots,n \]

所以有

\[\dfrac{k_m}{f'(t_m)}=c_m-c_{m-1} , m=1,2,\cdots,n \]

即

\[\dfrac{k_1}{f'(t_1)}+\dfrac{k_2}{f'(t_2)}+\cdots+\dfrac{k_n}{f'(t_n)}=c_n-c_0=1 \]

柯西(Cauchy)中值定理

定理 6. (柯西中值定理)
 函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g'(x)\neq 0,x\in (a,b)$，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \]

证：

1. $g'(x)\neq0,x\in(a,b)$，则

\[g(b)-g(a)=g'(\xi)(b-a)\neq 0 \]

即有$g(a)\neq g(b)$。

2. 取

\[F(x)=f(x)-\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}g(x) \]

则，$F(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，且

\[\begin{aligned} F(a)-F(b)&=f(a)-\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}g(a)-(f(b)-\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}g(b) )\\ & =f(a)-f(b)-\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}(g(a)-g(b)) \\ & =0 \end{aligned} \]

由罗耳定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$，即

\[f'(\xi)-\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}g'(\xi)=0 \]

例 11. [定理中的条件$g'(x)\neq0$不能少]

在闭区间$[-1,1]$中，取$f(x)=x^2, g(x)=x^3$，则

\[\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\dfrac{0}{2}=0 \]

而两个函数的导数之比为

\[\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{2x}{3x^2} \]

不会为$0$。

例 12. (例3.3.6) $f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，则 至少存在一个点$\xi$，满足

\[f'(\xi)=2\xi(f(1)-f(0)) \]

思路： 变形为$\displaystyle \frac{f'(\xi)}{2\xi}={f(1)-f(0)}$

例 13. [习题] $f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则 至少存在$c\in(a,b)$，满足

\[2c(f(b)-f(a))=(b^2-a^2)f'(c) \]

思路： 变形为$\displaystyle \frac{f'(c)}{2c}=\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}$，可以吗？

解. 1： 取$g(x)=x^2$

解. 2： 取$g(x)=x^2$，若$0\notin (a,b)$，则$g'(x)\neq 0$。可以使用Cauchy中值定理。

否则，若$a<0<b$，则不能使用Cauchy中值定理。

解. 取

\[F(x)=(b^2-a^2)f(x)-x^2(f(b)-f(a)) \]

则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。因此，只需验证

\[F(a)=F(b) \]

例 14. $f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，$b>a>0$，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[\dfrac{a f(b)- b f(a)}{a-b}=f(\xi)-\xi f'(\xi) \]

思路： 变形为$\displaystyle \frac{\frac{f(b)}b-\frac{f(a)}a}{\frac1b-\frac1a}=f(\xi)-\xi f'(\xi)$

解. 取$ F(x)=\dfrac{f(x)}{x}, G(x)=\displaystyle\frac1{x}$，则

\[\dfrac{F'(x)}{G'(x)}=\dfrac{f'(x)\dfrac{1}{x}+f(x)\dfrac{-1}{x^2}}{\dfrac{-1}{x^2}} =f(x)-x f'(x) \]

导数的介值性

定理 7. (Darboux定理)
函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，

  1. 若$f'_{+}(a)f'_{-}(b)<0$，则存在点$\xi\in(a,b)$，满足
    \[f'(\xi)=0 \]
  2. 则$f'(x)$可以取到$f'_+(a)$和$f'_-(b)$之间的任何值。

定理 8.
若函数$f(x)$的导数$f'(x)\neq 0$，则$f(x)$严格单调。

证： 不防设$f'_+(a)>0,f'_-(b)<0$，则

\[f'_+(a)=\lim_{x\to a+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}>0, f'_-(b)=\lim_{x\to b-}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}<0 \]

所以，$\exists \delta>0$， 同时满足

\[\begin{aligned} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}>0, \forall a<x<a+\delta \\ \dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}>0, \forall b-\delta<x<b \end{aligned} \]

也就是，

  • 存在$x$，使得$f(x)>f(a)$，也存在$y$，使得$f(y)>f(b)$。
  • 这样，$f(a)$和$f(b)$都不是最大值。
  • 由$f(x)$在$[a,b]$内可导，则在$[a,b]$内连续。
  • 这样，函数$f(x)$必在$[a,b]$内取到最大值。
  • 而这个最大值不在端点上得到，则最大值点$\xi\in(a,b)$，

由Fermat定理，有$f'(\xi)=0$。

例 15. 奇函数$f(x)$在$[-1,1]$上有2阶导数，$f(1)=1$。证明

  1. 存在$\xi\in(0,1)$，满足$f'(\xi)=1$
  2. 存在$\eta\in(-1,1)$，满足$f''(\eta)+f'(\eta)=1$

目录

本节读完

例 16. Thanks

16.

例 17. $n$次Legendre多项式

\[X_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}\left((x^2-1)^n\right) \]

在$[-1,1]$中有$n$个不同的实根。

解. 也就是，函数$f(x)=(x^2-1)^n$在$[-1,1]$内，有$n$个不同的$n$阶导数为$0$的点。

例 18. 若$f(x)$在区间$(a,b)$（可以是无穷）内有有界的导数$f'(x)$，则$f(x)$在$(a,b)$内一致连续

解. 设$f'(x)\leq M,\forall x\in(a,b)$，则

\[|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)(x-y)|\leq M |x-y| , \forall x,y\in(a,b) \]

$\forall \varepsilon>0$，取$\delta<\dfrac{\varepsilon}{M}$，则

\[|f(x)-f(y)|\leq M |x-y|<\varepsilon, \forall |x-y|<\delta \]

即，$f(x)$一致连续

例 19. $f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内有二阶导数，则存在$\xi\in(a,b)$，成立

\[f(b)-2f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(a)=\dfrac{(b-a)^2}{4}f''(\xi) \]

解. 取$F(x)=f\left(x+\frac12{b-a}\right)-f(x)$，则

\[\begin{aligned} F\left(\frac12{a+b}\right)-F(a) =&F'(\eta)\left(\frac12{a+b}-a\right)\\ =&F'(\eta)\frac12{b-a} \\ =&\left(f'(\eta+\frac12{b-a})-f'(\eta)\right)\frac12{b-a} \\ =&f''(\eta+\theta\frac12{b-a})\frac12{b-a}\frac12{b-a} \\ \end{aligned} \]

例 20. [习题]$f(x)$在$\mathbb{R}$上可导，且有$M>0$，满足

\[|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^2, \forall x,y\in\mathbb{R} \]

则$f(x)$为常值函数

解. $\forall x_0\in\mathbb{R}$，$x\neq x_0$，有

\[0<\left| \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right|\leq M |x-x_0| \]

令$x\to x_0$，则

\[f'(x_0)=0,\forall x_0\in\mathbb{R} \]

所以，$f(x)$为常数。