不定积分的概念与性质

单变量函数的积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

不定积分的概念与性质

原函数

定义 1. (原函数)
 区间$I$上，$F'(x)=f(x), \forall x\in I$，或$dF(x)=f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。

  1. 区间$I$可以是开、或闭，有限、或无穷。端点处为单侧导数
  2. $F'(x)=f(x)$，则$(F(x)+c)'=f(x), \forall c\in \mathbb{R}$。 所以原函数不唯一
  3. 若$F'(x)=G'(x)=f(x)$，则$(F(x)-G(x))'=0$，所以$G(x)=F(x)+c$。

综上所述，$F(x)+c$为$f(x)$的所有原函数。

不定积分

定义 2.
称$f(x)$在区间$I$上的全体原函数$\{F(x)+c\}$为函数$f(x)$在$I$上的不定积分，记为

\[\int f(x)dx=F(x)+c \]

$\int$为积分符号，$f(x)$为被积函数，$c$为积分常数， $x$为积分变量， $f(x)dx$为被积表达式，

求$f(x)$原函数、或不定积分$\int f(x)dx$的运算，叫作积分运算

积分运算是求导的逆运算

定义 3.
积分得到的一簇曲线，$F(x)+c$，叫作积分曲线。

要得到一条曲线，需要加上一 个限定条件。如

\[\begin{cases} F'(x)=&f(x)=\frac1 x \\ F(1)=&1 \end{cases} \]

则$F(x)=\ln(x)+c=\ln(x)+1$

基本的积分公式

\[\begin{aligned} &\int k dx=kx+c &,& \int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} , \alpha\neq -1 \\ &\int \dfrac{1}{x} dx=\ln(-x), x<0 &,& \int\dfrac{1}{x}dx=\ln x, x>0 \\ &\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x &,& \int\dfrac{1}{\sin^2x}=-\cot x \\ &\int\sin xdx=-\cos x &,& \int \cos xdx=\sin x \\ &\int e^xdx=e^x &,& \int a^x dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} &\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x &,& \\ &\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x &,& \\ &\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) &,& \\ \end{aligned} \]

积分的性质

  1. $\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$ , $\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=d(F(x)+c)=f(x)dx$
  2. $\displaystyle\int \dfrac{d}{dx}F(x)dx=\int f(x) dx=F(x)+c$, $\displaystyle\int f'(x) =f(x)+c$, $\displaystyle\int dF(x)=\int f(x)dx=F(x)+c$
  3. $\displaystyle\int(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta\int g(x)dx$

3.

\[\begin{aligned} &\left(\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\right)' \\ =&\alpha\left(\int f(x)dx\right)'+\beta\left(\int g(x)dx\right)' \\ =&\alpha f(x)+\beta g(x) \end{aligned} \]

直接计算积分

例 1. $\displaystyle\int 2^x e^x dx$

例 2. $\displaystyle\int(3x^2+\dfrac{4}{x})dx $

例 3. [例4.1.4] $\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{\sqrt x}dx$

1.

\[\int(2e)^xdx=\dfrac{(2e)^x}{\ln(2e)}+c \]

2.

\[\begin{aligned} \int(3x^2+\dfrac{4}{x})dx = \int 3x^2 dx+\int\dfrac{4}{x}dx \\ =x^3+4\ln|x|+c \end{aligned} \]

3.

\[\begin{aligned} \int\dfrac{x^2+1}{\sqrt x}dx=\int x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{-\frac12}dx \\ =\dfrac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\dfrac{1}{-\frac12+1}x^{-\frac12+1}+c \\ =\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac12}+c \end{aligned} \]

拼接

例 4. 证明$(-\infty,1),(-1,1),(1,+\infty)$上$\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}$是$\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$的原函数。并求出$\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$在$(-\infty,+\infty)$上的原函数

例 5. $\displaystyle\int\max\{x^2,x^4\}dx, x\in\mathbb{R}$

例 6. [例4.1.7] $\displaystyle\int e^{|x|}dx , x\in\mathbb{R}$

1. $x\neq\pm1$时，

\[\begin{aligned} &(\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2})' \\ =&\dfrac{1}{\sqrt2}\dfrac{1}{1+(\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2})^2} \sqrt 2 \dfrac{(1-x^2)-x(-2x)}{(1-x^2)^2} \\ =&\dfrac{1+x^2}{1+x^4} \end{aligned} \]

需要保证原函数连续性。

在$x=\pm1$上，

\[\lim_{x\to1-}\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\lim_{y\to+\infty}\arctan y=\dfrac{\pi}{2\sqrt2} \]
\[\lim_{x\to1+}\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}=\dfrac1{\sqrt2}\lim_{y\to-\infty}\arctan y=\dfrac{-\pi}{2\sqrt2} \]
\[\lim_{x\to-1-}\dfrac1{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}=\dfrac1{\sqrt2}\lim_{y\to+\infty}\arctan y=\dfrac{\pi}{2\sqrt2} \]
\[\lim_{x\to-1+}\dfrac1{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}=\dfrac1{\sqrt2}\lim_{y\to-\infty}\arctan y=\dfrac{-\pi}{2\sqrt2} \]
\[F(x)=\left\{\begin{aligned} \dfrac1{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}+c &, & x<-1 , &c=\dfrac{-\pi}{\sqrt2} \\ \dfrac{-\pi}{2\sqrt2} &, & x=-1 \\ \dfrac1{\sqrt 2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2} &, & x\in(-1,1) \\ \dfrac{\pi}{2\sqrt 2} &,& x=1 \\ \dfrac1{\sqrt 2}\arctan\dfrac{\sqrt 2 x}{1-x^2}+c &, & x>1 , &c=\dfrac{\pi}{\sqrt 2} \end{aligned} \right. \]

2.

\[\max\{x^2,x^4\}=\begin{cases} x^2 , & |x|\leq 1 \\ x^4 , & x<-1 \\ x^4 , & x>-1 \end{cases} \]

$x\in(-1,1)$，$\displaystyle\int\max\{x^2,x^4\}dx=\dfrac{x^3}{3}+c_1$

$x>1$，$\displaystyle\int\max\{x^2,x^4\}dx=\dfrac{x^5}{5}+c_2$

$x<-1$，$\displaystyle\int\max\{x^2,x^3\}dx=\dfrac{x^5}{5}+c_3$

取$F(0)=0$，取适合的$c_1,c_2,c_3$，使$F(x)$连续

$F(0)=0, \Rightarrow , c_1=0$

$\begin{cases}F(1-)=&\dfrac{1}{3}, \\F(1+)=&\dfrac{1}{5}+c_2,\end{cases} \Rightarrow , c_2=\dfrac{2}{15}$

$\begin{cases}F(-1+)=&\dfrac{-1}{3}, \\ F(-1-)=&\dfrac{-1}{5}+c_3,\end{cases} \Rightarrow , c_3=\dfrac{-2}{15}$

\[F(x)=\begin{cases} \dfrac{x^5}{5}+\dfrac{2}{15} , & x>1 \\ \dfrac{x^3}{3} , & x\in[-1,1] \\ \dfrac{x^5}{5}-\dfrac{2}{15}, &x<-1 \end{cases} \]

3. $x\geq0$， $\int e^xdx=e^x+c_1$

$x<0$， $\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_2$

在$x=0$处连续，有

\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0-}F(x)=&-1+c_2 \\ \lim_{x\to 0+}F(x)=&1+c_1 \end{aligned} \Rightarrow c_2=c_1+2 \]

在$x=0$处可导，

\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0-}F'(x)=&e^{0}=1 \\ \lim_{x\to 0+}F'(x)=&e^{-0}=1 \end{aligned} \]

所以，

\[F(x)=\begin{cases} e^x+c , & x\geq 0 \\ -e^{-x}+c+2, & x<0 \end{cases} \]

目录

本节读完

例 7. Thanks

7.

例 8. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx$

4.

\[\begin{aligned} \int\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx=\int\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}2dx \\ =\frac12(\dfrac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\dfrac{(x-1)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}})+c \\ =\frac13((x+1)^\frac{3}{2}-(x-1)^\frac{3}{2})+c \end{aligned} \]

例 9. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}dx$

5.

\[\begin{aligned} \int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}dx=\int\dfrac{\sin^2+\cos^2}{\sin^2\cos^2}dx \\ =\int\frac1{\cos^2}dx+\int\frac1{\sin^2}dx \\ =\tan x-\cot x+c \end{aligned} \]

例 10. $\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^4}dx$

6.

\[\begin{aligned} \int\dfrac{1}{1-x^4}dx = \int(\frac1{1-x^2}+\frac1{1+x^2})\frac12 dx \\ =\int((\frac1{1-x}+\frac1{1+x})\frac12+\frac1{1+x^2})\frac12 dx \\ =\int\frac14\frac1{1-x}dx+\int\frac14\frac1{1+x}dx+\int\frac12\frac1{1+x^2}dx \\ =\dfrac{-1}{4}\ln|1-x|+\frac14\ln|1+x|+\frac12\arctan(x)+c \end{aligned} \]

例 11. $f(x)$在$I$上定义，有原函数$F(x)$，则

  1. 若$f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数
  2. 若$f(x)$为偶函数，则$F(x)$中只有唯一一个奇函数

证： 设$F'(x)=f(x)$为其中一个原函数

1. 由$(F(x)-F(-x))'=f(x)+f(-x)=0$，可知

\[F(x)-F(-x)=c \]

又$F(0)-F(-0)=0$，可知$c=0$，即有

\[F(x)=F(-x) \]

2. 由$(F(x)+F(-x))'=f(x)-f(-x)=0$，则

\[F(x)+F(-x)=c \]
  • 若$F(0)=0$，则$c=0$。这时，有$F(x)=-F(-x)$，此时$F(x)$为奇函数
  • 若$F(0)\neq0$，则$F(x)$不是奇函数