张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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将区间分成等分,每个曲边图形用一个矩形近似,面积为 因此,总的面积和为 |
当趋于时,这个极限是多少?
将区间分成等分,每个曲边图形用一个矩形近似,面积为 因此,总的面积和为 |
当趋于时,这个极限是多少?
将区间分成等分,每个曲边图形用一个矩形近似,面积为 因此,总的面积和为 |
当趋于时,这个极限是多少?
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类似地,可以计算质点作变速直线运动的路程。
把时间段分成多个小段,每个小段上的运动近似为匀速运动。
定义 1. (定积分)
在上有定义,在的任一分割
记, , 和式
称为积分和或 Riemann和,简记为
若存在,且与无关,则
称函数在上可积或Riemann可积,
并称这个极限为在上的定积分或Riemann积分,记为
称为被积函数; 为积分下限; 为积分上限; 为被积表达式; 为积分变量
例 1. 常值函数是可积的。
解. 对任意分割,有
例 2. Dirichlet函数 是不可积的。
解. 每个小区间上,取为有理点和无理点得到的极限不一样。
定理 1. (可积则有界)
若在上可积,则在上有界
推论 1.
函数无界则不可积
有界,也未必可积。如Dirichlet函数
问题. 函数在上可积吗?
证: (反证) 设在有无界。
可积,则有实数,取,则,
由无界,则一定在某个小区间上无界,不防设为。 由
可得
固定,则右边为一数,对都成立,即 在上有界。
矛盾
解. 对Dirichlet函数,有
定义 2. (达布和)
在上有界,分割
定理 2.
在上有界,则可积当且仅当
定理 3.
在上有界,可积当且仅当,
,存在分割满足
定理 4.
在上连续,则可积
定理 5.
在上有界,且只有有限个间断点,则可积
定理 6.
在上单调有限,则可积
1.证明: 在上连续,则一致连续。
,,有
取分割,,则,则有
所以有
即
2.证: 每个区间上都连续
3.证: 不防设单调增,则
,取,则对,有
即有
有无穷个间断点,是否就不可积?
Riemann函数
为可积函数
证: (基本思路: 只有有限个点的值 )
,取,则集合 只有有限个,记个数为。 取,则对 区间上的任意分割,当时,
则
例 3. ,
解. 把分为等份,, 则。取,(为什么?)
函数可积吗?
2. ,
分割为,其中, ,则,取
3.
等分区间,,取右端点
则有
4.
等分区间,,取右端点
由
或,取,
例 4.
例 5.
例 6. Thanks
6.
定义 3. (达布和)
在上有界,分割
定理 7.
若在给定分割中加入一些新的节点,则达布上和减小,达布下和增加;
若在给定分割中加入个新的节点得到,则
只需要讨论增加一个节点的情形。
设中增加了节点,记新的分割为。则与仅在区间涉及的项有有所不同。
中对应的项是
其中,是函数在区间上的上确界。而中对应的项是
其中,是函数在区间,上的上确界。显然有
于是有
这样
另一方面,记在区间上的上确界为, 下确界为,则
定理 8.
对任意两个分割和,有
进而易知(上和的下确界不小于下和的上确界),即
其中称为函数的 下积分,称为函数的 上积分。
定理 9.
有
,为2个分割,为这两个分割的合并。则有
所以有
即,对任意不同的分割,下和不超过上和
定理 10. (定积分存在的判别准则)
在有界,则可积,当且仅当,
即
证:
() 当可积,则有
所以,,有
即有
由性质2,有
则有
即
() 若 ,则
,有
由性质3,有
所以
令,则,记为,则有
由性质1,有
即
定理 11.
在有界,则
可积,当且仅当,
定理 12.
在可积的充要条件是: ,存在分割满足