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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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实际问题的解决，往往需要通过数学建模过程，建立它的数学模型，然后再来求解。
微元分析法是用定积分建立数学模型的重要方法。它需要表达的量满足两个特点：
对于一个具体问题
问题的关键是寻找到正确的微元表达式， 也就是验证与之间是否相关一个高阶无穷小量。 因此，这种分析方法叫作微元分析法
在上连续，则 曲线，轴，及直线和所围成的曲边梯形的面积为
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时 |
时， |
若不管的符号，则有面积
若图形由两个连续函数, 及直线, 围成，则它的面积为
例 1. 求函数, 及所围成的面积
例 2. [例4.6.1] 求由曲线, , 所围成的平面图形的面积
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曲线的极坐标方程为 任取长度为的区间 |
在小区间上用圆弧代替曲线弧，得到面积微元
这样，可以得到面积为
例 3. (例4.6.2) 求 双纽线 围成的面积
解. 由对称性，
1.
设有参数方程， 。 从极坐标入手，计算它的面积。
先算。由
或
即有
又，所以有极坐标下的面积微元
参数方程 的面积公式为
例 4. (例4.3.3) 求椭圆 围成的面积
2.
例 5. 求围成的面积
解. 分段给出表达
解. 或者，用极坐标
3.（ 隐式方程，分段给出表达）
则有
或者，用极坐标 则有
得到
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在曲线上任取分点 连接这些分点得到曲线的一条内折线。 记为弦的长度。 记 |
定义 1.
若时，折线的长度的极限存在，则这个极限就是曲线的长度，
或称为曲线的弧长。此时，称曲线为可求长曲线。
在曲线上取两点和，其横坐标分别为与， 则两点的距离为
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可以得到弧长的微元为 或 |
当连续时（此时，称连续可微），可得弧长为
例 6. ，在到之间的长度
解. 弧长为
4.
则有
设曲线的参数方程为
则弧长微元
弧长为
设曲线的极坐标方程， 则有
得到弧长微元
弧长为
例 7. 求弧长 (星形线)
5.
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若过点且垂直与轴的平面截得的截面面积为。 则任意长度为的小区间上的立体可以近似看作一个小圆柱， 因此体积微元为 |
则体积为
例 8. (例4.6.7) 一个锥体，底面积为，高为。求该锥体的体积。
解. 注意到面积关系
则
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将函数， , 以及轴围成的曲边梯形，绕轴旋转一周， 得到了一个旋转体。 点处的截面的面积为 |
因此，旋转体的体积为
对于长度为的区间对应的小曲边梯形，绕轴旋转一周， 得到的旋转体的体积可以近似地看作高为， 底面半径为和的两圆柱的体积差
因此，体积元为。得到体积为
例 9. (例4.6.8) 椭圆，绕轴一周，得到椭球体积
7.
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小段区间对应的弧 所得到的旋转体的侧面积为 为的弧长。 |
略去的高阶无穷小量，
旋转体侧面积微元为
因此，旋转体的侧面积为
若曲线的参数方程为
则弧长元
侧面积元
侧面积
若曲线的极坐标方程为
以为参数，则弧长微元为
可得侧面积为
例 10. (例4.6.9) 半径为的球面的面积
解. 将球面看成是曲线的旋转面，
解. 将球面写成极坐标曲线的旋转面
解. 将球面写成参数曲线的旋转面
8.
则
因此，侧面积
则
则
例 11. ，过原点作其切线，求此曲线、切线，与轴围成的面积，及绕轴一周的侧面积
11. 先求切点。曲线上点的切线方程为
当切线过原点，则
这样有，
可得
侧面积，由切线的侧面积和曲线的侧面积组成。
考虑一个半径为的球壳对离球心的点处的质点的万有引力。
微元： 考虑球壳上角度处取出的一个条带状圆环对点的引力
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设处质点质量为，球壳的密度为。则球壳上角度处对点的引力为 |
考虑到, 与都有关系，需要进一步的运算。
由，及，得到
令，则有
或者，由，得到
另外，有余弦公式，得到
代入微元表达式，得到
积分后，有
其中正好是球壳的质量。这和球壳的全部质量集中在球心时产生的引力是一样的。
例 12. 谢谢
12.