广义积分

单变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

广义积分

例：

\[\int_1^b\dfrac1{x^2}dx=\left.\dfrac{-1}x\right|_1^b=1-\dfrac1b \]

利用极限的思想，则

\[\lim_{b\to+\infty}\int_1^b\dfrac1{x^2}dx=1 \]

可以看到，利用极限，函数的积分可以推广到区间无穷的情形。

无穷积分

定义 1. (无穷积分)
$f(x)$在$[a,+\infty)$上定义，且对任意$b>a$，$f(x)$在$[a,b]$上可积， 若$\displaystyle\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$ 存在有限，则记极限为

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx \]

并称这个极限为$f(x)$在$[a,+\infty)$上的无穷积分，或第一类广义积分。 此时，称无穷积分收敛；否则称无穷积分发散。

当无穷积分收敛，也称$f(x)$在$[a,+\infty)$上广义可积或可积。

类似地，$(-\infty,b]$上的广义积分为

\[\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)dx \]

定义 2.
前面讨论过的在有界区间上对有界函数的Riemann积分，称为常义积分。推广后的积分，称为广义积分或反常积分。包含2类：

  1. 积分区间无限
  2. 被积函数无界

定义 3.
$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上定义，且任何有界区间上可积。若

\[\int_{-\infty}^c f(x)dx, \int_c^{+\infty}f(x)dx \]

对$\forall c\in \mathbb{R}$收敛，则称 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛。且

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx =\int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty}f(x)dx \]

此时，称$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上可积。若有至少一个发散， 则称$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$发散

牛顿-莱布尼茨公式

定理 1. (牛顿-莱布尼茨公式)
 $f(x)$在$[a,-\infty)$上可积，且有原函数$F(x)$，则

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=F(+\infty)-F(a) \]

其中，$F(+\infty)=\displaystyle\lim_{b\to+\infty}F(b)$

\[\begin{aligned} \lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx=\lim_{b\to+\infty}(F(b)-F(a)) \\ =F(+\infty)-F(a) \end{aligned} \]

变量代换

$\phi(\alpha)=a$，$\phi: [\alpha,\beta)\to[a,+\infty)$，$\phi$可导，且

\[\lim_{t\to\beta-}\phi(t)=+\infty \]

则有

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt \]

分部积分

当$x\to+\infty$时，$f(x)g(x)$存在有限，且

\[\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)d(f(x)) \]

收敛，则有

\[\int_a^{+\infty}f(x)d(g(x))=f(x)g(x)\Big|_{a}^{+\infty}-\int_a^{+\infty}g(x)d(f(x)) \]

例 1. (例4.7.1) (第一类$p$积分) $\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac1{x^p}dx$

例 2. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{xe^x}{(1+e^x)^2}dx$

例 3. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac1{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}dx$，$\alpha$为常数

例 4. (例4.7.3) $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac1{(a^2+x^2)^{\frac32}}dx$

例 5. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac1{x\sqrt{1+x^{\alpha}+x^{2\alpha}}}dx$，$\alpha>0$

1. $\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac1{x^p}dx$

$p\neq 1$时,

\[\int_a^b\dfrac1{x^p}dx=\dfrac1{1-p}x^{1-p}=\dfrac1{1-p}(b^{1-p}-a^{1-p}) \]
\[\begin{aligned} =\begin{cases} \dfrac1{p-1}a^{1-p},& p>1 \\ +\infty ,& p<1 \end{cases} , b\to+\infty \end{aligned} \]

$p=1$时，

\[\int_a^b\dfrac1xdx=\ln(\dfrac{b}{a}) \]
\[=+\infty, b\to+\infty \]

2. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{xe^x}{(1+e^x)^2}dx$

\[\begin{aligned} =-\int_0^{+\infty}xd(\dfrac1{1+e^x}) \\ =-\dfrac{x}{1+e^x}|_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\dfrac1{1+e^x}dx \\ =0-\ln(1+e^x)|_0^{+\infty}=\ln 2 \end{aligned} \]

3. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac1{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}dx$，$\alpha$为常数

令$x=\dfrac1t$，则

\[\begin{aligned} \int_0^{+\infty}\dfrac1{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}dx =\int_{+\infty}^0\dfrac{\frac{-1}{t^2}}{(1+(\frac1t)^2)(1+(\frac1t)^{\alpha})}dt \\ =\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{\alpha}}{(t^2+1)(t^{\alpha}+1)}dt =\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{\alpha}}{(x^2+1)(x^{\alpha}+1)}dx \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \int_0^{+\infty}\dfrac1{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}dx \\ =\dfrac12\int_0^{+\infty}\dfrac{1+x^{\alpha}}{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}dx \\ =\dfrac12\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{1+x^2}dx \\ =\dfrac12\arctan x|_0^{+\infty}=\dfrac{\pi}4 \end{aligned} \]

4. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac1{(a^2+x^2)^{\frac32}}dx$

令$x=a\tan t$，$dx=\dfrac{a}{\cos^2t}dt，

且$0=a\tan(0), +\infty=a\tan(\frac{\pi}2)$

\[=\dfrac1{a^2}\int_0^{\frac{\pi}2}\cos tdt=\dfrac{1}{a^2} \]

5. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac1{x\sqrt{1+x^{\alpha}+x^{2\alpha}}}dx$，$\alpha>0$

令$\dfrac1{x^{\alpha}}=t$， 则$\dfrac{1}{x^{1+\alpha}}dx=-\dfrac1{\alpha}d(\dfrac1{x^{\alpha}})$

\[\begin{aligned} =\int_1^{+\infty}\dfrac1{x\sqrt{1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}}}\dfrac1{x^{1+\alpha}}dx \\ =\dfrac{-1}{\alpha}\int_0^1\dfrac1{\sqrt{1+t+t^2}}dt \\ =\dfrac1{\alpha}\ln(t+\dfrac12+\sqrt{1+t+t^2})|_0^1=\dfrac1{\alpha}\ln(1+\dfrac2{\sqrt 3}) \end{aligned} \]

Cauchy主值

定义 4. (Cauchy主值)
 $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上定义，若$\displaystyle\int_0^bf(x)dx$，$\displaystyle\int_{-b}^0f(x)dx$对任意$b>0$都存在，则称极限（若存在）

\[\lim_{b\to+\infty}\left(\int_{-b}^0f(x)dx+\int_0^b f(x)dx\right) =\lim_{b\to+\infty}\int_{-b}^b f(x)dx \]

为无穷积分$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$的Cauchy主值。记为

\[V.P.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_{-b}^b f(x)dx \]

此时，称$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$在Cauchy主值意义下收敛。简称Cauchy主值积分收敛

无穷积分收敛，则Cauchy主值收敛

Cauchy主值收敛，并不意味着无穷积分收敛

例 6. (例4.7.5(1)) $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x}{1+x^2}dx$

6. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x}{1+x^2}dx$

\[\int_{-\infty}^a\dfrac{x}{1+x^2}dx=\int_{-\infty}^a\dfrac{1}{1+x^2}\dfrac12d(x^2)=\dfrac12\ln(1+x^2)|_{-\infty}^a \]

发散

\[\int_{-a}^a\dfrac{x}{1+x^2}dx=0 \]

有

\[V.P.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0 \]

瑕积分

定义 5. (瑕积分)
 $f(x)$在$(a,b]$上定义，且在$a$的任意小邻域内无界，但$\forall \epsilon\in(0,b-a)$，$f(x)$在$[a+\epsilon,b]$上可积。若

\[\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx \]

存在有限，则称瑕积分$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛，记为

\[\int_a^b f(x)dx=\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx \]

否则，称瑕积分发散。点$a$称为积分的瑕点

  • $b$为瑕点，则
    \[\int_a^b f(x)dx=\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a}^{b-\epsilon}f(x)dx \]
  • $a,b$均为瑕点，$f(x)$在$(a,b)$内可积（无瑕点），
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx , \forall c\in(a,b) \]
  • $[a,b]$内有瑕点$c$，则
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]

Newton-Leiberniz公式

定理 2.
若$a$,$b$均为瑕积分的瑕点，$f(x)$在区间上有原函数$F(x)$，则

\[\int_a^bf(x)dx=F(b-)-F(a+) \]

其中

\[\begin{aligned} F(b-)=\lim_{\epsilon\to0+}F(b-\epsilon) \\ F(a+)=\lim_{\epsilon\to0+}F(a+\epsilon) \end{aligned} \]

变量代换

$\phi$可导且导数连续，$\phi:(\alpha,\beta)\to(a,b)$，

\[\lim_{t\to\alpha+}\phi(t)=a, \lim_{t\to\beta-}\phi(t)=\beta \]

则

\[\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt \]

分部积分

$f(x),g(x)$有连续导数，当$x\to a+, x\to b-$时，$f(x),g(x)$存在有限， 且$\displaystyle\int_a^b g(x)f'(x)dx$存在有限，则

\[\int_a^b f(x)d(g(x))=f(x)g(x)\Big|_a^b - \int_a^b g(x)d(f(x)) \]

例 7. (例4.7.6) (第二类$p$积分) $\displaystyle\int_a^b\dfrac1{(x-a)^p}dx$

例 8. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx$

7. $\displaystyle\int_a^b\dfrac1{(x-a)^p}dx$

$p\neq1$时 ，有

\[\begin{aligned} \int_a^b\dfrac1{(x-a)^p}dx =&\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a-\epsilon}^b\dfrac1{(x-a)^p}dx \\ =&\dfrac{1}{1-p}\lim_{\epsilon\to0+}\dfrac1{(x-a)^{p-1}}\bigg|_{a+\epsilon}^b \\ =&\begin{cases} \dfrac{(b-a)^{1-p}}{1-p}, &p<1 \\ +\infty, &p>1 \end{cases} \end{aligned} \]

$p=1$时, 有

\[\int_a^b\dfrac1{x-a}dx=\lim_{\epsilon\to0+}\ln\dfrac{b-a}{\epsilon}=+\infty \]

8. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx$

$0$为瑕点，$+\infty$为无穷积分

\[=\int_0^1\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx+\int_1^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx \]

令$x=\dfrac1t$，则

\[\begin{aligned} \int_1^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx =&\int_0^1\dfrac{\ln(\frac1t)}{1+\frac1{t^2}}\dfrac{-1}{t^2}dt \\ =&\int_0^1\dfrac{\ln t}{t^2+1}dt \end{aligned} \]

令$x=\tan t$，则

\[\int_0^1\dfrac{\ln t}{t^2+1}dt =\int_0^{\frac{\pi}2}\dfrac{\ln(\tan t)}{1+\tan^2t}d(\tan t) =\int_0^{\frac{\pi}2} \ln(\tan t) dt \]

由

\[\ln(\tan(\dfrac{\pi}2-t))=\ln(\cot t)=-\ln(\tan t) \]

为$\dfrac{\pi}4$的奇对称

瑕积分的Cauchy主值

定义 6. (瑕积分的Cauchy主值)
$f(x)$在$[a,b]$的内点$c$附近无界，不含$c$的子区间上可积，

\[\lim_{\epsilon\to0+}(\int_a^{c-\epsilon}f(x)dx+\int_{c+\epsilon}^b f(x)dx) \]

存在有限，称为$\displaystyle\int_a^bf(x)dx$的柯西主值，记为

\[V.P.\int_a^b f(x)dx=\lim_{\epsilon\to0+}(\int_a^{c-\epsilon}f(x)dx+\int_{c+\epsilon}^b f(x)dx) \]

称$\displaystyle\int_a^bf(x)dx$Cauchy主值积分收敛

  • 瑕积分收敛，则Cauchy主值收敛
  • Cauchy主值发散，则瑕积分发散

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本节读完

例 9. 谢谢

9.