微分方程的基本概念

微分方程

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

微分方程的基本概念

例 1. 温度分布： $100^\circ C$ 的物体放到$20^\circ C$的环境中，物体温度随时间的分布情况

解. 设温度为$T(t)$，为时间$t$的函数，则温度的变化率满足

\[\dfrac{dT(t)}{dt}=-k(T(t)-20) \]

加上初使温度$T(0)=100$，就得到了$T(t)$应该满足的关系。

例 2. 贷款：贷款50万，年利率5%。计划每月还定额的钱，10年还清。则每个月还多少？

解. 设当月欠款$W(t)$，为时间的函数，每个月还款为$k$，则欠款的变化为

\[\dfrac{dW(t)}{dt}=r\cdot W(t)-k \]

其中$r=\dfrac{0.05}{12}$为每个月的利息，$k$为每个月还的钱。

初时$W(0)=500000$，10年后$W(120)=0$表示还清欠款。

例 3. 自由落体：

解. 下落距离$x$与时间$t$的关系

\[\begin{aligned} \dfrac{d^2x}{dt^2}=g \\ x(0)=0 \\ x'(0)=0 \end{aligned} \]

其中$x(0)$, $x'(0)$分别表示初始的位置与速度

例 4. 假定：

  • 火箭在喷气推动下做直线运动，不计火箭的重力和空气阻力
  • $t$时刻火箭的质量为$m(t)$，速度为$v(t)$，且均为时间的连续可微函数
  • 火箭末端喷出气体的速度相对火箭自身为常数$u$

试给出$m(t)$与$v(t)$应该满足的关系式

解. 微元分析：假定$\Delta t$时间内，质量变化$\Delta m$，速度变化$\Delta v$ 则由动量守恒，有

\[(m-\Delta m)(v+\Delta v) = mv + \Delta m(v-u) \]
\[m\Delta v-\Delta m\Delta v=-\Delta m u \]

略去$\Delta t$的高阶小量，得到

\[m(t)v'(t) = - m'(t) u \]

微分方程

定义 1. (微分方程)
含有未知函数的导数或微分的等式，称为微分方程

实际中，未知函数还要满足一些条件，称为定解条件

方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为方程的阶

一般的$n$阶微分方程为

\[F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)}(x))=0 \]

方程中有$y^{(n)}(x)$出现，其余的导数可以不出现。

例 5.

兔子在$C(0,1)$处，沿$y$轴，以速度$v$运动。狗在$A(-1,0)$处，向兔子的位置，以速度$2v$追。求狗的运动曲线

dog-chase-rabbit

5. 在时刻$t$，狗的位置为$B(x,y)$，兔子位置为$D(0,z)$，则有

\[\begin{cases} z=1+vt \\ \int_{-1}^x\sqrt{1+(y'(x))^2}dx=2vt \\ y'(x)=\dfrac{z-y}{0-x} \Rightarrow z=y-y'(x)x \end{cases} \]

可以得到

\[y-xy'(x)=1+\dfrac12\int_{-1}^x\sqrt{1+(y'(x))^2}dx \]

dog-chase-rabbit

两边对$x$求导，有

\[y'(x)-(y'(x)+xy''(x))=\dfrac12\sqrt{1+(y'(x))^2} \]

这样，有定解问题

\[\begin{cases} xy''(x)+\dfrac12\sqrt{1+(y'(x))^2}=0 \\ y(-1)=0 \\ y'(-1)=1 \end{cases} \]

定义 2.
若$y=\phi(x)$在$I$上有直到$n$阶的连续导数，并且满足

\[F(x,\phi(x),\phi'(x),\cdots,\phi^{(n)}(x))=0 \]

称$y=\phi(x)$为方程的一个解。$I$为$\phi(x)$的定义区间。

如：

$x(t)=\dfrac12gt^2+C_1t+C_2$是$x''(t)=g$的解，

$W(t)=\dfrac{k}{r}+Ce^{rt}$是$\dfrac{dW(t)}{dt}=rW(t)-k$的解，

通解-特解

定义 3.
通常称微分方程为泛定方程，含常数的解称为通解

取常数$C$为某个值，满足定解条件，称为特解

如： $y'(x)=\cos(x)$，则通解为$y(x)=\sin(x)+C$

  1. 微分方程的解是一个函数，代数方程的解是数
  2. 解可能有无穷个
  3. 一般来说，$n$阶方程，需要$n$个定解条件

例 6. 对于自由落体运动问题

\[\begin{aligned} \begin{cases} x(t)=\dfrac12gt^2+C_1t+C_2 \\ x(0)=0 \Rightarrow C_2=0 \\ x'(0)=0 \Rightarrow C_1=0 \end{cases} \end{aligned} \]

可以得到 $x(t)=\dfrac12gt^2$为特解

一个定解问题，要满足如下特性：

  • 存在性：是否存在至少一个解
  • 唯一性：是否解唯一

  • 连续依赖性：对初始条件参数的依赖性（稳定性）。

    也就是说，初始条件参数变化很小，则解变化也很小

线性微分方程

定义 4. (线性微分方程)
 若$F(x,y,z_1,\cdots,z_n)$是关于$y,z_1,z_2,\cdots,z_n$的线性函数，且系数仅为$x$的函数，则称微分方程

\[F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)}(x))=0 \]

为线性微分方程。可以表示为

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots \\ +a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x) \end{aligned} \]

其中$a_i(x)$为已知函数。

若$f(x)\equiv 0$，则称为齐次线性微分方程。否则，称为非齐次线性微分方程

例 7. 判定下面方程的阶，是否线性，是否齐次

  1. $\dfrac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)x^n$
  2. $\dfrac{d^2y}{dx^2}+a(x)\dfrac{dy}{dx}+b(x)y=f(x)$
  3. $(\dfrac{dy}{dt})^2-4y=0$
  4. $(x^2+1)y''=2xy'$

1. $\dfrac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)x^n$

当$n=1$时，是一阶线性微分方程。$n>1$时，是一阶非线性微分方程

2. $\dfrac{d^2y}{dx^2}+a(x)\dfrac{dy}{dx}+b(x)y=f(x)$

二阶线性非齐次微分方程

3. $(\dfrac{dy}{dt})^2-4y=0$

一阶非线性微分方程

4. $(x^2+1)y''=2xy'$

二阶线性微分方程

线性方程的叠加原理

$y=\phi_i(x)$是线性方程

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)&+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x) \\ &+a_0(x)y(x)=f_i(x) \end{aligned} \]

的解，则

\[y(x)=c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_m\phi_m(x) \]

是

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)&+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x) \\ &+a_0(x)y(x)=c_1f_1(x)+\cdots+c_mf_m(x) \end{aligned} \]

的解。其中$c_1,\cdots,c_m$是任意常数。

若$y=\phi_i(x)$是齐次线性方程

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)&+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x) \\ &+a_0(x)y(x)=0 \end{aligned} \]

的解，则

\[y_h(x)=c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_m\phi_m(x) \]

也是齐次线性方程的解。

若$y_p(x)$是非齐次线性方程

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)&+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x) \\ &+a_0(x)y(x)=f(x) \end{aligned} \]

的解，则$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$是非齐次方程的解。

例 8. 方程

\[y''(x)+y(x)=0 \]

有两个解$y_1=\sin(x), y_2=\cos(x)$。

则$y_h(x)=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)$是方程的解

而方程

\[y''(x)+y(x)=-3\cos(2x) \]

的一个解为$y_p=\cos(2x)$，则

\[y(x)=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)+\cos(2x) \]

为方程的解

一阶线性定解问题的解的存在唯一性

定理 1. (一阶线性定解问题的解的存在唯一性)
$p(x), f(x)$在$(a,b)$上连续，$x_0\in(a,b)$为一定点，$y_0$为给定的实数。则

存在唯一的$(a,b)$内连续可导的函数，满足

\[\begin{aligned} \begin{cases} y'(x)+p(x)y(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} \end{aligned} \]

二阶线性定解问题的解的存在唯一性

定理 2. (二阶线性定解问题的解的存在唯一性)
$p(x), q(x), f(x)$在$(a,b)$上连续，$x_0\in(a,b)$为一定点，$y_0, y_1$为给定的实数。则

存在唯一的$(a,b)$内二阶连续可导的函数，满足

\[\begin{aligned} \begin{cases} y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \\ y'(x_0)=y_1 \end{cases} \end{aligned} \]

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本节读完

例 9. 谢谢

9.