一阶微分方程
微分方程
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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui [at] ustc [dot] edu [dot] cn |
一阶微分方程
方向场
一阶微分方程写成
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以为起点，为斜率，做单位方向场 得到一个向量场 解是一条曲线，称为积分曲线。从图上看，从某点开始，沿向量场运动的轨迹。 |
分离变量
若一阶微分方程可以写成
- 若，则
两边积分，可以得到如下的隐式表达的解
- 若有某个点满足，则也是解。
分离变量的时候，有可能遗漏常数解
例 1. (例5.2.2)
解. 分离变量
及解
例 2.
例 3.
1. , 分离变量
另外，也是解。因此，通解可以写成
若加上初值条件： ，则有，解为
2.
另外，也是解，是上式中的情形。所以解可以写成
[#ex5-2-3].
两边积分后，有
例 4. 火箭质量与速度的变化方程为
其中为燃料喷射速度。能否得到燃料喷射完后的火箭速度。
解. 分离变量，有
两边在上积分，得到
- 火箭的初始速度为，在燃料耗尽后达到的速度为。
- 火箭的有效质量占比（结构+燃料/结构的比）为。
- 已知第一宇宙速度，燃料喷射速度。
则要使火箭到达卫星轨道，需要
目前可以做到，怎么办？
变换后，再分离变量
定义 1.
若，则称是零次齐次函数。称微分方程为齐次方程。
若是零次齐次函数，则可以令
就可以将一阶微分方程变成可分离变量的形式。
例 5.
解. 令，则方程变为
例 6.
例 7.
例 8.
5.
令，则
可得
6.
令，
时，有
时，有
7.
(使用变量代换，得到分离变量的形式。)
令，则
所以有
齐次化
对方程
若，则
为零次齐次函数。令就可以分离变量
若，则设 ， 有
取适当的，满足 ， 则
为零次齐次函数。
若，则取，
取，则，有
可以直接分离变量
求满足
例 9.
令，其中,为常数。则
取, 满足
例 10.
9.
取满足
可得。令
令，则
当时，有
当f是，即，则
10.
令，则
时，
时，是解
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式：
一阶齐次线性微分方程
一阶齐次线性方程
可以直接分离变量。
- 当 时，有
- 另外，也是方程的解。
一阶线性齐次微分方程
的通解为
这里指代的某一个原函数。 因此，解也可以写成
积分因子法
对非齐次线性方程，在方程两边同乘以，则有
两端积分，有
即有通解
常数变异法
把齐次线性微分方程的通解中的常数，变为一个函数因子。 设非齐次微分方程的解为
代入非齐次线性方程中，可得
可解得的通解为
其中
是对应的齐次线性方程的通解，而
则是非齐次线性方程的特解。
非齐次线性方程的通解，为齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的特解之和，即
是叠加原理的一种形式。
这种形式也可以用到高阶的线性方程上。
例 11. (例5.2.7)
例 12.
例 13.
例 14. 为上的以为周期的连续函数，证明方程
有唯一的以为周期的解
11.
先解齐次的
再解非齐次的
代入方程，有
所以解为
12.
不好处理。
看作是函数，则有
齐次
有通解，
或
定解条件
解为
取积分因子为
则有
例 15.
15.
从到积分，有
即
伯努利方程
Bernoulli方程是一阶非线性的微分方程
显然，是一个解。
当时，两边乘，有
令，则，即有
这样，有如下的一阶线性微分方程
令，可以将Bernoulli方程变为一阶线性微分方程。
例 16.
例 17.
观察法
例 18.
17.
令，则有
令，则
则有
所以
18.
例 19. 满足
求?
例 20. 有连续导数，且
例 21. 满足
且存在, 求?
例 22. 在内有连续导数，，且
求?
20. 解：
令，则有
两边对求导
而
由，有，即
22. 解：
由
有
，或
可导，则
由，知不可能为常值函数。由上面的表达式可以看到
(否则，)所以有
由
有，所以有
例 23. 在上可导，为其反函数。，且
23. 解：
两边对求导，则有
一阶线性非齐次微分方程
乘积分因子 ，则有
由，则有
例 24. 有连续导数，且
24. 解：
令，则有
两边对求导，有
即
分离变量，可得
可得到解
另外，还有解 。
所以，解为
定理 1.
什么是定理
引理 1. (Left co-sets are disjoint)
Let be a subgroup of a group , and let and
be elements of . Suppose that is
non-empty. Then .
证明. (Of Lemma 1) Let be some element of . Then for some , and for some . If is any element of then and , since is a subgroup of . But and for all . Therefore and , and thus . Similarly , and thus , as required. □
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