多变量函数的极限与连续

多变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

多变量函数的极限与连续

  • 在单变量微积分中，函数的连续性、可微性以及可积性都建立在极限理论的基础之上。
  • 单变量函数的极限定义为：

    若存在$\delta>0$，对任意$0<|x-x_0|<\delta$都成立

    \[|f(x)-A|<\epsilon \]

    则有$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A$

在一维直线中，用$|x-x_0|<\delta$来表示点$x$与点$x_0$足够靠近，

在二维平面中如何表示点$M(x,y)$与点$M_0(x_0,y_0)$足够靠近， 也就是这两个点的距离怎么定义？

平面点集

二维平面中建立直角坐标系后，平面中的点可以用有序二元数组来表示：

\[\mathbb{R}^2=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R} \} \]

平面中两点$M_1(x_1,y_1)$，$M_2(x_2,y_2)$间的距离定义为

\[\rho(M_1,M_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

它满足距离的3个要素

  1. (正定性)： $\rho(M_1,M_2)\geq0$，且等号成立，当且仅当$M_1=M_2$
  2. (对称性)： $\rho(M_1,M_2)=\rho(M_2,M_1)$
  3. (三角不等式)： $\rho(M_1,M_3)\leq \rho(M_1,M_2)+\rho(M_2,M_3)$

邻域

定义 1. ($\epsilon$邻域)
设$M_0$为平面中的一个点，$\epsilon>0$，则称

\[B(M_0,\epsilon)=\{M\in\mathbb{R}^2|\rho(M,M_0)<\epsilon\} \]

为$M_0$的$\epsilon$邻域

\[B_-(M_0,\epsilon)=\{M\in\mathbb{R}^2|0<\rho(M,M_0)<\epsilon\} \]

为去心$\epsilon$邻域

设$E$为平面子集，若$\exists \epsilon>0$，满足$B(M_0,\epsilon)\subset E$，则称$E$为$M_0$的邻域

单变量时，用$B(x_0,\epsilon)=\{|x-x_0|<\epsilon\}$表示$x_0$的$\epsilon$邻域。

定义 2.
设$E\subset \mathbb{R}^2$，

  • 若存在数$\lambda$，使$E\subset B(O,\lambda)$， 则称$E$是有界集，否则称为无界集。其中$O$表示坐标原点$O(0,0)$。
  • $\mathbb{R}^2$中不属于$E$的全体点的集合称为$E$的补集，记为$E^c$。
  • 若$E$非空，则称$\sup\{\rho(M_1, M_2)| M_1, M_2\in E\}$称为$E$的直径。

内点、外点、边界点

定义 3.
给定平面中的子集$E$，则平面中的点$M$与集合$E$有如下可能的关系:

  1. 若$\exists\epsilon>0$，满足$B(M_0,\epsilon)\subset E$，则称$M$为$E$的内点。$E$的所有内点都属于$E$，$E$的所有内点的集合记为$E^{\circ}$
  2. 若$\exists\epsilon>0$，满足$B(M_0,\epsilon)\subset E^c$($E^c$为$E$的补集)，则称$M$为$E$的外点。$E$的所有外点都属于$E^c$，故不属于$E$
  3. 若$\forall \epsilon>0$，$B(M,\epsilon)$中既有$E$中的点，又有$E^c$中的点。则称$M$为$E$的边界点。$E$的边界点可能属于$E$，也可能属于$E^c$。 $E$的所有边界点的集合称为$E$的边界，记为$\partial E$
\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.5] \node at (2.5,2.9) [left] {$E$}; \draw[dashed, fill=blue!50!white] (1.1,1) circle(0.21); \fill (1.1,1) circle(1pt); \draw[dashed, fill=blue!50!white] (1.5,2.8) circle(0.21); \fill (1.5,2.8) circle(1pt); \draw[dashed, fill=blue!50!white] (2.4,1.4) circle(0.21); \fill (2.4,1.4) circle(1pt); % 利用一组点作图, plot 命令，可以加上 cycle, tension=3 等参数 \draw [red, name path=func] plot [smooth cycle] coordinates {(0.8,0.8) (1.3,0.6) (2,1.5) (2.5,2.9) (1.5,2.8) }; \end{tikzpicture}

开集与闭集

定义 4. (开集与闭集)
若平面子集$E$中的每个点都是内点（即，$\forall M\in E$，$\exists \epsilon>0$，满足$B(M,\epsilon)\subset E$），则称$E$为开集。

若$E^c$为开集，则称$E$为闭集。

由定义知，全平面$\mathbb{R}^2$为开集。

一般，我们规定空集$\emptyset$为开集。这样，$\mathbb{R}^2$与$\emptyset$也是闭集。

  1. 开集的并集为开集，闭集的并集为闭集
  2. 开集的交集为开集，闭集的交集为闭集

判别集合是开集、闭集？

例 1. $E_1=\{(2,2)\}$，$E_2=\{x^2+y^2=1\}$

例 2. (例6.1.1) 如下集合

  1. $E_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2<1\}$
  2. $E_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq 1\}$
  3. $E_3=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|0<x^2+y^2\leq 1\}$
  4. $E_4=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\geq 1\}$

1. 单点集$E_1$为闭集，因为它的补集为开集。

同样可以看到$E_2$的补集也是开集，因此$E_2$也是闭集。

单点集为闭集

2.

$E_1$为开集

$E_2$为闭集

$E_3$非开非闭

$E_4$为闭集

定理 1. (边界刻画)
设$E$为平面点集，则

(1) $E$为开集$\Leftrightarrow$ $\partial E\bigcap E=\emptyset$

(2) $E$为闭集$\Leftrightarrow$ $\partial E \subset E $

解. (1) 由开集的定义，结论成立

(2) 注意到$\partial E=\partial(E^c)$, 则

\[\partial (E^c) \bigcap E^c = \emptyset \Leftrightarrow \partial (E^c) \subset E \Leftrightarrow \partial E \subset E \]

即$\partial E \subset E$的充要条件是$E^c$为开集。

$\partial E\bigcup E$为闭集

定理1.

聚点、孤立点

定义 5. (聚点)
若$\forall \epsilon>0$，$B_-(M,\epsilon)\bigcap E\neq \emptyset$，则称$M$为$E$的聚点

聚点不一定在集合$E$内

定理 2. (闭集的聚点刻画)
非空集合$E$为闭集，当且仅当，$E$的每个聚点都属于$E$

不表示$E$的每个点都是聚点。如单点集是闭集，但不是聚点

定义 6.
$M\in E$，若$\exists \epsilon>0$，都有$B(M,\epsilon)\bigcap E=\{M\}$，则称$M$为$E$的孤立点

证明：

$\Rightarrow$ 设$E$为闭集。任取$E$的一个聚点$M$，

(反证) 若$M\notin E$，则$M\in E^c$。

  • 由$E^c$为开集，则存在$\epsilon_o>0$，有$B(M,\epsilon_0)\subset E^c$，
  • 即$B(M,\epsilon_0)\bigcap E=\emptyset$，
  • 与$M$是$E$的聚点矛盾。

$\Leftarrow$ 若$E$的每个聚点都属于$E$。下面证明$E^c$为开集。

  • 任取$M\in E^c$，由$M\notin E$，则$M$不是$E$的聚点。
  • 从而，存在$\epsilon_0>0$，有$B_{-}(M, \epsilon_0)\bigcap E=\empty$，
  • 则$B(M, \epsilon_0)\subset E^c$，即$M$为$E^c$的内点。
  • 从而，$E^c$为开集。

区域

定义 7. (两点的连接曲线)
$x(t), y(t)$为$[\alpha,\beta]$上的连续函数，称集合

\[L=\{((x(t),y(t))|\alpha\leq t\leq \beta\} \]

为一条连接$(x(\alpha),y(\alpha))$与$(x(\beta),y(\beta))$的平面曲线。

定义 8. (区域)
点集$E$称为（道路）连通的，若$\forall M_1,M_2\in E$，存在一条在$E$中的连接曲线。

非空连通开集叫区域。

一个区域同它的边界的并集，称为闭区域。

平面点列极限

定义 9. (点列的极限)
$\{M_n\}$为平面的点列。若$\exists M_0\in \mathbb{R}^2$，满足

\[\lim_{n\to+\infty}\rho(M_n,M_0)=0 \]

即，$\forall \epsilon>0$，$\exists N>0$，有

\[\rho(M_n,M_0)<\epsilon, \forall n>N \]

则称点列$\{M_n\}$ 收敛，并称$M_0$为点列$\{M_n\}$的极限，记为

\[\lim_{n\to+\infty}M_n=M_0 \]

若$M_n=(x_n,y_n)$，$M_0=(x_0,y_0)$，则 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} M_n=M_0$的充要条件为

\[\lim_{n\to+\infty}x_n=x_0, \lim_{n\to+\infty}y_n=y_0 \]

这样，我们可以把平面点列的极限，变为数列的极限

解. 注意到

\[|x_n-x_0|,|y_n-y_0|\leq \rho(M_n,M_0) \leq|x_n-x_0|+|y_n-y_0| \]

定义 10.
若$\exists \lambda>0$，满足$\rho(M_n,O)<\lambda$, $\forall n\geq 1$， 则点列$\{M_n\}$称为有界点列

$\mathbb{R}^2$的完备性

定义 11. (Cauchy点列)
$\forall \epsilon>0, \exists N>0$，满足

\[\rho(M_n,M_m)<\epsilon, \forall m,n>N \]

则称点列$\{M_n\}$为Cauchy点列，或基本列。

$\{M_n\}$是基本列的充要条件是$\{x_n\}$, $\{y_n\}$为基本列。

定理 3. (Cauchy收敛准则)
点列$\{M_n\}$收敛的充要条件是$\{M_n\}$是Cauchy点列。

Cauchy收敛准则也是$\mathbb{R}^2$的完备性

定理3.

$\{M_n\}$是基本列的充要条件是$\{x_n\}$, $\{y_n\}$为基本列。

定理 4. (列紧性)
有界点列$\{M_n\}$必有收敛子列。

定理 5.
设$E$是一个闭集，则$E$中任何收敛点列的极限仍是$E$中的点。

二元函数的极限

定义 12. (二元函数)
$D\subset\mathbb{R}^2$是平面点集，则映射$f:D\to\mathbb{R}$称为$D$上的一个二元函数。可以用$z=f(x,y)$来表示

二元函数$f: D\to \mathbb{R}$的图像定义为空间中的点集

\[\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D\} \]

如

\[\{(x,y,z)|z=\sqrt{1-x^2-y^2}, x^2+y^2\leq 1\} \]

为上半球面。

定义 13. (二元函数的极限)
$D\subset\mathbb{R}^2$为平面点集, $f:D\to\mathbb{R}$为二元函数。$M_0$为$D$的聚点。 若有实数$a$，使得$\forall \epsilon>0$，有$\delta>0$满足

\[|f(M)-a|<\epsilon, \forall 0<\rho(M,M_0)<\delta, M\in D \]

则称$M$趋于$M_0$时，$f(M)$以$a$为极限，记为

\[\lim_{M\to M_0}f(M)=a \]

或

\[%\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=a , \quad \lim_{\substack{x\to x_0 \\ y\to y_0}}f(x,y)=a %\end{aligned} \]

与一元函数极限特性的比较：

  1. 同样有唯一性、保号性、局部有界性、两边夹、极限的四则运算
  2. 没有左、右极限的概念。可以由一组点列从任一方向上趋于$M$，这导致二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多

定理 6.
若对于任意不等于$M_0$，但收敛到$M_0$的点列$\{M_n\}$都有$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(M_n)=A$，则有

\[\lim_{M\to M_0}f(M)=A \]

(1) 对$a>0, b\in\mathbb{R}$，有

\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}x^y=a^b \]

(2) 对$a,b>0$，有

\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}x^{\nu_1}y^{\nu_2}=a^{\nu_1}b^{\nu_2}, \forall \nu_1, \nu_2\in\mathbb{R} \]

例 3. 求$\displaystyle \lim_{\substack{x\to a \\ y\to b}}\frac{\sin(xy)}{x}$, $a\neq 0, b\neq 0$

例 4. 求$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{\sqrt[m]{xy+1}-1}{xy}$

例 5. 求$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\left(1+\sin(x)\sin(y)\right)^{\frac1{xy}}$

例 6. 求$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{\ln(1+x^2y)}{x^2y\cos(x^2+y^2)}$

解. 令$u=x^2y$，则

\[\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{\ln(1+x^2y)}{x^2y} =\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1 \]

从而

\[\begin{aligned} \lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{\ln(1+x^2y)}{x^2y\cos(x^2+y^2)} =&\lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{\ln(1+x^2y)}{x^2y} \cdot \lim_{\substack{x\to 0 \\ y\to 0}}\frac{1}{\cos(x^2+y^2)} \\ =&1 \end{aligned} \]

例 7. 求函数在$(0,0)$处的极限

  1. $f(x,y)=\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$
  2. $f(x,y)=(x+y)\sin\dfrac1x\sin\dfrac1y$

例 8. 求极限

\[\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty , y\to+\infty}(\dfrac{xy}{x^2+y^2})^{x^2} \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty , y\to+\infty} \dfrac{x^2+y^2}{x^4+y^4} \end{aligned} \]

例7.

  1. 令$y=kx$，则

    \[f(x,kx)=\frac{x^4k^2}{x^4y^2+(1-k)^2x^2} \to \begin{cases} 0, k=0 \\ 1, k=1 \end{cases}, (x\to 0,y=kx) \]

  2. 注意到

    \[|f(x,y)|=\left|(x+y)\sin\frac1x\frac1y\right| \leq |x+y|\leq |x|+|y| \]

    因而$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$

例8.

\[0\leq(\dfrac{xy}{x^2+y^2})^{x^2}\leq(\dfrac12)^{x^2} \]
\[\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty , y\to+\infty}(\dfrac{xy}{x^2+y^2})^{x^2}=0 \end{aligned} \]
\[0\leq\dfrac{x^2+y^2}{x^4+y^4}\leq\dfrac{x^2+y^2}{2x^2y^2} =\dfrac12(\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}) \]

例 9. 求极限$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}\frac{xy}{x+y}$

解. 令$y=-x+k x^2$，则

\[\lim_{\substack{x\to 0\\y=-x+kx^2}}\frac{xy}{x+y} =\lim_{\substack{x\to 0\\y=-x+kx^2}}\frac{x(-x+kx^2)}{kx^2} =\frac{-1}k \]

例 10. $f(x,y)=\frac{xy}{x+y}, x>0,y>0$，求极限$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\y\to 0}}f(x,y)$

解. 注意到$x>0,y>0$时，有$x+y>2\sqrt{xy}$，则

\[0<f(x,y)\leq\frac{xy}{2\sqrt{xy}}=\frac12\sqrt{xy} \]

因而，极限为$0$

例 11. 证明$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=0$

解. 取极坐标$\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta\end{cases}$，有

\[\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|=\left|r(\cos^3\theta+\sin^2\theta)\right|\leq 2r \]

因此，$\forall\epsilon>0$，取$\delta=\epsilon$，则

\[\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|\leq 2r< 2\epsilon, \quad \forall \rho(M,\vec 0)<\delta \]

二元函数的连续性

定义 14.
$D\subset\mathbb{R}^2, f:D\to\mathbb{R}$为二元函数，$M_0\in D$。

若$\forall \epsilon>0$， $\exists\delta>0$满足

\[|f(M)-f(M_0)|<\epsilon, \forall M\in D, \mbox{ and } \rho(M,M_0)<\delta \]

则称$f(x)$在$M_0$处连续。

若$f(x)$在$D$中的每一点都连续，则称$f$在$D$上连续。

  1. $M_0$是$D$的聚点时，$f$在$M_0$处连续的充要条件是
    \[\lim_{M\to M_0}f(M)=f(M_0)=f(\lim_{M\to M_0}M) \]
  2. $M_0$是$D$的孤立点时，$f$在$M_0$处连续
  3. 局部有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性等

二元连续函数的整体特性

定理 7. (介值性)
$f$为连通集$D$上的连续函数，$M_1,M_2\in D$。则$f$可以取到$f(M_1)$与$f(M_2)$之间的所有值。

定理 8. (最值定理)
$f$为有界闭集$D$上的连续函数。则$f$在$D$上可以取到最大值与最小值。

定理 9. (一致连续性)
$f$为有界闭集$D$上的连续函数。则$f$在$D$上一致连续。即

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0$，满足

\[f(M_1)-f(M_2)|<\epsilon, \forall M_1,M_2\in D, \rho(M_1,M_2)<\delta \]

例 12. (对每个变量是连续的，但整体不是连续的)

\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, &x^2+y^2\neq0 \\ 0, &x^2+y^2=0 \end{cases} \]

例 13. (习题)函数

\[f(x,y)=\begin{cases} x\sin\dfrac{1}{y}, & y\neq0 \\ 0, &y=0 \end{cases} \]

例 14. (习题)函数

\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, & x^2+y^2\neq0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{cases} \]

解. 12.

对$M_0(x_0,y_0)\neq (0,0)$，有$f(x,y)$在$M_0$连续，即

\[\lim_{\substack{x\to x_0 \\ y\to y_0}} \frac{2xy}{x^2+y^2} = f(x_0,y_0) \]

对点$(0,0)$，取$y=kx$

\[f(x,y)=f(x,kx)=\dfrac{2k}{1+k^2} \]

可以看到$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}}f(x,y)$不存在。

多元函数

\[\mathbb{R}^n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in\mathbb{R}, i=1,2,\cdots,n\} \]

定义$\mathbb{R}^n$中两点的距离为

\[\rho(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} \]

这样，类似可以定义$\epsilon$邻域、开集、闭集、区域等概念

定义 15. ($n$元函数)
映射$f:D\to\mathbb{R}, D\subset\mathbb{R}^n$称为n元函数，记为

\[y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n), (x_1,\cdots,x_n)\in D \]

向量值函数

更一般地，考虑映射 $f:D\to\mathbb{R}^m, D\subset\mathbb{R}^n$，或者表示为

\[(y_1,y_2,\cdots,y_n)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \]

其中$y_i=f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n), i=1,2,\cdots,m$为$D$上的$n$元函数，称为映射的第$i$个分量函数。因此，$f$又可表示为

\[\begin{cases} y_1=f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ y_2=f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ \cdots \\ y_m=f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ \end{cases} \]

或

\[\vec{y}=\vec{f}(x_1,x_2,\cdots,x_n) , \vec{y}\in\mathbb{R}^m \]
\[\vec{y}=\vec{f}(\vec{x}) , \vec{x}\in\mathbb{R}^n, \vec{y}\in\mathbb{R}^m \]

通常，如果一个向量值函数的每个分量函数都具有某种特性，就称该向量值函数具有这种特性。

  • 若分量函数$f_i, i=1,2,\cdots,m$都在$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$处有极限，则称$f$在$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$处有极限；
  • 若每个分量函数$f_i$都连续，则称$f$连续

变量代换

定义 16.
设$D,D'\subset \mathbb{R}^n$，则可逆映射 $f:D\to D'$称为$D$上的一个变量代换或坐标代换。

例 15. 极坐标变换

\[\begin{cases} x=r\cos\phi \\ y=r\sin\phi \end{cases} \]
\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.7, >=latex,thick] \draw[thick,->] (-0.2,0) -- (1.2,0) node[right] {$r$};% x軸 \draw[thick,->] (0,-0.1) -- (0,1.1) node[above] {$\theta$};% y軸 %\fill[color=blue] (0.5,0.5)--(1.0,0.5)--(1.0,1.0)--(0.5,1.0)--cycle; \fill[color=blue] (0.5,0.5) rectangle(1,0.95); \draw[dashed] (0.5,0.5) -- (0.5,0) node[below] {$0.5$}; \draw[dashed] (0.5,0.5) -- (0,0.5) node[left] {$\frac{\pi}6$}; \draw[dashed] (1,0.5) -- (1,0) node[below] {$1$}; \draw[dashed] (0.5,0.95) -- (0,0.95) node[left] {$\frac{\pi}3$}; %\draw[domain=1:2.5, color=blue, thick, smooth]%, samples=101] % plot (\x,{sqrt(\x-1)}); %\draw[domain=0:2.5, color=red, thick, smooth]%, samples=101] % plot (\x,{0.5*\x}); %\draw[dashed] (2,1)--(2,0) node[below] {$x_0$}; \draw[->] (1.3, 0.5) to[out=30, in=150] (1.8, 0.5); \draw[thick,->] (1.8,0) -- (3.2,0) node[right] {$x$};% x軸 \draw[thick,->] (2,-0.1) -- (2,1.1) node[above] {$y$};% y軸 \fill[color=blue] ($ (2,0)+(60:0.5) $) arc(60:30:0.5) -- ($ (2,0)+(30:1) $) arc (30:60:1) -- cycle; \draw[dashed] (2,0) -- +(30:0.5); \draw[dashed] (2,0) -- +(60:0.5); \end{tikzpicture}

目录

谢谢

例 16. 本节读完

16.

例 17. $f(x,y)$在区域$G$内对$y$一致连续，对$x$连续，则$f(x,y)$在$G$内连续

例17.