第二型曲线、曲面积分

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

第二型积分复习题

第二型曲线积分

  1. 得到曲线的参数表示，然后计算
  2. 得到Green公式，将二维平面上的第二型曲线积分转换成二重积分
  3. Stokes公式将空间中的第二型曲线积分转换到曲面上的第二型积分

平面区域$D$由分段光滑曲线$L$组成，$P,Q\in C^1(D)$在$D$上有一阶连续偏导数，则

\[\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D (Q'_x-P'_y)dxdy \]
  1. $\Omega$是连通的，$P,Q\in C^1(\Omega)$，则Green公式成立吗？
  2. 若Green公式的条件成立，则$\int_L Pdx+Qdy$与路径无关
    1. 若$L$不封闭，则可以通过增加曲线的方式来使用Green公式；或者说，使用其它路径。
    2. 若$D$内有不满足Green公式的点，则可以“打洞”来挖掉这个点。

例 1. 计算$\displaystyle I=\int_L (x^2-2y)dx+(3x+ye^y)dy$，其中$L$由$x+y=1$在第一象限部分与圆弧$x^2+y^2=1$在第二象限部分组成，方向由$(1,0)$到$(0,1)$到$(-1,0)$

例 2. 计算$\displaystyle I=\int_L \frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}$， 其中$L$是$(x-1)^2+y^2=2$，逆时针方向。

例 3. 设$f(u)$有连续导数，$L$为上半圆周$y=\sqrt{2x-x^2}$，起点$(0,0)$，终点$(2,0)$, 计算$\displaystyle I=\int_L f(x^2+y^2)(xdx+ydy)$.

若$f(u)$只是连续，上述计算结果是否正确？

例 4. 计算$\displaystyle I=\int_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$， 其中$L$从$A(1,1)$到$B(-1,0)$然后再沿曲线$y=x^2-1$到$C(1,0)$。

例 5. 设函数$f(x)$连续，且恒不等于$0$，$a,b$为常数，$L: x^2+y^2=R^2, x\geq 0, y\geq 0$。计算

\[I=\int_L \frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} ds \]

第二型曲面积分

例 6. 计算$\displaystyle \oint_\Gamma x^2yz dx+(x^2+y^2)dy+(x+y+1)dz$， 其中$\Gamma$为曲面$x^2+y^2+z^2=5$和$z=x^2+y^2$的交线， 取$\Gamma$的方向为面对$z$轴正向看去是顺时针方向。

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例 7. (微分方程) $y=f(x), x>0$是可微函数，$f(1)=2$，对平面上$x>0$内的任何光滑闭曲线$C$，都有$\displaystyle \oint_C 4x^3ydx+xf(x)dy=0$，求$f(x)$，以及$L$是从$A(1,0)$到$B(2,3)$的一段弧时的积分值。

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例 8. (Lagrange乘数法) 力场$\vec F=(yz,z,xy)$，将质点从原点$O$移动到曲线 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$在第一卦限部分的哪一个点时，$\vec F$做功最大，并求此最大功。

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