在空间$\mathbb{R}^3$中的一个有界几何体$V$上分布着某种物质，已知这种物质的密度函数为$\rho(x,y,z)$，求这种物质在 $V$ 上的总质量!
将几何体$V$分成互不重叠的小几何体$V_1$,$\cdots$,$V_n$，它们的体积为$\Delta V_1$, $\cdots$, $\Delta V_n$，其上的质量近似为$\rho(M_i)\Delta V_i$，其中$M_i$为$V_i$内任意一点。则总质量就是
的极限。
定义 1. 设$f(x,y,z)$是定义在有界集$V$上的有界函数。令
取三维区间$R\supset V$。用平行于坐标平面的平面把区间$R$分割成若干三维区间$R_i$， $\lambda$是所有$R_i$ 直径的最大值。如果存在常数$A$，使得对于任意的分割和任意的取值$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in R_i$，都有
则称$f(x,y,z)$在$V$上可积，$A$称为$f(x,y,z)$在$V$上的积分
记为
注. 今后，不作特殊说明，总假定积分域是由有限张光滑曲面围成的有界区域。
定理 1. $V$是由有限张光滑曲面围成的有界区域，$f(x,y,z)$是$V$上的函数。
类似于二重积分的累次积分，三重积分的计算可以化为累次积分。对于三维区间$R=I_1\times I_2\times I_3$
定理 2. 设$V$为$\mathbb{R}^3$中的有界闭域，$f(x,y,z)$是$V$上的连续函数。
$V$由
则
其中$S(X)$是平面$x=X$截$V$得到的截断面
例 1. $V$由$x+y+z=1$，$x=0$, $y=0$, $z=0$围成
例 2. $V$由$x^2+y^2+z^2=1$，$x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$围成
例 3. $V$由$x^2+y^2=z^2$，$z=1$围成
设变换
定理 3. 变换$r$
将$O'uvw$空间中的区域$V'$一一映射为$Oxyz$空间中的区域$V$， 且$\left|{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\neq0$，则有
得到
体积微元为$r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$
则体积微分为$r dr d\theta dz$
例 4. $V$为$x^2+y^2+z^2=z$， 求积分
例 5. $V$为$x^2+y^2=2z$与$z=2$所围成的区域，求
5.
例 6. $V$为$z=ay^2$, $z=by^2$, $y>0$, $(0<a<b)$，$z=\alpha x$, $z=\beta x$, $(0<\alpha<\beta)$, $z=h$所围成，求
例 7. $V$为$x^2+y^2+z^2\leq 1$，求
6.
例 8. (例7.2.5) $V$由球面$x^2+y^2+z^2=4$和抛物面$x^2+y^2=3z$所围成，求
例 9. 求$V$的体积
(1)(习题) $V: (x^2+y^2+z^2)^3=3xyz$
(2) $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x^2+y^2+z^2=b^2$, $x^2+y^2=z^2$ , $z\geq 0$所围成，其中 $b>a>0$
(3)(习题) $\displaystyle V: \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
(4) $z=x^2+y^2$, $z=2x^2+2y^2$, $xy=a^2$, $xy=2a^2$, $x=2y$, $2x=y$, 所围成
9. (1)
(3)
(4)
例 10. 求$F'(t)$，
(1)(习题) $\displaystyle F(t)=\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\leq t^2}f(x^2+y^2+z^2)dxdydz$
(2) $\displaystyle F(t)=\iiint\limits_{0\leq x\leq t, 0\leq y\leq t, 0\leq z\leq t}f(xyz)dxdydz$
例 11. 计算三重积分$\displaystyle \iiint_\Omega xy^2z^3dxdydz$， 其中$\Omega$由$z=xy$, $y=x$, $x=1$, $z=0$所围成。
11.
其中$a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$为常数。则
