三重积分
多变量函数的积分学
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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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三重积分
三重积分的概念
在空间中的一个有界几何体上分布着某种物质，已知这种物质的密度函数为，求这种物质在 上的总质量!
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将几何体分成互不重叠的小几何体,,，它们的体积为, , ，其上的质量近似为，其中为内任意一点。则总质量就是 的极限。 |
定义 1.
设是定义在有界集上的有界函数。令
取三维区间。用平行于坐标平面的平面把区间分割成若干三维区间， 是所有 直径的最大值。如果存在常数，使得对于任意的分割和任意的取值，都有
则称在上可积，称为在上的积分
记为
- 三重积分的定义与二重积分类似。
- 如果有界集上的常值函数在上可积，则称是有体积的， 积分就是的体积。
- 可以证明：若是由有限张光滑曲面围成的有界区域，则是有体积的。
注. 今后，不作特殊说明，总假定积分域是由有限张光滑曲面围成的有界区域。
定理 1.
是由有限张光滑曲面围成的有界区域，是上的函数。
- 若在上可积，则在上有界；
- 若在上有界，且的不连续点分布在有限张光滑曲面上，则在上可积。
- 三重积分与二重积分的性质完全一样。前面所列的关于二重积分的性质，对三重积分也成立。
三重积分的累次积分法
类似于二重积分的累次积分，三重积分的计算可以化为累次积分。对于三维区间
- 三重积分还有其他积分次序! 选择合适的累次积分次序是十分重要的!
定理 2.
设为中的有界闭域，是上的连续函数。
- (“切细条法”)设在平面上的投影为平面区域，而是由曲面
以及以为准线且平行于轴的柱面围成的，则
- (“切薄片法”)设在轴上投影为区间，过上一点与轴垂直的平面与相交的平面图形在平面上的投影为区域，则
由
则
其中是平面截得到的截断面
例 1. 由，, , 围成
例 2. 由，, , 围成
例 3. 由，围成
变量代换
设变换
定理 3.
变换
将空间中的区域一一映射为空间中的区域， 且，则有
球坐标变换
|
得到 |
体积微元为
柱坐标变换(cylindrical coordinates)
|
得到 |
则体积微分为
例 4. 为， 求积分
例 5. 为与所围成的区域，求
5.
例 6. 为, , , ，, , , 所围成，求
例 7. 为，求
6.
例 8. (例7.2.5) 由球面和抛物面所围成，求
例 9. 求的体积
(1)(习题)
(2) , , , 所围成，其中
(3)(习题)
(4) , , , , , , 所围成
9. (1)
(3)
(4)
例 10. 求，
(1)(习题)
(2)
练习
例 11. 计算三重积分， 其中由, , , 所围成。
11.
椭圆坐标
其中, , , , 为常数。则
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