场论

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

场论

场的概念

定义 1.
场：一个物理量在空间的分布称为该物理量的场

场分为数量场和向量场。

数量场对应$V$上的三元函数$u=u(M) , M\in V$

向量场对应$V$上的向量值函数$\vec v=\vec v(M), M\in V$

数量场的梯度

定义 2.
$u(M)$是$V$中的数量场，$M_0$是$V$中的一点，$L$是从$M_0$出发的一条射线，它的方向用$\vec l$来表示。则$u$沿方向$\vec l$的变化为

\[\frac{u(M)-u(M_0)}{|M_0M|} \]

当$M$沿$L$移向$M_0$的极限存在，就称这相极限是数量场$u$在$M_0$处沿方向$\vec l$的方向导数，记为 $\frac{\partial u}{\partial \vec l}|_{M_0}$，即

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l}|_{M_0}=\lim_{M\to M_0}\frac{u(M)-u(M_0)}{|M_0M|} \]
  • $\dfrac{\partial u}{\partial x}$是$u$沿$x$轴正向的方向导数。

定理 1.
数量场$u$在点$M_0$处可微，则$u$沿任何方向的方向导数都存在，且有

\[\left.\frac{\partial u}{\partial \vec l}\right|_{M_0}=\left.\left(\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\zeta\right)\right|_{M_0} \]

其中$cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\zeta$是$\vec l$的方向余弦

注.

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l} =\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)\cdot(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\zeta) \]

注. 平面上的数量场$u(x,y)$同样有

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l} =\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right)\cdot(\cos\alpha, \cos\beta) \]
  • 设$\vec l^0=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\zeta)$是方向向量$\vec l$的单位向量， 则
    \[\frac{\partial u}{\partial \vec l} =\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)\cdot\vec l^0=|g|\cos\theta \]
    其中$\vec g=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$，$\theta$是$\vec g$与$\vec l$的夹角。
  • 显然$\theta=0$时，方向导数取最大值。也就是方向指向$\vec g$时，方向导数取到最大值。

定义 3.
数量场$u$在点$M$处的梯度(gradient)是一个向量，记为$\mbox{grad}\ u$或$\nabla u$， 它的大小是数量场$u$在点$M$处所有方向导数的最大值，它的方向是取到这个最大值所沿的方向

所以数量场$u$的梯度是 $\mathop{grad} u=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})=\nabla u$

梯度，是数量场到向量场的映射，

  • $\nabla(c_1u_1+c_2u_2)=c_1\nabla u_1+c_2\nabla u_2$
  • $\nabla(u_1 u_2)=u_1\nabla u_2+u_2\nabla u_1$
  • $\nabla f(u)=f'(u)\nabla u$

物理意义： 大气沿着压强$p$减小最快的方向流动，也就是$-\mathop{grad} p$的方向；热量沿着温度$T$下降最快的方向$-\mathop{grad} T$传导。

几何意义： 曲面$u(x,y,z)=c$在$(x,y,z)$处的法向量为$(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$，它正好是数量场$u$在$(x,y,z)$处的梯度。这说明，数量场在一点的梯度垂直于该处的等值面，并指向数量场增加的方向。

chap7-grad-1 chap7-grad-2

例 1. 场$u=x^3+y^3+z^3-3xyz$的梯度，并给出梯度为$\vec 0$的区域。

解. 依定义

\[\nabla u = (3x^2-3yz, 3y^2-3xz, 3z^2-3xy) \]

梯度为$\vec 0$，即

\[\begin{cases} 3x^2-3yz=0 \\ 3y^2-3xz=0 \\ 3z^2-3xy=0 \end{cases} \Rightarrow\quad x=y=z \]

1.

例 2. (例7.7.3) 函数$f(x,y,z)=\frac1r=\frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$的梯度。 $r$表示向量$\vec r=(x,y,z)$的长度。

\[\frac{\partial}{\partial x}\frac1r=\frac{-x}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}=\frac{-x}{r^3} \]

因而，

\[\nabla \frac1r = \left(\frac{-x}{r^3}, \frac{-y}{r^3}, \frac{-z}{r^3}\right) =\frac{-\vec r}{r^3} \]

向量场的散度

物理背景： 某流体流过空间区域$G$，速度场为$\vec v$。$S$是$G$中的封闭曲面，方向指向外侧，则流体通过曲面的通量为

\[N=\iint_S \vec v\cdot\vec ndS \]

表示单位时间内流体从$S$内部向外流出的流量。

若$\vec v=(P,Q,R)$，由Gauss定理，有

\[\iint_S \vec v\cdot\vec ndS =\iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dxdydz \]

利用积分中值定理，有

\[\iint_S \vec v\cdot\vec ndS = \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)_{M'} \Delta V \]

$M'\in V$。当$V$无限收缩于点$M$时

\[\lim_{V\to M}\frac{1}{|V|}\iint_S \vec v\cdot \vec n dS =\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)_M \]

它表示点$M$处单位体积内产生的流量，称为$M$处的源密度。

定义 4.
称

\[\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} \]

为向量函数$\vec v=(P,Q,R)$的散度(Divergence)，记为$\mbox{div} \vec v$。

利用散度的定义，Gauss公式可以表示为

\[\iint_S\vec v\cdot\vec ndS=\iiint_V \mathop{div} \vec vdV \]
  • 上式给出了高斯公式的物理学解释： 单位时间流出闭曲面 $S$ 的流量等于区域 $V$ 内每一点源和汇的总和。
  • 有时，也称高斯公式为散度公式!

chap7-div

定义 5.
记$\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$，称为Hamilton算符。

  • 向量场$\vec v$的散度 $\mbox{div}\, \vec v=\nabla \cdot \vec v=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
  • 数量场$u$的梯度 $\mbox{grad}\, u=\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})$

定理 2.
散度的运算规则：

  • $\mathop{div}(c_1\vec v_1+c_2+\vec v_2)=c_1\mathop{div} \vec v_1+c_2\mathop{div}\vec v_2$
  • $\nabla\cdot (u\vec v)=u\nabla\cdot\vec v+\nabla u\cdot\vec v$，$u$为数量场

定义 6.
若有$\mathop{div} v=0$在整个区域$V$内每一点成立，则称$\vec v$为无源场。

  • 对于无源场，若闭曲面$S$的内部均在$G$中，则有
    \[\iint_S \vec v\cdot\vec n dS=0 \]

例 3. $u$为数量场，求$\mathop{div} \nabla u$

例 4. 向量场$\vec E=\frac{q\vec r}{r^3}$的散度。

3.

向量场的旋度

chap7-vorticity

向量场$\vec v$沿闭合曲线$L$的环量是$\displaystyle \oint_L \vec v\cdot\vec \tau ds$。 因而平均环量为

\[\frac1{\Delta S}\oint_L\vec v\cdot\vec \tau ds \]

$\Delta S$是$L$围出的面$S$的面积。 若$\vec v=(P,Q,R)$，由Stokes公式，

\[\oint_L\vec v\cdot\vec\tau ds =\iint_S \left|{\begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} }\right| \cdot\vec n dS \]

定义 7.
称

\[\left|{\begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} }\right| =\nabla \times \vec v \]

为向量场$\vec v=(P,Q,R)$的旋度，记为$\mbox(rot)\, \vec v$。

  • Stokes公式又可以写为
    \[\oint_L\vec v\cdot\vec\tau ds=\iint_S\mathop{rot}\vec v\cdot\vec n dS =\iint_S \nabla\times\vec v dS \]

当$L$收缩到点$M$时，平均环量

\[\frac1{\Delta S}\oint_L\vec v\cdot\vec \tau ds =\frac1{\Delta S} \iint_S \mathop{rot} \vec v \cdot\vec n dS \]

的极限称为为$\vec v$在点$M$处绕方向$\vec n$的涡量，记为$\Omega_{\vec n}(M)$。

chap7-vorticity
  • 可以看到，涡量与方向$\vec n$有关。
  • 当$\vec n$与$rot\, \vec v$的方向一致时，涡量取到了最大值。
  • 涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量就是向量场$\vec v$在点$M$的旋度

定理 3.
旋度的运算规则：

  • $\mathop{rot}(c_1\vec v_1+c_2\vec v_2)=c_1\mathop{rot} \vec v_1+c_2\mathop{rot}\vec v_2$
  • $\mathop{rot}(u\vec v)=u\mathop{rot}\vec v+\mathop{grad} u\times\vec v$
  • 数量场$u$的梯度是向量场： $grad(u) = \nabla u$。它指出了场变化最陡的方向和大小。
  • 向量场$\vec v$的旋度是向量场： $rot(\vec v) = \nabla\times \vec v$。它指出了涡量变化最大的方向及大小。
  • 向量场$\vec v$的散度是数量场： $div(\vec v) = \nabla\cdot \vec v$。它表示产生流体的能力，也就是源。

例 5. $\vec r=(x,y,z)$，求$\mathop{rot}\vec r$, $\mathop{rot}(f(r)\vec r)$

例 6. $rot(grad (u))$， $u$为数量场。$div(rot(\vec v))$，$\vec v$是向量场。

5.

定义 8.
当向量场$\vec v$在区域$V$内每一点的旋度为$0$，则称$\vec v$为无旋场。

在无旋场中，若$L$为定义域内某曲面的边界，则

\[\oint_L \vec v\cdot\vec \tau ds=0 \]

例 7. (例7.7.8)$\vec v=\frac1{x^2+y^2}(-y, x, 0)$，则$\vec v$是其定义域(不含$z$轴) $V=\{x^2+y^2\neq 0\}$内的无旋场。

取$L=\{x^2+y^2=1, z=0\}$，计算$\displaystyle\oint_L \vec v \cdot \vec \tau ds$

保守场与势函数

定义 9.
设$\vec v$为区域$V$的连续向量场，若$\vec v$沿任意闭路的环量为$0$，则称$\vec v$是区域$V$的保守场

由前面的例子知道，

  • 无旋场不一定是保守场，但保守场一定是无旋场

定理 4.
$\vec v$为$V$的连续向量场，则$\vec v$为区域$V$的保守场的充要条件为$\vec v$在$V$内的曲线积分与路径无关。

定理可以由定义直接证明。

  • 若$\vec v=(P,Q,R)$，其中$P$, $Q$, $R$在$V$中连续，是保守场。
  • 则可以记$\phi(x,y,z)$为
    \[\phi(x,y,z)=\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}Pdx+Qdy+Rdz \]
    有意义，表示沿任一条起点$(x_0,y_0,z_0)$到终点$(x,y,z)$的路径的第二型积分。
  • 可以得到
    \[\frac{\partial \phi}{\partial x}=P(x,y,z) , \frac{\partial \phi}{\partial y}=Q(x,y,z) , \frac{\partial \phi}{\partial z}=R(x,y,z) \]
    即有
    \[\mathop{grad}{\phi}=\vec v=(P,Q,R) \]

所以

\[\begin{aligned} \frac{\partial \phi}{\partial x} =&\lim_{\Delta x\to 0}\frac1{\Delta x} \left(\phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z)\right) \\ =&\lim_{\Delta x\to 0} \frac1{\Delta x}\int_{(x,y,z)}^{(x+\Delta x,y,z)}Pdx+Qdy+Rdz \\ =&\lim_{\Delta x\to 0} \frac1{\Delta x}\int_{(x,y,z)}^{(x+\Delta x,y,z)}Pdx \\ =& P(x,y,z) \end{aligned} \]

$(x,y,z)$到$(x+\Delta x,y,z)$的直线上，$dy=dz=0$，

定义 10.
设$\vec v$是区域$V$上的向量场，如果存在$V$上的函数$\phi$，满足$\mathop{grad}\phi=\vec v$，则称$\vec v$是有势场或梯度场，$\phi$称为$\vec v$的一个势函数。

  • $\phi$为$\vec v$的势函数的充要条件是
    \[d\phi=Pdx+Qdy+Rdz \]
    称为$\phi$的全微分。
  • 有势场的势函数不唯一。若$\phi$为$\vec v$的势函数，则$\vec v$的势函数为$\phi+c$，$c$为常数。
  • 保守场一定是有势场，反之也成立

定理 5.
一个向量场为保守场的充要条件是它为有势场。

  • 设保守场$\vec v$有势函数$\phi$，则$\vec v$沿$L_{AB}$的曲线积分可以表示为
    \[\begin{aligned} \int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=\int_A^B\vec v\cdot d\vec r %=\int_A^B Pdx+Qdy+Rdz \\ =\phi(B)-\phi(A) \end{aligned} \]
    可以看做是Newton-Leibnitz公式的推广
  • 势函数
    \[\phi(x,y,z)=\int_{x_0,y_0,z_0}^{x,y,z} Pdx+Qdy+Rdz \]
    像一种变上限积分

命题 1.
若$\vec v$为保守场，且各个分量有连续的一阶偏导数，则$\mathop{rot}\vec v=0$，即$\vec v$为无旋场。

反过来不成立。即无旋场不一定是保守场。见例7.7.8

是否是保守场，跟区域有关。

定义 11.
设$V$是空间区域，若对于$V$中的任意一条简单闭曲线$L$，都存在以$L$为边界的且完全包含在$V$中的可定向曲面，则称$V$是曲面单连通的。

$V$中任意一简单闭曲线$L$可以在$V$中连续地缩为一个点。

domain-simply-connected domain-simply-not-connected

曲面单连通区域 ， 非曲面单连通区域

无无旋场在很多情况下确实是保守场。

定理 6.
设$V$是曲面单连通区域，$\vec v$是$V$上的$C^1$向量场，则下述命题等价：

（1） $\vec v$是$V$中的保守场；

（2） $\vec v$是$V$中的有势场；

（3） $\vec v$是$V$中的无旋场；

例 8. 证明向量场

\[v=(yz(2x+y+z), xz(x+2y+z), xy(x+y+2z)) \]

是有势场，并求出它的一个势函数

例 9. 位于坐标原点的质量$m$的质点所产生的引力场

\[\vec a=-\frac{m}{r^3}\vec r \]

其中$\vec r=(x,y,z)$，$r=|\vec r|$。求它的势函数

例 10. 设$\vec v=f(r)\vec r$，其中$\vec r=(x,y,z)$，$r=|\vec r|$，$f(r)$为单值连续函数。求它的势函数

16.

$u\in C^2$，则$rot(grad(u))=0$ $\vec v\in C^2$，则$div(rot(\vec v))=0$
$\phi\in C^2$为数量场，则$\nabla\times(\nabla \phi)=0$ $\vec\phi\in C^2$为向量场，则$\nabla\cdot(\nabla\times\vec \phi)=0$
若存在$\phi$使得$\nabla\phi=\vec v$，则称$\vec v$为有势场 若存在$\vec\phi$使得$\nabla\times\vec\phi=\vec v$，则称$\vec v$为有向量势场
若$\nabla\times\vec v=0$，则称$\vec v$为无旋场 若$\nabla\cdot\vec v=0$，则称$\vec v$为无源场
无旋场与有势场是等价的，若$V$是曲面单连通域 无源场与有向量势场是等价的，若$V$是空间单连通域

无源场与向量势

定义 12.
区域$V$中散度处处为$0$的向量场称为无源场

  • 无源场中建立如图的，侧面由流线组成的细管。 由Gauss定理知，流出流管的总流量为零。
  • 可把上述的向量场划分成一道道的流管!

chap7-flow

因为只有无源场才有这样的性质，所以无源场又称为管型场 !

定义 13.
$\vec v$为$V$中向量场。若存在$V$中向量场$\vec\alpha$，使得 ${rot}\vec\alpha=\vec v$。

则称$\vec\alpha$为$\vec v$的向量势，称$\vec v$为有向量势的场。

定义 14.
设$V$是空间区域，若$V$中任意闭曲面的内部都属于$V$，则称$V$是空间单连通的。

形象地说，空间单连通就是说$V$是实心的，而不能是空心的。

domain-simply-connected domain-simply-not-connected

非空间单连通区域 ， 空间单连通区域

定理 7.
设$V$是空间单连通域，则下述命题等价：

（1） 向量场$\vec v$是区域$V$中的无源场

（2） 向量场$\vec v$是区域$V$中的有向量势的场

  • 势函数不唯一。两个势函数可以相差一个函数的梯度
  • 空间的单连通性很重要

证明.

例 11. (例7.7.13) $\vec r=(x,y,z)$, $r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，证明向量场$E=\frac{\vec r}{r^3}$在它的定义域中是无源场，但没有势函数

（定义域不是单连通的）

例 12. (例7.7.13) 证明向量场$\vec v=(xy+1, z, -yz)$是无源场，并求势函数

16.

Hamilton算子

算符

\[\begin{aligned} \nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec i+\frac{\partial }{\partial y}\vec j+\frac{\partial }{\partial z}\vec k \\ =(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}) \end{aligned} \]

称为Hamilton算符。

(1) 梯度： 数量场$u$

\[\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) \]

(2) 散度： 向量场$\vec v=(P, Q, R)$

\[\nabla\cdot \vec v=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \]

(3) 旋度： 向量场$\vec v=(P, Q, R)$

\[\nabla\times \vec v=\left|{\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix}}\right| \]

(4) Laplace 算符：

\[\Delta=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2} \]

作用在数量场$u$上，有

\[\Delta u=\frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2}+\frac{\partial u^2}{\partial z^2} \]

方程$\Delta u=0$称为Laplace方程，方程的解称为调和函数

(5) 利用算符$\nabla$的微分和向量的双重特性，可以得到

  • $\nabla(u_1 u_2)=u_1\nabla u_2+u_2\nabla u_1$
  • $\nabla\cdot(u \vec v)=\vec v\cdot\nabla u+u(\nabla\cdot\vec v)$
  • $\nabla\times(u \vec v)=\nabla u\times\vec v+u(\nabla\times\vec v)$
  • $\nabla\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=\vec v_2\cdot\nabla\times\vec v_1-\vec v_1\cdot\nabla\times\vec v_2$

(6) Gauss公式

\[\iint_S\vec v\cdot\vec ndS=\iiint_V\nabla\cdot\vec vdV \]

(7) Stokes公式

\[\oint_L\vec v\cdot\vec \tau ds=\iint_S(\nabla\times\vec v)\cdot\vec ndS \]

设$S$的单位法向量$\vec n=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，则

(1) 对数量场$u$，

\[\iint_{\partial V}u\vec n dS=\iiint_V\nabla u dV \]

为向量形式的Gauss公式

(2) 对向量场$\vec v$，有

\[\iint_{\partial V}\vec n\times\vec vdS=\iiint_V\nabla\times\vec v dV \]

(3) 对数量场$u$，有($\partial S$为$S$的边界)

\[\int_{\partial S}u\vec \tau dl=\iint_S\vec n\times\nabla u dS \]

（1） 注意到

\[\vec ndS=(\cos\alpha dS, \cos\beta dS, \cos\gamma dS) =(dydz, dzdx, dxdy) \]

则

\[\begin{aligned} \iint_{\partial V} u\vec n dS &=\left(\iint_{\partial V}u\cos\alpha dS, \iint_{\partial V}u\cos\beta dS, \iint_{\partial V}u\cos\gamma dS\right) \\ &=\left(\iint_{\partial V}u dydz, \iint_{\partial V}u dzdx, \iint_{\partial V}u dxdy\right) \\ &=\left(\iiint_{V}\frac{\partial u}{\partial x} dx dydz, \iiint_{V}u'_y dV, \iiint_{ V}u'_z dV\right) \\ &=\iiint_V \nabla u dV \end{aligned} \]

（2）

\[\begin{aligned} \iint_{\partial V}\vec n\times\vec vdS =&\iint_{\partial V}\begin{vmatrix} \vec i& \vec j & \vec k \\ \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS \\ =&\begin{pmatrix} \iint_{\partial V}\begin{vmatrix}\cos\beta & \cos\gamma \\ Q & R \end{vmatrix} dS \\ \\ \iint_{\partial V}\begin{vmatrix} \cos\gamma & \cos\alpha \\ R&P \end{vmatrix} dS \\ \\ \iint_{\partial V}\begin{vmatrix}\cos\alpha & \cos\beta \\ P & Q \end{vmatrix} dS \\ \end{pmatrix}\\ =&\iiint_V\nabla\times\vec v dV \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \iint_{\partial V}\begin{vmatrix}\cos\beta & \cos\gamma \\ Q & R \end{vmatrix} dS =&\iint_{\partial V} R dzdx-Q dxdy \\ =&\iiint_V (R'_y-Q'_z) dV \end{aligned} \]

（3）

\[\begin{aligned} \int_{\partial S}u\vec \tau dl =&\left( \int_{\partial S} udx, \int_{\partial S} udy, \int_{\partial S} udz \right) \\ =&\iint_S\vec n\times\nabla u dS \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \int_{\partial S} udx =&\iint_S \begin{vmatrix} \vec i& \vec j& \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ u & 0 & 0 \end{vmatrix} \cdot \vec n dS \\ =&\iint_S \left(0, u'_z, -u'_y\right)\cdot \vec n dS \end{aligned} \]

外微分形式

把Green公式、Stokes公式和Gauss公式的形式统一起来

曲面的有向面积元

\[d\vec S=\vec ndS=(dydz, dzdx, dxdy) \]

若$S$有参数方程$\vec r=\vec r(u,v)=\begin{cases} x=x(u,v) \\y= y(u,v)\\ z= z(u,v) \end{cases}$，则

\[\begin{aligned} \vec n dS=&\frac{\vec r'_u\times \vec r'_v}{|\vec r'_u\times \vec r'_v|}{|\vec r'_u\times \vec r'_v|}dudv ={\vec r'_u\times \vec r'_v} dudv \\ =&\begin{vmatrix} \vec i & \vec j &\vec k \\ x'_u & y'_u & z'_u \\ x'_v & y'_v & z'_v \end{vmatrix} dudv =\begin{pmatrix} \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}dudv \\ \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}dudv \\ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv \\ \end{pmatrix} \end{aligned} \]

得到 $\displaystyle dydz=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}dudv$，是有方向的，

\[dzdy=\frac{\partial(z,y)}{\partial(u,v)}dudv=-dydz \]

类似，

\[dxdydz=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}dudvdw \]

也是有方向的。

外微分形式的外积

在微分$dx$, $dy$, $dz$之间定义一种乘积运算，它满足

  1. 两个相同微分的乘积为0
  2. 两个不同微分的乘积变换顺序时变号

区别于普通的乘积，用$\wedge$来表示。

\[\begin{aligned} dx\wedge dx=0, dy\wedge dy=0, dz\wedge dz=0 \\ dx\wedge dy=-dy\wedge dx, dy\wedge dz=-dz\wedge dy, \\ dz\wedge dx=-dx\wedge dz \\ \end{aligned} \]

这种运算特性与向量的外积运算特性一致，称微分之间的这种乘法为微分的外积。

多个外积运算，同样满足前面的2条。

\[\begin{aligned} &dx\wedge dy\wedge dz \\ =&- dy\wedge dx\wedge dz =-dz\wedge dy\wedge dx =-dx\wedge dz\wedge dy \\ =& dy\wedge dz\wedge dx =dz\wedge dx\wedge dy \end{aligned} \]
\[dx\wedge dy\wedge dx=0 =dy\wedge dy\wedge dz =dx\wedge dz\wedge dz \]

四个及以上的外积为0

\[dx\wedge dy\wedge dz\wedge dx=0 \]

由微分的外积乘三元函数组成的微分形式称为外微分形式。

若$P$, $Q$, $R$, $H$是$x,y,z$的函数，则

  • 1次外微分形式为: $Pdx+Qdy+Rdz$
  • 2次外微分形式为: $Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$
  • 3次外微分形式为: $Hdx\wedge dy \wedge dz$
  • 0次外微分形式为: $H$，即一般的三元函数

任意两个外微分形式$\lambda$, $\mu$也可以定义外积$\lambda\wedge\mu$，满足通常的分配律和结合律。

例 13. 若

\[\begin{aligned} \lambda & = A dx+Bdy+Cdz \\ \mu & = Edx+Fdy+G dz \\ \nu & = Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \lambda \wedge \mu =& (A dx+Bdy+Cdz) \wedge (Edx+Fdy+G dz) \\ =& AFdx\wedge dy + BE dy\wedge dx \\ &+AG dx\wedge dz + CE dz\wedge dx \\ &+ BG dy\wedge dz+CF dz\wedge dy \\ =& (AF-BE) dx\wedge dy -(AG- CE) dz\wedge dx \\ & +( BG-CF) dy\wedge dz \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \lambda \wedge \nu =& (A dx+Bdy+Cdz) \\ & \wedge (Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy) \\ =& AP dx\wedge dy\wedge dz + BQ dy\wedge dz\wedge dx \\ & + CR dz\wedge dx\wedge dy \\ =&(AP+BQ+CR) dx\wedge dy\wedge dz \end{aligned} \]

引入微分算符$d$。

  • $w$是函数$f$(即0次微分形式)，则
    \[dw = df = f'_x dx+f'_y dy +f'_z dz \]
  • $w=Pdx+Qdy+Rdz$是1次微分形式，则
    \[dw = dP\wedge dx+ dQ\wedge dy + dR \wedge dz \]
  • $w=Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$是2次微分形式，则
    \[dw = dP\wedge dy\wedge dz+ dQ\wedge dz\wedge dx + dR \wedge dx\wedge dy \]
  • $w=Pdx\wedge dy\wedge dz$是3次微分形式，则
    \[dw = dP\wedge dx\wedge dy\wedge dz = 0 \]
  • $w=Pdx+Qdy+Rdz$是1次微分形式，则
    \[\begin{aligned} dw =& dP\wedge dx+ dQ\wedge dy + dR \wedge dz \\ =& (P'_x dx+P'_y dy+P'_z dz)\wedge dx \\ &+ (Q'_x dx+Q'_y dy+Q'_z dz)\wedge dy \\ &+ (R'_x dx+R'_y dy+R'_z dz)\wedge dz \\ =& (R'_y-Q'_z) dy\wedge dz + (P'_z-R'_x)dz\wedge dx \\ &(Q'_x-P'_y) dx\wedge dy \end{aligned} \]
  • $w=Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$是2次微分形式，则
    \[\begin{aligned} dw =& dP\wedge dy\wedge dz+ dQ\wedge dz\wedge dx + dR \wedge dx\wedge dy \\ =& (P'_x+Q'_y+R'_z) dx\wedge dy\wedge dz \end{aligned} \]

另外，若$w=f$是0阶微分形式，则

\[\begin{aligned} d^2w =& d(dw) = d(f'_x dx+f'_y dy+f'_z dz) \\ =& d(f'_x)\wedge dx+d(f'_y)\wedge dy+d(f'_z)\wedge dz \\ =& (f''_{zy}-f''_{yz}) dy\wedge dz +(f''_{xz}-f''_{zx})dz\wedge dx \\ &+(f''_{yx}-f''_{xy}) dx\wedge dy \\ =&0 \end{aligned} \]

类似，可以得到

$w$是任意阶微分形式，则 $d^2w=0$

利用外微分，可以得到Gauss公式和Stokes公式的统一形式，

定理 8.
设$w$为外微分形式，$dw$是它的外微分，则

\[\int_{\partial G} w = \int_{G} dw \]

其中$G$是$dw$的积分区域，$\partial G$是$G$的边界。

这个定理可以推广到更高维的空间， 或者2维空间上的Green公式。

二元函数$f(x,y)$为0阶微分形式，

  1. $df = f'_x dx+f'_y dy$
  2. $w=Pdx+Qdy$为1阶微分形式，则
    \[\begin{aligned} dw=&dP\wedge dx+dQ \wedge dy \\ =&(P'_x dx+P'_ydy)\wedge dx +(Q'_x dx+Q'_ydy)\wedge dy \\ =&-P'_ydx\wedge dy+Q'_x dx\wedge dy \\ =&(Q'_x-P'_y) dx\wedge dy \end{aligned} \]
  3. Green公式
    \[\int_{\partial G} w = \int_{G} dw \]

四元函数$f(x,y,z,u)$为0阶微分形式，

  1. $df = f'_x dx+f'_y dy+f'_zdz+f'_udu$
  2. $w=Pdx+Qdy+Rdz+Sdu$为1阶微分形式，
  3. $w=Pdx\wedge dy+Qdy\wedge dz+Rdz\wedge du+Sdu\wedge dx$为2阶微分形式，
  4. $w=Pdx\wedge dy\wedge dz+Qdy\wedge dz\wedge du+Rdz\wedge du\wedge dx+Sdu\wedge dx\wedge dy$为3阶微分形式，
  5. $w=Pdx\wedge dy\wedge dz\wedge du$为4阶微分形式，
  6. 统一的公式
    \[\int_{\partial G} w = \int_{G} dw \]

例子

例 14. 解微分方程

\[(y\sin y-x\cos y)e^x dx + (x\sin y+y\cos y)e^x dy =0 \]

例 15. $\vec a=(a_1, a_2, a_3)$是常向量，$\vec r=(x,y,z)$, $r=|\vec r|$，求 $rot(\vec r\times (f(r)\vec a))$

目录

本节读完

例 16.

16.