习题

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

例 1. [复习题(3)] 讨论级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$的敛散性。

设$a_1=\sqrt2$, $a_2=\sqrt{2-\sqrt2}$, $a_2=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt 2}}$, $\cdots$, $a_n=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}$, $\cdots$

例 2. 讨论级数$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac1{\sqrt n}-\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)$的敛散性。若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

例 3. 判定级数的收敛性

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{3n-1})^{2n-1}$ (4) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}2^n\sin\frac{\pi}{3^n}$ (5) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n^2}}{n!}$

例 4. 计算

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}n$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n$ （3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}n\frac{1}{2^n}$

（4） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n$ （5） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^{n-1}$

（6） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)^2}{n+1}x^n$ （7） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)x^n$

例 5. 计算收敛域，和函数，值

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n-1}(\frac12)^{2n-1}$ (3) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$

(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n-1}x^{2n-1}$ (4) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}x^{3n+1}$

例 6. 计算 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}x^{2n}$的收敛域，和函数$S(x)$

例 7. 计算

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}$ （3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$

例 8. 求级数的和

(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}$ (2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n}$

例 9. 求幂级数的收敛区间

(1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-6)^n}{\sqrt{n}}$ (2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+5^n}nx^n$

例 10. 计算

（1） $\frac1{1\cdot 2\cdot 3}+\frac1{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots$

（2） $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac1{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots$

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