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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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把无穷多个数或函数按自然数顺序而进行的无限次加法运算称为无穷级数，简称级数。
定义 1.
设有数列，把它们依次相加，得到形式上的和式：
称为数项级数，其中称为级数的通项。
定义 2.
级数的前项和
称为级数的第n个部分和。
例 1. 求
例 2. 求
例 3. 求
3.
定理 1.
级数收敛，则有
证明. 由
定理 2. (线性性)
两个级数, 均收敛，则对任意两个常数, ，
也收敛，且有
定理 3.
修改数项级数的有限项的值，或者增加、删除有限项，不会改变级数的敛散性
证明. 修改数项级数的有限项后得到的新级数，可以与原级数的部分和仅相差一个常数。
若经过有限项修改后为级数，则存在常数和，成立
定理 4.
收敛级数的相邻有限项加括号以后，形成的新级数
仍然收敛，且与原级数具有相同的值。
证明. 4. 注意到新级数的部分和序列是原来级数的部分和序列的子列。
定义 3.
如果级数通项，则称级数为正项级数
显然，正项级数的部分和数列是单调增的。
定理 5. (正项级数的有界判别法)
正项级数收敛的充要条件是，其部分和数列有上界
例 4. 求
[#ex8-1-5].
定理 6. (正项级数的比较判别法)
设有两个正项级数, ，如果从某项开始有，则
（1） 若级数收敛，则级数也收敛
（2） 若级数发散，则级数也发散
证明.
例 5. 考察级数的敛散性
例 6. 考察级数的敛散性
（1）
（2）
29.
例 7. 级数，均收敛，则
， ， 也收敛
7.
定理 7. (正项级数的比较判别法的极限形式)
设有两个正项级数, ，如果，则
（1） 当时，级数与级数同敛散
（2） 当且级数发散，则级数也发散
（3） 当且级数收敛，则级数也收敛
证明.
例 8. 考察级数的敛散性
（1） （2）
（3）
（4） ，
（5）
29.
定理 8. (Cauchy根值判别法)
设有正项级数, 有，则
（1） 当时，级数收敛
（2） 当时，级数发散
证明.
定理 9. (d'Alembert比值判别法)
设有正项级数, 有，则
（1） 当时，级数收敛
（2） 当时，级数发散
证明.
例 9. 考察级数的敛散性
（1） （2）
（3） （4）
注. 时，两种判别法的敛散性都是不一定的。
如 和
9.
定理 10. (Cauchy积分判别法)
设是定义在无穷区间上的非负单调减的连续函数，则级数与无穷积分
同敛散，其中。
证明.
例 10. 考察级数的敛散性
（1）(例7.1.9)
（2）
10.
例 11. (复习题) 设正项级数, , 有，
(1) 若级数收敛， 则级数收敛
(2) 若级数发散， 则级数发散
证明.
例 12. (Raabe判别法) 设有正项级数, 则
(1) 当时， 级数收敛
(2) 当时， 级数发散
证明.
例 13. 正项级数 收敛，记
则级数 收敛，且是的低阶无穷小。
级数的各项可以是正数，也可以是负数
定义 4.
若，则级数
称为交错级数
定理 11. (Leibniz判别法)
数列单调递减趋于，则交错级数收敛。
例 14. (1) (2)
29.
定理 12. (Cauchy收敛准则)
级数收敛的充要条件是，，存在正整数，当时，
例 15. 若，有
则是否收敛？
证明.
不一定，如
例 16. 判定级数的敛散性
（1）
（2）
（3）
16.
定理 13. (Weierstrass判别法)
级数 与正项级数满足：，并且级数收敛，则级数也收敛。
证明.
例 17. 判定级数的敛散性
（1）
（2）
17.
引理 1.
设有两组实数和，记的部分和，则有
（1）
（2） 当为单调的，且，则有
特别地，若，则有
证明.
定理 14. (Dirichlet判别法)
乘积级数收敛，若它满足
（1） 级数的部分和数列有界；
（2） 数列单调趋于零。
定理 15. (Abel判别法)
乘积级数收敛，若它满足
（1） 级数收敛；
（2） 数列单调有界。
证明.
例 18. 判定级数的敛散性
(1) (2)
(3) (4)
(5) 若单调减趋于，,
29.
例 19. 若 收敛，且
是否有 收敛
正项级数的判别方法不能用到一般级数的判别方法上。
19.
定义 5.
对于一般级数，将其通项取绝对值后所得到的正项级数
称为级数的绝对值级数。若绝对值级数收敛，则称级数绝对收敛。
定理 16.
如果绝对值级数收敛，则级数也收敛。
由Weierstrass定理，可证
定义 6.
若级数收敛，但其绝对值级数发散，则称级数称条件收敛
例 20. 判定级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
（1） （2）
（3） （4）
例 21. 判定级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
例 22. 判定级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
29.
记的正部与负部为：
定理 17. (绝对收敛级数的交换律)
级数绝对收敛，则任意交换级数的各项顺序后所得到的新的级数也绝对收敛，且其和不变。
定理 18.
级数条件收敛，则无论取怎样的数（有限或），都可以重排中的项，使新的级数收敛到。
证明.
推论 1.
1. 级数绝对收敛的充要条件是
正部与负部对应的两个正项级数和
均收敛
例 23. 判定收敛性，
例 24. 求和，
(1)
(2)
(3)
(4)
24.
定义 7.
级数
称为级数与级数的Cauchy乘积
定理 19.
若级数与级数都绝对收敛，且收敛到与，则它们各项的乘积按任意顺序依次相加所得到的级数也绝对收敛，且其和为
证明.
例 25. 求和
(1) (2)
例 26. (非绝对收敛) Cauchy乘积是否收敛？
29.
例 27. 研究级数的敛散性
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
例 28. 研究级数的敛散性
(1)
例 29. 本节读完
29.
定理 20. (Gauss判别法)
设有正项级数, 且有，有界，, 为实数，则
（1） 当时，级数收敛
（2） 当时，级数发散
（3） 当, 时，级数收敛;
（4） 当, 时，级数发散
证明.