2. 函数项级数

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数项级数

函数列的收敛性

定义 1.
函数列是指一列定义在$I_0$中的函数$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$。

     （这里$I_0$指为一个区间。）

  • 如果对于$I_0$中的某个点$x_0$，当$n\to\infty$时，数列$\{f_n(x_0)\}_{n=1}^{\infty}$收敛，则称$x_0$是函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$的收敛点
  • 全体收敛点构成$I_0$的一个子集$I$，称为该函数列的收敛域。

如：

\[\begin{aligned} &\{f_n(x)=e^{\frac{x}n}\}_{n=1}^\infty , \quad \{g_n(x)=\sin(nx)\}_{n=1}^\infty , \\ &\{h_n(x)=\sqrt[n]{(x-3)(x+1)}\}_{n=1}^\infty \end{aligned} \]
  • 当$x$在$I$中变化时，极限值$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)$依$x$变化。将此极限值记为函数$f(x)$，称$f(x)$为该函数列的极限函数； 称函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在$I$中逐点收敛到$f(x)$，记为
    \[\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x), x\in I \]

例 1. 求函数列 $\displaystyle\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$的极限函数

解. 可以得到函数列在$x\in(-1,1]$时收敛，

\[f(x)=\begin{cases} & 0, -1<x<1 \\ & 1, x=1 \\ % & 不收敛， x为其它 \end{cases} \]

收敛域为$(-1,1]$

函数列中的通项函数连续，但极限函数可能间断。

设函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在点$x_0$处收敛到$f(x_0)$是指：

对$\forall \epsilon>0$，存在正整数$N=N(\epsilon,x_0)$，s.t.

\[|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon, \forall n>N, \]

这个$N$不仅与$\epsilon$有关，还与$x_0$有关。

定义 2. (函数列的一致收敛)
设函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$和函数$f(x)$在$I$上有定义。

若对$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的正整数$N=N(\epsilon)$，s.t.

\[|f_n(x)-f(x)|<\epsilon, \forall n>N, \forall x\in I \]

则称函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在区间$I$上一致收敛到$f(x)$

若函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在区间$I$上一致收敛到$f(x)$， 若$f_n(x)$在$x_0$处连续（或左、右连续），则$\color{red}\forall\epsilon>0$,

(1) 存在$N$，有

[一致收敛] $\quad \Rightarrow \quad$ ${\color{blue}|f_N(x)-f(x)| <\epsilon}, \forall x\in I$

[点$x_0$处收敛] $\quad \Rightarrow \quad$ ${\color{green}|f_{N}(x_0)-f(x_0)|<\epsilon}$

(2) 由$f_N(x)$在$x_0$处连续，则存在$\color{red}\delta>0$，有

\[|f_N(x)-f_N(x_0)|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

因而，对$\color{red}\forall |x-x_0|<\delta$，有

\[\begin{aligned} {\color{red}|f(x)-f(x_0)| <} & {\color{blue}|f(x)-f_N(x)|}+|f_N(x)-f_N(x_0)| \\ &+{\color{green}|f_N(x_0)-f(x_0)|} < {\color{red}\epsilon+\epsilon+\epsilon} \end{aligned} \]

也就是极限函数$f(x)$也在$x_0$处连续（或左、右连续）。

例 2. (例8.2.2) $\forall a\in(0,1)$，证明函数列$\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$在区间$[-a,a]$上一致收敛到$0$

例 3. (例8.2.3) 证明函数列$\{\frac1{x+n}\}_{n=1}^{\infty}$在$[0,+\infty)$上一致收敛

例 4. 证明函数列$f_n(x)=x^n-x^{n-1}$在$[0,1]$上一致收敛

可以看到，若$|f_n(x)-f(x)|\leq b_n, \forall x\in I$，且$\lim b_n=0$ 则$\{f_n(x)\}$一致收敛到$f(x)$

2.

非一致收敛： $\exists$ $\epsilon_0>0$，对任意的$N$， 总存在$n_0>N$和$x_0\in I$，使得

\[|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|\geq \epsilon_0 \]

例 5. 函数列$x^n$在$[0,1]$上的一致收敛性。

例 6. 判定函数列$\displaystyle f_n(x)=\frac{2nx}{1+n^2x^2}$的一致收敛性

（1） $x\in[0,1]$, （2） $x>1$

若存在 $x_n\in I$，对充分大$N$，成立

\[|f_n(x_n)-f(x_n)|\geq b>0 , \forall n>N \]

则$f_n(x)$在$I$中非一致收敛到$f(x)$

22.

定理 1.
函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在区间$I$上一致收敛于$f(x)$的充要条件是

\[\lim_{n\to\infty} \beta_n=0, \]

其中$\displaystyle \beta_n=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$

函数项级数的收敛性

定义 3.
函数列$\{u_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$定义在区间$I_0$上，称$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$为函数项级数

  • 如果部分和函数列$\displaystyle S_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x)$的收敛域为$I$，且在$I$中收敛到函数$S(x)$，则称$I$为函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$的收敛域，并称$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中逐点收敛于$S(x)$。

例 7. 求收敛域

(1) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{x}n\right)^n$ (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n^2}}{n^2}$ (3) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{e^{nx}}$

  • 如果函数列$S_n(x)$在$I'$中一致收敛，则称函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I'$中一致收敛

对于函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$，令

\[u_n(x)=f_n(x)-f_{n-1}(x) \]

则函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$的部分和函数列为$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$。

因此，函数项级数的收敛性及其性质与函数列的收敛性及其性质是完全对应的。

定理 2. (Cauchy收敛准则)
函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中一致收敛的充要条件为，对$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的正整数$N=N(\epsilon)$，使得当$n>N$时，

\[|S_{n+p}-S_n|=\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)\right|<\epsilon, \forall p>0, \forall x\in I \]

证明.

推论 1. (必要条件)
函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中一致收敛，则其通项$u_n(x)$在$I$中一致收敛到$0$。

例 8. 在无穷区间$(0,+\infty)$上的函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-nx}$的一致收敛性

22.

证明. 结论中取$p=1$即得

推论 2.
函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$(a,b)$中逐点收敛，其通项$u_n(x)$在右端点$x=b$处左连续（或在$x=a$处右连续）， 并且数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(b)$（或$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(a)$）发散， 则函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$(a,b)$内非一致收敛。

  • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$(a,b)$中逐点收敛，$u_n(x)$在右端点$x=b$处左连续，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$(a,b)$内一致收敛，则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(b)$收敛

证明.

定理 3. (Weierstrass判别法)
函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中有定义。若存在一收敛的正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，使

\[|u_n(x)|\leq a_n, x\in I, n>N \]

则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中一致收敛

证明.

例 9. 判定函数项级数是否一致收敛

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$， $x\in[-1,1]$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{x}{n\ln^2 n}\right)$, $|x|<a$（$a>0$）

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^2e^{-nx}$， $x\geq 0$

9.

例 10. 函数列$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$，$u_n(x)$在$[a,b]$上是单调函数， 且$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n(a)|$和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n(b)|$均收敛， 则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$一致收敛

(非一致收敛的Cauchy判别) 函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中非一致收敛的充要条件为，存在$\epsilon_0>0$，对$\forall N>0$，都存在$n_0>N$, $p_0\in\mathbf{N}$, $x_0\in I$，成立

\[|S_{n_0+p_0}(x_0)-S_{n_0}(x_0)|=\left|\sum_{k=n_0+1}^{n_0+p_0}u_k(x_0)\right|>\epsilon_0 \]

例 11. (习题)级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}$在$x>1$时的一致收敛性。

解. 注意到，$x=\frac1n+1$时，级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\frac1n}}$发散。利用Cauchy准则可以证明级数非一致收敛。

例 12. 级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1n\sin(nx)$在$x\in[0,1]$上的一致收敛性。

解. 注意到，$x=\frac1n$时，级数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n}\sin(n\frac1n)$发散。

定理 4. (Dirichlet判别法)
乘积项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$在$I$上一致收敛，若满足

  1. 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$的部分和函数列$\{S_n(x)\}$在$I$上一致有界；
  2. 函数列$\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$对于每个$x\in I$都是单调的，且在$I$上一致趋于$0$。

$\forall x_0\in I$，数列$\{b_n(x_0)\}$是单调数列。

一致有界: 存在$M$，满足$|S_n(x)|<M$, $\forall x\in I$, $\forall n$

定理 5. (Abel判别法)
乘积项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$在$I$上一致收敛，若满足

  1. 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$在$I$上一致收敛；
  2. 函数列$\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$对于每个$x\in I$都是单调的，且在$I$上一致有界。

例 13. (例8.2.7) $\{a_n\}$单调趋于$0$，考察函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(nx)$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$在区间$[\epsilon,2\pi-\epsilon]$上的一致收敛性。（$\epsilon\in(0,\pi)$）

例 14. (例8.2.8) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，考察函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nn^{-x}$在$[0,+\infty)$的一致收敛性

13.

一致收敛级数和函数的性质

定理 6. (逐项求极限)
若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$I$上一致收敛于$S(x)$， 并且通项$u_n(x)$在$I$上连续， 则和函数$S(x)$在$I$上也连续

推论 3.
若逐点收敛的连续函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$的和函数$S(x)$在区间$I$上不连续， 则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$上非一致连续

例 15. $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^3}$在$x\in\mathbb{R}$中的连续性

例 16. (例8.2.12) $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-nx}$在$x>0$时的连续性

内闭一致收敛可以得到极限函数是连续的。

例 17. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}[nxe^{-nx}-(n-1)xe^{-(n-1)x}]$的和函数在$[0,1]$上连续，但级数不一致收敛。

非一致收敛的级数(无论是开区间上还是闭区间上)，和函数可能连续。

15.

定理 7. (逐项积分公式)
若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在有界闭区间$[a,b]$上一致收敛于$S(x)$，并且通项$u_n(x)$在$[a,b]$上连续， 则有逐项积分公式

\[\int_a^bS(x)dx=\int_a^b\left[\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right]dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^bu_n(x)dx \]

证明.

定理 8. (逐项微分公式)
若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在有界闭区间$[a,b]$上收敛于$S(x)$，其通项$u_n(x)$在$[a,b]$上有连续的微分$u'_n(x)$， 并且通项$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u'_n(x)$在$[a,b]$上一致收敛，则和函数$S(x)$在$[a,b]$上有连续的导数，并且有逐项求导公式

\[S'(x)=\left[\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right]'=\sum_{n=1}^{\infty}u'_n(x) \]

证明.

  • 有限个连续函数的和函数也是连续函数
  • 有限个可微函数的和函数也可微，且微分为各个函数的微分的和
  • 有限个可积函数的和函数也可积，且积分为各个函数的积分的和

一致收敛级数的和函数的也具有类似的性质

例 18. $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$, $x\in[0,1]$的极限函数的连续性？

例 19. (例8.2.10) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n^2xe^{-n^2x^2}-2(n-1)^2xe^{-(n-1)^2x^2})$在$[0,1]$上的积分是否与逐项积分后的级数相等？

例 20. $\{f_n(x)=nx(1-x)^n\}_{n=1}^{\infty}$在$[0,1]$上是否一致收敛？该函数列的极限函数在$[0,1]$上的积分，是否与函数列各项的积分的极限相等？

例 21. $\{f_n(x)=\frac1n\arctan x^n \}_{n=1}^{\infty}$，$x\in\mathbf{R}$是否一致收敛？该函数列的极限函数的导数与各函数项导数的极限是否一样？

18.

目录

定理 9.
设$u_n(x)$连续，且函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在开区间$(a,b)$中一致收敛于$S(x)$， 如果对每个$n\geq 1$，$\displaystyle\lim_{x\to b^-}u_n(x)$存在有限， 则$\displaystyle\lim_{x\to b^-}S(x)$存在，且

\[\lim_{x\to b^-}S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to b^-}u_n(x) \]

本节读完

例 22.

22.