3. 幂级数与Taylor级数展开

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学 - 数学科学学院

幂级数与Taylor级数展开

定义 1.
幂级数，即通项为幂函数$a_n(x-x_0)^n$的函数项级数：

\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots \\ +a_n(x-x_0)^n+\cdots \end{aligned} \]

其中实常数$a_0$, $a_1$, $\cdots$称为幂级数的系数，点$x_0$称为幂级数的中心。

令$y=x-x_0$，则级数变为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n y^n$， 这样，只需要考察级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$就可以了

幂级数的收敛半径

定理 1. (Abel定理)
如果幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在点$x_1$处收敛，则它在区间$(-|x_1|,|x_1|)$内绝对收敛；反之，若幂级数在$x_2$处发散， 则它在所有满足$|x|>|x_2|$的点$x$处发散。

由Abel定理知，任何一个幂级数的收敛区域一定是一个区间。

  • 幂级数仅在$x=0$处收敛，在任何非$0$处都发散，此时收敛区域就是$x=0$
    \[\sum_{n=1}^\infty n^nx^n \]
  • 幂级数在任意一点都收敛，它的收敛区域是整个实轴$(-\infty,+\infty)$
    \[\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \]

  • 幂级数具有不为$0$的收敛点与发散点。

    $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty x^n$，当$|x|<1$时，级数收敛; $|x|>1$时，级数发散。

定义 2.
记

\[R=\sup\left\{|x|\left|\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \ \mbox{convergence}\right.\right\}>0 \]

则幂级数在区间$(-R,R)$上收敛，对所有$|x|>R$的$x$都发散。

称$R$为收敛半径，区间$(-R,R)$为收敛区间。

$R$可以是$0$或$+\infty$。

定理 2. (收敛半径)
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的所有系数$a_n\neq 0$。

若极限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|=L$，或$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L$，则

（1） 当$L>0$时，幂级数的收敛半径为$R=\frac1L$；

（2） 当$L=0$时，幂级数的收敛半径为$R=+\infty$;

（3） 当$L=\infty$时，幂级数的收敛半径为$R=0$

证明.

例 1. 求收敛半径

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^p}$       （2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$

（3） (例8.3.2)$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{2n}$

1.

幂级数及其和函数的性质

定理 3. (内闭一致收敛)
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则该幂级数在收敛区间$(-R,R)$内的任何有界闭区间$[-r,r]$上一致收敛（$0<r<R$）， 即级数在区间$(-R,R)$上内闭一致收敛

定理 4.
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则

  1. 其和函数$S(x)$在级数的收敛区间$(-R,R)$内连续；
  2. 其和函数$S(x)$在收敛区间$(-R,R)$内具有任意阶导数， 且可以逐项微分
    \[S^{(k)}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k} \]
  3. 对$\forall x\in(-R,R)$，有逐项积分公式：
    \[\int_0^xS(t)dt=\int_0^x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\right)dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \]

证明.

例 2. (例8.3.3) 求和函数

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$       （2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$     （3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$

例 3. 求和

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}$       （2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$       （3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

例 4. 求和函数

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$        （2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n)!}x^{2n}$

2.

定理 5.
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$和$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$的收敛半径分别为$R_1$, $R_2$，令$R=\min\{R_1, R_2\}$， 则在区间$(-R,R)$上，有

  1. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$
  2. $\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$， 其中$c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$

证明.

定理 6.
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$。

  1. 如果级数在$x=R$处收敛，则其和函数$S(x)$在$x=R$处左连续；
  2. 如果级数在$x=-R$处收敛，则其和函数$S(x)$在$x=-R$处右连续。

注意到$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}n$收敛，则

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}n =\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}n\right) \Bigg|_{x=-1} \]

证明.

函数的Taylor级数展开

若函数$f(x)$在点$x_0$附近可以展开成幂级数，即

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots \]

则$f(x)$在$x_0$附近必有任意阶微商，并且有

\[f^{(k)}(x)=k!a_k+\cdots+n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}+\cdots \]

令$x=x_0$，可得

\[f(x_0)=a_0, \cdots, f^{(k)}(x_0)=k!a_k,\cdots \]

即有

\[a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \]

定义 3.
若函数$f(x)$在$x_0$处有任意阶导数，则可以构造幂级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

称为$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数。特别地，$x_0=0$时，称级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

为Maclaurin级数。

  • 一般来说，$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数可能除点$x_0$外都发散， 或者即使在$x\neq x_0$处收敛，和也未必是$f(x)$
  • $f(x)$在$x_0$处的Taylor级数一般只能记为
    \[f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

定义 4.
当函数$f(x)$的Taylor级数收敛到自身时，称函数$f(x)$可以展开成Taylor级数， 其Taylor级数称为函数$f(x)$的Taylor展开式。 特别，当$x_0=0$且$f(x)$的Maclaurin级数收敛到自身时， 称为$f(x)$的Maclaurin展开式

定理 7.
函数$f(x)$在区间$(x_0-R,x_0+R)$上有任意阶导数，并且其各阶导数在区间$(x_0-R,x_0+R)$上一致有界， 则$f(x)$可以展开成Taylor级数，即

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , x\in(x_0-R,x_0+R) \]

例 5. (导数需要一致有界) (注8.3.1) 考察函数

\[f(x)=\begin{cases} e^{-\frac1{x^2}}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} \]

证明：函数$f(x)$在$0$处有任意阶导数，且$f^{(n)}(0)=0$。 则$f(x)$在$0$处的Maclaurin展开为$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 0\cdot x^n$， 显然，在$x\neq0$的点上，不会收敛到$f(x)$

证明.

例 6.  

  • $e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$ , $x\in\mathbb{R}$
  • $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$, $x\in\mathbb{R}$
  • $\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots$, $x\in\mathbb{R}$
  • $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$
  • $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots$, $x\in(-1,1]$

6.

例 7.  

  • $\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$
  • $\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$
  • $\sqrt{1+x}=1+\frac12x-\frac1{2\times4}x^2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n$, $x\in[-1,1]$
  • $\frac1{\sqrt{1+x}}=1-\frac12x+\frac{1\times3}{2\times4}x^2+\cdots+(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$, $x\in(-1,1]$

[#ex8-1-4].

例 8. 将函数展开成Maclaurin幂级数

（1） $f(x)=\frac1{a+x}$, $a\neq 0$      （2） $f(x)=a^x$

（3） $f(x)=\sin(a+x)$

（4） $f(x)=\cos^2x$         （5） $f(x)=\frac1{(1-x)^2}$

（6） $f(x)=\frac1{\cos x}$           （7） $f(x)=\tan(x)$

（8） $f(x)=\arcsin(x)$

例 9. 将函数$f(x)=\dfrac1{x^2+3x+2}$展开成$(x+4)$的幂级数

8.

目录

本节读完

例 10. 已知$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}x^n$，直接证明

\[f(x)f(y)=f(x+y) \]

使用 Cauchy乘积公式