1. 广义积分收敛的判别法则

含参变量积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

定义 1.
含有参变量的积分，称为含参变量积分

如：

\[I(n)=\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^nxdx \]
\[I(n)=\int_0^{1}x^n dx \]

第二型椭圆积分

\[I(k)=\int_0^{\frac{\pi}2}\sqrt{1-k^2\sin^2t}dt \]

椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的弧长为

\[l=4b\int_0^{\frac{\pi}2}\sqrt{1-k^2\sin^2t}dt \]

其中$k=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}b$为离心率

  • 含参变量积分也可以用来构造新的函数，
  • 理论与函数项级数有很多相似的地方。如一致收敛性、连续性、可微性和可积性

含参变量积分分为

  • 常义积分, 如$\displaystyle I(u)=\int_a^b f(x,u)dx$
  • 广义积分, 如$\displaystyle I(u)=\int_a^{+\infty} f(x,u)dx$

广义积分收敛的判别法则

上册中，介绍了无穷积分与瑕积分的基本概念，收敛性的定义，及计算简单广义积分的方法。

定义 2.
无穷积分定义：

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx \]

定义 3.
设$f(x)$在$(a,b]$上连续，$a$为瑕点（即当$x\to a+$时，$f(x)$无界）， 则瑕积分定义为

\[\int_a^b f(x)=\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx \]

例 1. 求

\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin(bx)dx, a>0 \]

例 2. 求

\[\int_0^{+\infty}\sin(x)dx \]

1.

\[F(x)=-\dfrac{a\sin(bx)+b\cos(bx)}{a^2+b^2}e^{-ax} \]

由$F(+\infty)=0, F(0)=-\dfrac{b}{a^2+b^2}$，可得

\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin(bx)dx=\dfrac{b}{a^2+b^2} \]

类似有

\[\int_0^{+\infty}e^{-ax}\cos(bx)dx=\dfrac{a}{a^2+b^2} \]

2.

\[=\cos(x)|_0^{+\infty} \]

$\cos(x)$在$+\infty$处无极限

例 3. 若$F'(x)=f(x)$，且对任意$A>a$，函数在$[a,A]$中无瑕点，则

\[\int_a^A f(x)=F(A)-F(a) \]

若同时$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)$存在有限，则

\[\int_a^{+\infty} f(x)=F(+\infty)-F(a) \]

无穷积分收敛性的判别

定理 1. (Cauchy收敛准则)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，则无穷积分$\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛的充要条件为，对$\forall \epsilon>0$，$\exists B=B(\epsilon)>a$，使得

\[\left|\int_{b_1}^{b_2}f(x)dx\right|<\epsilon, \forall b_1,b_2>B \]

定理 2. (绝对收敛则收敛)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，且无穷积分$\displaystyle\int_a^{\infty}|f(x)|dx$收敛，则积分$\displaystyle\int_a^{\infty} f(x) dx$收敛

证明. 记$F(x)=\int_a^x f(t)dt$，试写出$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}F(x)$存在的Cauchy准则

(非Cauchy收敛)

存在$\epsilon_0>0$，对$\forall B>a$，都存在$b_1, b_2>B$，使得

\[\left|\int_{b_1}^{b_2}f(x)dx\right|>\epsilon_0 \]

例 4. (非Cauchy收敛) 判定无穷积分的敛散性

\[\int_0^{\infty} x^p\sin(x) dx, p>0 \]

非负连续函数的比较判别

定理 3. (有界判别法)
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上非负连续，则无穷积分$\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛的充要条件为，存在$M>0$，使得对$\forall b\geq a$，都有

\[\int_{a}^{b}f(x)dx \leq M \]

定理 4. (比较判别法)
设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负连续，且对充分大的$x$，满足$0\leq g(x)\leq f(x)$，那么：

（1）若$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$收敛，则$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$也收敛;

（2）若$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$发散，则$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$也发散;

定理 5. (比较判别法的极限形式)
设$f(x)$和$g(x)$在$[a,+\infty)$上非负连续，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=k$ ，那么：

  1. 若$0< k<+\infty$，则$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$与$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$同敛散
  2. 若$k=0$，且$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$收敛，则$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$也收敛;
  3. 若$k=+\infty$，且$\displaystyle\int_a^{\infty}g(x)dx$发散，则$\displaystyle\int_a^{\infty}f(x)dx$也发散;

与函数$\frac1{x^p}$做比较，可以得到

推论 1.
$f(x)$在$[a,+\infty)$连续，$a>0$，则

  1. 当$x$充分大时，有$|f(x)|\leq\dfrac{c}{x^p}, p>1,c>0$，则$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛
  2. 当$x$充分大时，有$|f(x)|\geq\dfrac{c}{x^p}, p\leq1,c>0$，则$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$发散

例 5. 判定收敛性

\[\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p+x^q}dx \]

例 6. 判定收敛性

\[\int_2^{+\infty}\dfrac{1}{x^p\ln^qx}dx \]

乘积函数积分收敛的判别法

  • 比较判别法只适用于非负函数，
  • 对于函数值符号不确定的函数，可以考察乘积函数$f(x)g(x)$, 得到无穷积分收敛性的精细判别

引理 1. (Bonnet公式)
函数$f(x)$在有界闭区间$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上非负，则：

（1） 若$g(x)$在$[a,b]$上单调减，则$\exists\xi\in[a,b]$，满足

\[\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^{\xi}f(x)dx \]

（2） 若$g(x)$在$[a,b]$上单调增，则$\exists\xi\in[a,b]$，满足

\[\int_a^b f(x)g(x)dx=g(b)\int_{\xi}^bf(x)dx \]

证明 ：

第二积分中值定理

定理 6. (第二积分中值定理)
函数$f(x)$在有界闭区间$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上单调，则$\exists \xi\in[a,b]$，满足

\[\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^b f(x)dx \]

6 证明.

Dirichlet判别法

定理 7. (Dirichlet判别法)
函数$f(x),g(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上连续，并且满足如下两个条件：

（1） $\exists M>0$，使得 $\displaystyle\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leq M, \forall b\in[a,\infty)$

（2） $g(x)$在$[a,+\infty)$上单调，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$，

则积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛

7 证明.

Abel判别法

定理 8. (Abel判别法)
函数$f(x),g(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上连续，并且满足如下两个条件：

（1） 积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛

（2） $g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界

则积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx$收敛

证明.

例 7. (无界的函数的无穷积分仍然可能收敛) (例9.1.7)

判定无穷积分的敛散性

（1） $\displaystyle\int_0^{\infty}\sin(x^2)dx$ （2） $\displaystyle\int_0^{\infty}x\cos(x^3)dx$

例 8. (例9.1.6) 判定无穷积分的敛散性

\[\int_a^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p}dx , a>0, p>0 \]

例 9. 判定无穷积分的敛散性

\[\int_a^{+\infty}\dfrac{\sin^2x}{x}dx , a>0, p>0 \]

例 10. 判定无穷积分的绝对收敛性

\[\int_0^{+\infty}\dfrac{\sqrt x\cos x}{x+100}dx , a>0, p>0 \]

8.

9.

10.

无界函数积分的收敛性

  • 被积函数有瑕点的积分。这类积分与无穷积分有着十分密切的联系。
  • 设$f(x)$在$(a,b]$上连续，$a$为瑕点（即当$x\to a+$时，$f(x)$无界）， 则瑕积分定义为
    \[\int_a^b f(x)=\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx \]
  • 作变量代换$x=a+\dfrac1y$，则
    \[\begin{aligned} \int_a^bf(x)dx =&\lim_{\epsilon\to0+}\int_{\frac{1}{b-a}}^{1/\epsilon}f(a+\frac{1}y)\dfrac{1}{y^2}dy \\ =&\int_{\frac{1}{b-a}}^{+\infty}f(a+\frac{1}y)\dfrac{1}{y^2}dy \end{aligned} \]
  • 所以，对无穷积分建立的整个理论，可以完全平移到瑕积分上。

例 11. (例9.1.8) 判定敛散性

\[\int_a^b\dfrac{1}{(x-b)^2}dx, a< b \]

例 12. (例9.1.9) 判定敛散性

\[\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}dx, k^2< 1 \]

11.

[#ex9-1-11].

12.

例 13. 判定敛散性

\[\int_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}dx \]

例 14. 判定敛散性

\[\int_0^{+\infty}x^p\sin(x^q)dx, q\neq 0 \]

13. $1$为瑕点；当$n< 0$时，$0$也为瑕点。

（1） $\int_0^{\frac12}\dfrac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$n\geq0$时，积分收敛（有界函数在有界区间上的积分）

$n< 0$时，由

\[\lim_{x\to0+}\dfrac{\frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}}{x^n}=1 \]

知，$\int_0^{\frac12}\dfrac{1}{x^{-n}}dx$收敛时，才收敛。即$-n< 1$时，收敛

14.

目录

级数 积分
通项: $a_n$ 被积函数: $f(x)$
部分和: $S_N=\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$ 常义积分: $I_A=\displaystyle \int_a^A f(x)dx$
级数和: $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty} S_N$ 无穷积分: $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{A\to+\infty} I_A$
正项级数的比较判别法 非负函数的比较判别
一般级数的Dirichlet判别、Abel判别 无穷积分收敛的Dirichlet判别、Abel判别

本节读完

例 15. 谢谢

15.