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中国科学技术大学数学科学学院
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定义 1.
含有参变量的积分，称为含参变量积分
如：
第二型椭圆积分
椭圆的弧长为
其中为离心率
含参变量积分分为
上册中，介绍了无穷积分与瑕积分的基本概念，收敛性的定义，及计算简单广义积分的方法。
定义 2.
无穷积分定义：
定义 3.
设在上连续，为瑕点（即当时，无界）， 则瑕积分定义为
例 1. 求
例 2. 求
1.
由，可得
类似有
2.
在处无极限
例 3. 若，且对任意，函数在中无瑕点，则
若同时存在有限，则
定理 1. (Cauchy收敛准则)
设在上连续，则无穷积分收敛的充要条件为，对，，使得
定理 2. (绝对收敛则收敛)
设在上连续，且无穷积分收敛，则积分收敛
证明. 记，试写出存在的Cauchy准则
(非Cauchy收敛)
存在，对，都存在，使得
例 4. (非Cauchy收敛) 判定无穷积分的敛散性
定理 3. (有界判别法)
设在上非负连续，则无穷积分收敛的充要条件为，存在，使得对，都有
定理 4. (比较判别法)
设和在上非负连续，且对充分大的，满足，那么：
（1）若收敛，则也收敛;
（2）若发散，则也发散;
定理 5. (比较判别法的极限形式)
设和在上非负连续，且 ，那么：
与函数做比较，可以得到
推论 1.
在连续，，则
例 5. 判定收敛性
例 6. 判定收敛性
引理 1. (Bonnet公式)
函数在有界闭区间上连续，在上非负，则：
（1） 若在上单调减，则，满足
（2） 若在上单调增，则，满足
证明 ：
定理 6. (第二积分中值定理)
函数在有界闭区间上连续，在上单调，则，满足
6 证明.
定理 7. (Dirichlet判别法)
函数在无穷区间上连续，并且满足如下两个条件：
（1） ，使得
（2） 在上单调，且，
则积分收敛
7 证明.
定理 8. (Abel判别法)
函数在无穷区间上连续，并且满足如下两个条件：
（1） 积分收敛
（2） 在上单调有界
则积分收敛
证明.
例 7. (无界的函数的无穷积分仍然可能收敛) (例9.1.7)
判定无穷积分的敛散性
（1） （2）
例 8. (例9.1.6) 判定无穷积分的敛散性
例 9. 判定无穷积分的敛散性
例 10. 判定无穷积分的绝对收敛性
8.
9.
10.
例 11. (例9.1.8) 判定敛散性
例 12. (例9.1.9) 判定敛散性
11.
[#ex9-1-11].
12.
例 13. 判定敛散性
例 14. 判定敛散性
13. 为瑕点；当时，也为瑕点。
（1）
时，积分收敛（有界函数在有界区间上的积分）
时，由
知，收敛时，才收敛。即时，收敛
14.
| 级数 | 积分 |
| 通项: | 被积函数: |
| 部分和: | 常义积分: |
| 级数和: | 无穷积分: |
| 正项级数的比较判别法 | 非负函数的比较判别 |
| 一般级数的Dirichlet判别、Abel判别 | 无穷积分收敛的Dirichlet判别、Abel判别 |
例 15. 谢谢
15.