2. 含参数常义积分

含参变量积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

含参数常义积分

定义 1.
设二元函数$f(x,u)$在有界闭区域$D: [a,b]\times[\alpha,\beta]$上连续，称积分

\[\int_a^bf(x,u)dx \]

为含参变量常义积分，其中$u$称为参变量。

如果积分为广义积分（如，区间$[a,b]$为无穷区间，或被积分函数$f(x,u)$在$[a,b]$上无界），则称含参变量积分为含参变量广义积分。

含参变量常义积分的性质

  • 设$f(x,u)$在$D:x\in[a,b], u\in[\alpha,\beta]$上连续， 则含参变量常义积分$\displaystyle\phi(u)=\int_a^bf(x,u)dx$是定义在$[\alpha,\beta]$上的函数。

定理 1.
设$f(x,u)$在$D:[a,b]\times[\alpha,\beta]$上连续，则

（1） 函数$\phi(u)=\int_a^bf(x,u)dx$在$[\alpha,\beta]$上连续，即有

\[\lim_{u\to u_0}\int_a^bf(x,u)dx =\int_a^b\left[\lim_{u\to u_0}f(x,u)\right]dx \]

（2） 函数$\phi(u)$在$[\alpha,\beta]$上可积，且

\[\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_a^bf(x,u)dx\right]du =\int_a^b\left[\int_\alpha^\beta f(x,u)du\right]dx \]

（3） 如果函数$f(x,u)$对$u$在区域$D$上有连续的偏微商，则函数$\phi(u)$在$[\alpha,\beta]$上具有连续的导数，并且

\[\phi'(u)=\int_a^b\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}dx \]
  • 定理表明，在有界区间上，对于含参变量常义积分，可以交换极限运算与积分运算的顺序，可以交换两个积分运算的顺序，可以交换求导运算与积分运算的顺序
  • 在定理中，将参数变化区间$[\alpha,\beta]$换成无穷区间， （1）与（3）仍然成立，但（2）不一定成立。

例 1. $\displaystyle F(a)=\int_0^2x^2\cos(ax)dx$，求$\displaystyle\lim_{a\to0}F(a)$

例 2. $\displaystyle \lim_{a\to0}\int_{-1}^1\sqrt{x^2+a^2}dx$

例 3. (被积函数不连续) $\displaystyle\lim_{y\to0}\int_0^1\frac{x}{y^2}e^{-\frac{x^2}{y^2}}dx$

例 4. (可去连续点) (例9.2.2)$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac1{1+(1+\frac{x}n)^n}dx$

例 5. (例9.2.1)设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，考察函数的连续性

\[F(t)=\int_0^1\frac{tf(x)}{x^2+t^2}dx \]

4.

例 6. 求$I(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\ln\frac{1+a\cos x}{1-a\cos x}\frac1{\cos x}dx$, $|a|<1$

例 7. 求$I(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\ln(a^2\sin^2x+b^2\cos^2x)dx$

例 8. 求$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x}dx$, $a>0$, $b>0$

例 9. 求$\displaystyle\int_0^1 \sin\left(\ln\frac1x\right) \frac{x^b-x^a}{\ln x}dx$, $a<b$

6.

积分限依赖于参变量的积分

不仅被积函数依赖于参变量，积分限也依赖于参变量

\[ \psi(u)=\int_{a(u)}^{b(u)}f(x,u)dx \]

定理 2.
设二元函数$f(x,u)$在$D:[a,b]\times[\alpha,\beta]$上连续，函数$a(u)$, $b(u)$在$[\alpha,\beta]$上连续，且 $a\leq a(u), b(u)\leq b,$ 则

（1） $\psi(u)=\int_{a(u)}^{b(u)}f(x,u)dx$在$[\alpha,\beta]$上连续，即

\[\lim_{u\to u_0}\int_{a(u)}^{b(u)}f(x,u)dx=\int_{a(u_0)}^{b(u_0)}f(x,u_0)dx \]

（2） 若$f(x,u)$对$u$有连续的偏导数，函数$a(u)$和$b(u)$在$[\alpha,\beta]$上都可微，则函数$\psi(u)$在$[\alpha,\beta]$上可微，且

\[\psi'(u)=\int_{a(u)}^{b(u)}\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}dx+f(b(u),u)b'(u)-f(a(u),u)a'(u) \]

证明.

例 10. 设$u(x)=\displaystyle\int_0^1 k(x,y)v(y)dy$，其中

\[k(x,y)=\begin{cases} x(1-y) , x\leq y \\ y(1-x) , x>y \end{cases} \]

$v(y)$连续，证明$u(x)$满足

\[u''(x)=-v(x), x\in[0,1] \]

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本节读完

例 11.

11.