3. 含参变量广义积分

含参变量积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

含参变量广义积分

讨论无穷区间$[a,+\infty)$上的无穷积分

\[\int_a^{+\infty}f(x,u)dx , u\in I \]

其中$I$为有限或无穷区间。

定义 1.
$f(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times I$上连续，若$\forall u\in I$，广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$都收敛， 则它确定了区间$I$上的一个函数

\[\phi(u)=\int_a^{+\infty}f(x,u)dx , x\in I \]

此时，称含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上逐点收敛。

例 1. 求收敛域

（1） $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^2}dx$

（2） $\displaystyle\int_\pi^{+\infty}\frac{x\cos x}{x^p+x^q}dx$

例 2. 求 $\displaystyle\lim_{\alpha\to0+}\int_0^{+\infty}\alpha e^{-\alpha x}dx$ 与 $\displaystyle\int_0^{+\infty}[\lim_{\alpha\to0+}\alpha e^{-\alpha x}]dx$

积分运算与极限运算不能互换次序。

需要一致收敛的特性

一致收敛性及其判别法则

定义 2.
若$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的数$B=B(\epsilon)>a$，使得

\[\left|{\int_a^bf(x,u)dx-\int_a^{+\infty}f(x,u)dx}\right|=\left|{\int_b^{+\infty}f(x,u)dx}\right|<\epsilon \]

对$\forall u\in I$， $\forall b>B$成立，

则称含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上一致收敛。

与函数项级数类似，

  • 含参变量广义积分一致收敛有一系列的判别法则，
  • 其证明与函数项级数一致收敛相应的判别法则相仿。

定理 1. (Cauchy收敛准则)
含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上一致收敛的充要条件是，$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的数$B=B(\epsilon)>a$，使得不等式

\[\left|{\int_{b_1}^{b_2}f(x,u)dx}\right|<\epsilon \]

对所有$u\in I$， $b_1,b_2>B$都成立

定义 3. (非一致收敛的Cauchy准则)
含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上非一致收敛的充要条件是， 存在$\epsilon_0>0$，对不论多大的$M$，$\exists b_0, b_1\geq M$，及$u_0\in I$，使得

\[\left|{\int_{b_0}^{b_1} f(x,u_0)dx}\right|>\epsilon_0 \]

定理 2.
(习题) 函数$f(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times[\alpha,\beta]$上连续， 且对于$u\in[\alpha,\beta]$， 积分$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x,u)dx$收敛， 而当$u=\beta$时，积分$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x,\beta)dx$发散。 则积分$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x,u)dx$在区间$[\alpha,\beta)$上非一致收敛。

例 3. 积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\sqrt{a}e^{-ax^2}dx$，$a\in[0,+\infty)$逐点收敛，但不一致收敛。

例 4. (例9.3.4)积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\alpha e^{-\alpha x}dx$，$\alpha \in[0,+\infty)$逐点收敛，但不一致收敛。

3.

定理 3. (Weierstrass判别法)
函数$f(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times I$上连续，若存在连续函数$p(x)$，使

\[\left|{f(x,u)}\right|\leq p(x) , \forall u\in I, \forall x>M \]

且积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}p(x)dx$收敛，则含参变量积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上一致收敛

定理 4. (Dirichlet判别法)
函数$f(x,u)$，$g(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times I$上连续，且满足:

  1. 积分$\displaystyle\int_a^bf(x,u)dx$关于$b$和$u$一致有界，即存在一个与$b$和$u$无关的常量$K$，使得
    \[\left|{\int_a^bf(x,u)dx}\right|\leq K, \forall b>a, \forall u\in I \]
  2. 函数$g(x,u)$对于每个$u\in I$关于$x$单调的，且$x\to+\infty$时，$g(x,u)$关于$u$在$I$上一致趋于$0$。

则含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)g(x,u)dx$在$I$上一致收敛

定理 5. (Abel判别法)
函数$f(x,u)$，$g(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times I$上连续，且满足:

  1. 积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上一致收敛

  2. 函数$g(x,u)$对于每个$u\in I$关于$x$单调的，且$g(x,u)$ 关于$u$在$I$上一致有界

则含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)g(x,u)dx$在$I$上一致收敛

例 5. 研究含参变量广义积分$\displaystyle\int_1^{+\infty}e^{-ax}\frac{\cos(x)}{x^p}dx$在$a\geq 0$上的一致收敛性，其中$p>0$为常数

例 6. 研究含参变量广义积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x^2)}{1+x^p}dx$在$p\geq 0$上的一致收敛性

例 7. $f(t)$在$t>0$上连续，若$\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\lambda}f(t)dt$对$\lambda=a$与$\lambda=b$时收敛， 则$\forall \lambda\in(a,b)$，含参变量广义积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\lambda}f(t)dt$收敛，且一致收敛

5.

例 8. 证明：

  1. 广义积分$I(y)=\displaystyle\int_1^{+\infty}e^{-\frac{1}{y^2}(x-\frac1y)^2}dx$ ,在$y\in(0,1)$上一致收敛。
  2. 并且不存在$\phi(x), x>1$，使得
    \[0<e^{-\frac{1}{y^2}(x-\frac1y)^2}\leq\phi(x), x>1, 0<y<1 \]
    且$\displaystyle\int_1^{+\infty}\phi(x)dx$收敛。

（即，不存在所谓收敛“最慢”的函数）

1.

一致收敛性含参变量广义积分的性质

含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$I$上一致收敛，研究函数

\[\phi(u)=\int_a^{+\infty}f(x,u)dx \]

的连续性、可微性及可积性等。

定理 6. (连续性与可积性)
函数$f(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times[\alpha,\beta]$上连续，且含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$[\alpha,\beta]$上一致收敛，则：

  1. 函数$\phi(u)$在$[\alpha,\beta]$上连续；即有
    \[\lim_{u\to u_0}\int_a^{+\infty}f(x,u)dx=\int_a^{+\infty}\lim_{u\to u_0}f(x,u)dx \]
  2. 函数$\phi(u)$在$[\alpha,\beta]$上可积，且有
    \[\int_{\alpha}^{\beta}\left[\int_a^{+\infty}f(x,u)dx\right]du= \int_a^{+\infty}\left[\int_{\alpha}^{\beta}f(x,u)du\right]dx \]

证明.

例 9. (交换积分次序) $a>0$, $b>0$, 求

(1) $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}x dx$, (2) $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-\alpha x^2}-e^{-\beta x^2}}x dx$,

(3) $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-\alpha x^2}-e^{-\beta x^2}}{x^2} dx$

例 10. 已知$f_n(x)=\frac{n}{x^3}e^{-\frac{n}{2x^2}}$, $x>0$， 则 $f_n(x)$在$x>0$时一致收敛到$0$。 但$\displaystyle \lim \int_0^{+\infty}f_n(x)dx\neq \int_0^{+\infty} [\lim f_n(x)] dx$，

$f_n(x)$的一致收敛区间是$(0,+\infty)$，而定理要求是$[\alpha,\beta]$，是闭区间

15.

定理 7. (可微性, Leibniz法则)
函数$f(x,u)$满足

  1. $f(x,u)$和$\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}$在区域$D=[a,+\infty)\times[\alpha,\beta]$上连续
  2. 含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在$[\alpha,\beta]$上收敛
  3. 含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}dx$在$[\alpha,\beta]$上一致收敛

则函数$\phi(u)$在$[\alpha,\beta]$上可微，且

\[\phi'(u)=\int_a^{+\infty}\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}dx \]

证明.

  • 可微性定理中，$u$的变化范围$[\alpha,\beta]$可以是无穷区间。
  • 若$u$的变化范围为开区间，或半开半闭区间，不论有限或无穷，条件(3)可以放宽为“$u$在区间上内闭一致收敛”

例 11. (9.3.7) 计算 $\displaystyle I(\beta)=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos(2\beta x)dx$ , $\beta\in\mathbb{R}$

例 12. 计算 $J=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(ax)}xe^{-kx}dx$, $k>0$, $a>0$

例 13. 计算$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+\alpha^2x^2)}{\beta^2+x^2}dx$, $\beta>0$, $\alpha\geq0$

12.

参变量也是无穷区间

定理 8.
函数$f(x,u)$满足

  1. $f(x,u)$在区域$D=[a,+\infty)\times[\alpha,+\infty)$上连续；
  2. 含参变量广义积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,u)dx$在无穷区间$[\alpha,+\infty)$上“内闭一致收敛”； 含参变量广义积分$\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(x,u)du$在无穷区间$[a,+\infty)$上“内闭一致收敛”；
  3. 积分
    \[\int_{\alpha}^{+\infty}\left[\int_a^{+\infty}f(x,u)dx\right]du , \int_{a}^{+\infty}\left[\int_{\alpha}^{+\infty}f(x,u)du\right]dx \]
    之中至少有一个存在。

则两个积分都存在，且相等

\[\int_{\alpha}^{+\infty}\left[\int_a^{+\infty}f(x,u)dx\right]du = \int_{a}^{+\infty}\left[\int_{\alpha}^{+\infty}f(x,u)du\right]dx \]

要交换两个无穷区间上广义积分的顺序，需要条件更多。主要是函数对两个参变量的广义积分都内闭一致收敛。

证明.

例 14. (例9.3.8)计算极限

\[\lim_{v\to0+}\int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty}e^{-(u^2+v)x}\sin xdu\right]dx \]

14.

目录

本节读完

例 15.

15.