4. 含参变量积分的应用

含参变量积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

含参变量积分的应用

几个重要的广义积分

( Dirichlet积分 ) 积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}xdx=\frac{\pi}2$

( Laplace积分 ) 积分

  • $I(\beta)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos\beta x }{\alpha^2+x^2}dx=\frac{\pi}{2\alpha}e^{-\alpha\beta}$,
  • $J(\beta)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\sin\beta x}{\alpha^2+x^2}dx=\frac{\pi}{2}e^{-\alpha\beta}$

( Fresnel积分 ) 积分

  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\sin x^2dx=\sqrt{\frac{\pi}8}$, $\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\frac{\pi}8}$

(Euler-Poisson积分) 计算积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}2$

例 1. 计算积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin(\beta x)}{x} dx$

例 2. 计算积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\frac{\sin(\alpha x)}{x}\right)^3 dx$

例 3. 计算积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{1+x^2}dx$, $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos\alpha x}{(1+x^2)^2}dx$

3.

$\Gamma$函数和$\mathbf{B}$函数及其性质

\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt , \mathbf{B}(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \]

统称为Euler函数

$\Gamma$函数的定义域为$(0,+\infty)$，

$\mathbf{B}$函数的定义域为$(x>0,y>0)$。

定理 1. (连续性)
$\Gamma$函数在区间$(0,+\infty)$上连续，$\mathbf{B}$函数在第一象限$(x,y>0)$内连续。

定理 2. (递推公式)
当$x>0$时，$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

$\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$, $\Gamma(1)=1$, $\Gamma(n+1)=n! ( n\in \mathbb{N})$,

定理 3. (无穷积分表示)
$\forall x,y>0$，有

\[\mathbf{B}(x,y)=\int_0^{+\infty}\frac{z^{y-1}}{(1+z)^{x+y}}dz \]

证明.

定理 4.
$\forall x,y>0$，有

\[\mathbf{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

定理 5. (对称性)
$\forall x,y>0$，有$\mathbf{B}(x,y)=\mathbf{B}(y,x)$

$m,n\in\mathbb{N}$，有

\[\mathbf{B}(n,m)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} \]

证明.

定理 6. (递推公式)
$\forall x,y>0$，有

\[\begin{aligned} \mathbf{B}(x+1,y)=&\frac{x}{x+y}\mathbf{B}(x,y) , \mathbf{B}(x,y+1)=\frac{y}{x+y}\mathbf{B}(x,y) \\ \mathbf{B}(x+1,y+1)=&\frac{xy}{(x+y)(x+y+1)}\mathbf{B}(x,y) \end{aligned} \]

定理 7. (加倍公式)
$\forall x>0$，有

\[\Gamma(2x)=\frac{2^{2x-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(x)\Gamma(x+\frac12) \]

定理 8. (余元公式)
$\forall x>0$，有

\[\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x} \]

证明.

$\Gamma$函数和$\mathbf{B}$函数的应用

例 4. 计算积分$I=\displaystyle\int_a^b(x-a)^p(b-x)^qdx$, $b>a$, $p,q>-1$

例 5. 计算积分$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^nx\cos^mx ds$，$m,n$为自然数

例 6. 确定参数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$，使得积分

\[I=\iiint_D\frac1{1+x^\alpha+y^\beta+z^\gamma}dxdydx<+\infty \]

并积分$I$的值，其中$D=\{(x,y,z)|x,y,z\geq 0\}$为第一卦限。

4.

例 7. 随机变量$X$服从参数$\alpha$的Maxwell分布，

\[f(x)=\begin{cases} & \frac4{a^3\sqrt{\pi}}x^2e^{-\frac{x^2}{a^2}} , x>0 \\ & 0, x\leq 0 \end{cases} \]

计算数学期望$E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

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例 8.  

(1)(习题) $\displaystyle\int_0^1x^{p-1}(1-x^m)^{q-1}dx$, $p>0,q>0,m>0$

(2) $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx \cdot \int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}dx$

例 9.  

(1) $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^m e^{-x^n}dx$, $m>0, n>0$

(2) $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^4}dx \cdot \int_0^{+\infty}x^2e^{-x^4}dx$

目录

本章读完

例 10. 判定积分

\[I(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(2x)}{x+\alpha}e^{-\alpha x}dx \]

对$\alpha\in[0,b]$, $\forall b>0$的一致收敛性

例 11. 求积分

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(4x^2+2x+6)}dx \]

10.