二次曲面

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

空间曲面与曲线

  • 空间中的曲线或曲面，可以看作是空间中点的运动轨迹。
    • 参数曲线方程
      \[p(t)=(x(t),y(t),z(t)) \]
    • 参数曲面方程
      \[p(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)) \]
  • 或者，看作是点的集合。
    • 一般曲面方程: 满足$f(x,y,z)=0$的点$(x,y,z)$的集合形成一个曲面。 也称为隐式曲面。
    • 一般曲线方程: 两个曲面的交线，也称为隐式曲线。
      \[\begin{cases} f(x,y,z)=0 \\ g(x,y,z)=0 \end{cases} \]

柱面

定义 1.
一簇平行直线形成的曲面叫柱面。直线叫母线。与每条母线都相交的线叫准线。

若母线方向 $\vec u=(u_1,u_2,u_2)$， 准线的参数方程为$\vec Q(t)=(q_1(t),q_2(t),q_3(t))$，则柱面的参数方程为

\[P(s,t)=\vec Q(t)+s\vec u \]

或

\[\begin{cases} x=u_1 s + q_1(t) \\ y=u_2 s + q_2(t) \\ z=u_3 s + q_3(t) \end{cases} \]
  • 准线有无穷条，将任一条准线沿母线方向运动，都可以得到柱面。
  • 母线与$z$轴平行的柱面方程是$F(x,y)=0$。这里，在空间中考虑问题。虽然方程中不含变量$z$，但方程是关于$(x,y,z)$的三元方程。
    • 同样，方程$G(y,z)=0$表示母线与$x$轴平行。
    • 方程$H(z,x)=0$表示母线与$y$轴平行。

双曲柱面

锥面

定义 2.
一簇过定点的直线组成的曲线叫锥面。这个定点，称为顶点。 直线称为母线。与每条母线都相交，但不过顶点的线叫准线。

  • 将准线上的每一点与顶点作直线就可以得到锥面。
  • 若准线方程为$\vec Q(t)=(q_1(t),q_2(t),q_3(t))$， 顶点为$\vec A=(a_1,a_2,a_3)$，则锥面方程为
    \[P(s,t)=(1-s)\vec A+s\vec Q(t) \]
    \[\begin{cases} x=(1-s)a_1 +s q_1(t) \\ y=(1-s)a_2 +s q_2(t) \\ z=(1-s)a_3 +s q_3(t) \\ \end{cases} \]

圆锥面: 准线为圆，且顶点与圆心连线垂直圆面的锥面

锥面

旋转面

定义 3.
一条曲线绕一条直线旋转产生的曲面叫作旋转面。这条曲线称为子午线，这条直线称为转轴。

pic-tuo-qiu

旋转面的参数方程和一般方程的形式通常都比较复杂。

例 1. $Oxz$平面上的椭圆

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} \]

绕$z$轴旋转，所得的曲面称为旋转椭球面。 GeoGeBra

解. 这个椭球上任意点$P(x,y,z)$，

  1. 它在过这个点，并且与$z$轴垂直的圆上，这个圆的圆心$E$在$z$轴， 半径是$r=\sqrt{x^2+y^2}$
  2. $P$是椭圆上的点$D(\pm r, 0, z)$绕$z$轴旋转得到，因此有
    \[\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1 \]

推广到一般情况，在坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转的旋转面的方程比较容易得到。

设在$Oyz$平面上有曲线

\[L:\begin{cases} F(y,z)=0 (y>0) \\ x=0 \end{cases} \]
  • $L$绕$z$轴旋转得到一个旋转面，则旋转面的方程为
    \[F(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z)=0 \]
    这里的$\pm$表示至少有一种情况成立。
  • 类似，$L$绕$y$轴旋转，得到的旋转面的方程是
    \[F(y, \pm\sqrt{x^2+z^2})=0 \]

例 2. 设$L$是$Oxz$平面上的双曲线

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \\ y=0 \end{cases} \]

则$L$绕$z$轴旋转所得的称为旋转单叶双曲面，方程是

\[\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 \]

$L$绕$x$轴旋转所得的称为旋转双叶双曲面，方程是

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1 \]

ustc-uniparted-hyperboloid

ustc-biparted-hyperboloid

例 3. $Oyz$平面上的抛物线

\[\begin{cases} y^2=2pz, \\ x=0 \end{cases} \]

绕$z$轴旋转得到旋转抛物面，方程是

\[x^2+y^2=2pz \]

ustc-xuanzhuang-paowu

例 4. $Oyz$平面上的直线

\[\begin{cases} \frac{y}a=\frac{z}c, \\ x=0 \end{cases} \]

绕$z$轴旋转得到圆锥面，方程是

\[\frac{\pm\sqrt{x^2+y^2}}{a}=\frac{z}{c} \]

两边平方后，得到

\[\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \]

ustc-zui-mian

二次曲面

以二次方程表示的曲面，也称为二次曲面。二次曲面与平面的交（截口）一般是一条二次曲线。

常见的母线平行$z$轴的二次柱面

  1. 椭圆柱面： 与垂直于其母线的平面的交是一个椭圆，方程
    \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
    当$a=b$时，得到圆柱面
  2. 双曲柱面： 与垂直于其母线的平面的交是双曲线
    \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
  3. 抛物柱面： 与垂直于其母线的平面的交是抛物线
    \[y^2=2px \]

椭球面

椭球面的方程是

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \quad a>0, b>0, c>0 \]
  • 椭球面的一个特点是，它与平面$z=h$, $|h|<c$相截，截口是一个椭圆，
    \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{cases} \]
  • 在椭球面方程中，若$a$, $b$, $c$中有两个相等，得到的是旋转椭球面。
  • 若$a=b=c$，得到球面方程
    \[x^2+y^2+z^2=a^2 \]

双曲面

$a,b,c>0$，方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]

定义的曲面称为单叶双曲面(uniparted hyperboloid)。

ustc-uniparted-hyperboloid

  • 它与平面$z=h$(平行于$Oxy$坐标面)的截口是一个椭圆
    \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}, \\ z=h \end{cases} \]
  • 它与平面$y=h$(或$x=h$)的截口是双曲线
    \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{h^2}{b^2}, \\ y=h \end{cases} \]
    当$h=\pm b$时，方程退化为两条直线
    \[\frac{x}{a}=\pm \frac{z}{c}, y=h \]

$a,b,c>0$，方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 \]

定义的曲面称为双叶双曲面(biparted hyperboloid)。

ustc-biparted-hyperboloid

  • 它与平面$z=h$（要求$|h|\geq c$）的截口是一个椭圆，
    \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1+\frac{h^2}{c^2}, \\ z=h \end{cases} \]
  • 它与平面$y=h$(或$x=h$)的截口是双曲线
    \[\begin{cases} -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1+\frac{h^2}{b^2}, \\ y=h \end{cases} \]
  • 当$a=b$时，方程是一个双叶旋转双曲面。

方程形式为

\[\frac{x^2}A+\frac{y^2}B+\frac{z^2}C=1 \]
  • $A>0, B>0, C>0$，为椭球面。系数均为正
  • $A>0, B>0, C<0$，为单叶双曲面。系数有两个为正，一个为负
  • $A>0, B<0, C<0$，为双叶双曲面。系数有一个为正，两个为负

椭球面、双曲面

二次锥面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0, \quad a>0, b>0, c>0 \]

所表示的曲面称为二次锥面。

  • 易知，若$P_0(x_0, y_0, z_0)$在锥面上，则过原点$O$与$P_0$的直线
    \[L: (x,y,z)=(0,0,0)+t(x_0,y_0, z_0) , \quad t\in\mathbb{R} \]
    均在这个曲面上，因此称为锥面。顶点在$(0,0,0)$
  • 用平面$z=h$(平行于$Oxy$坐标面)得到的截口为一个椭圆
    \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{cases} \]
  • 平面$y=h$或$x=h$得到的截口是双曲线。
  • 若$a=b$，二次锥面是一个圆锥面
    \[x^2+y^2-\frac{z^2}{c^2}=0 \]

锥面与平面的交

锥面

椭圆抛物面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z, \quad a>0, b>0 \]

定义的曲面称为椭圆抛物面(Elliptic paraboloid)。

  • 平面$z=h,\ h>0$(平行于$Oxy$坐标面)得到的截口是一个椭圆，
  • 平面$y=h$和$x=h$得到的截口均是抛物线。

椭圆抛物面、双曲抛物面

双曲抛物面

方程

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z, \quad a>0, b>0 \]

定义的曲面称为双曲抛物面，它的形状像马鞍，也称为马鞍面。

hyperbolic-paraboloid

平面$z=h$的截口方程是

\[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=h \\ z=h \end{cases} \]
  1. 当$h>0$时，曲线是双曲线，实轴平行与$x$轴，虚轴平行于$y$轴。
  2. 当$h<0$时，曲线是双曲线，实轴平行与$y$轴，虚轴平行于$x$轴。
  3. 当$h=0$时，是两个相交于原点的直线。
  • 平面$x=h$的截口是一条开口指向$z$轴反方向的抛物线，方程是
    \[\begin{cases} \frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{a^2}-z \\ x=h \end{cases} \]
  • 平面$y=h$的截口方程是
    \[\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}=\frac{h^2}{b^2}+z \\ x=h \end{cases} \]
    是一条开口指向$z$轴方向的抛物线。

一个一般的三元二次方程

\[\begin{aligned} a_{11}x^2 & +a_{22}y^2+a_{33}z^2 \\ &+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz \\ &+2b_1x+2b_2y+2b_3z+c=0 \end{aligned} \]

是什么样的曲面？

可以通过坐标的平移和旋转, 化为上述的几种类型或他们的退化形态。

谢谢

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本节读完

例 5. 谢

5.

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为