张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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在Newton-Cotes积分中,可以看到为偶数时,代数精度为。
问题. 个点的数值积分公式,最多可以具有几阶代数精度?
例 1. 求, , , ,使得数值积分公式
具有尽可能高的代数精度
解. 依定义,有4个未知量,列出4个方程
由(2), ,代入(4)
即有,则有,代入(2)后,有
即有,代入(1)后,可得
联合,代入(3),可得
可得到
可以验证
即,格式的代数精度为
问题. 有可能更高吗?
定理 1.
个积分点的数值积分公式,至多具有阶代数精度
思路: 找一个次的多项式,让数值积分有误差,即可证明数值公式至多只有阶代数精度。
证明. 对个节点,记数值积分公式
取
则有
但
即次多项式的数值积分有误差。
因此个点的数值积分公式的代数精度不超过阶。
问题. 如何构造最高阶精度的公式?
更一般地,考虑如下的带权积分
称为权函数。
则数值积分为
定义两个可积函数的内积为
在线性代数中学过,利用Schmidt正交化过程
可以将次多项式函数空间的一组基函数, 变为正交基函数,且有
进而有
即
定理 2.
以阶正交多项式的个零点为积分点的数值积分公式具有阶的代数精度
思路: 只需证明,格式至少达到阶即可。
证明. 数值积分的误差就是插值多项式误差的积分。 用Newton型的误差表达得到数值积分的误差为
其中
注意到是的零点,则有
其中为某非0实数。
已经证明,当为次多项式时, 为次多项式。 由的特性,有
因而
即,格式具有阶代数精度。
定义 1.
称具有最高阶代数精度的数值积分格式为Gauss积分,相应的积分点称为Gauss点
Gauss积分的构造方法
例 2. 求积分的2点Gauss公式
解. 按Schmidt正交化过程,有
可以得到积分点为。相应的积分系数为
有2点Gauss公式
定义 2.
区间上,权函数为的Gauss型公式称为Gauss-Legendre公式。
其中是Legendre多项式
的根。
Legendre多项式有递推关系,
n=2时,
n=3时,
n=2时,公式
n=3时,有
例 3. 计算
解. 利用Gauss公式
Calculute integration of x^2 cos(x) from -1 to 1
========= 2 points Gauss ==========
0.5586078851299956 Error: 0.08034063127322955
====== 3 points Gauss ========
0.47646879530281677 Error: -0.0017984585539492781
======== 5 points Gauss ==========
0.47826718331725243 Error: -7.05395136191278e-08
利用带权的Gauss公式
========= 2 points Gauss with weight x^2==========
0.47646879530281677 Error: -0.0017984585539492781
对于区间上的可积函数,做变量代换,得到
可以得到区间上的Gauss求积公式
例 4. 用Gauss-Legendre公式计算
解. 计算结果
========= 2 points Gauss ==========
0.9460411368978208, Error: -4.193346936220976e-05
====== 3 points Gauss ========
0.9460831340784723, Error: 6.371128935533932e-08
composite 2 times Gauss:
0.9460831340784723, Error: 9.758444052820892e-10
======== 5 points Gauss ==========
0.9460830703672151, Error: 3.2085445411667024e-14
复化积分计算结果
======== Composite Trapaezoid ========
2, Error: -0.0062897855610057896
4, Error: -0.0015695487017934884
8, Error: -0.0003922067844818189
16, Error: -9.804043279693087e-05
32, Error: -2.4509404415007374e-05
64, Error: -6.127307119907499e-06
128, Error: -1.5318240310646658e-06
256, Error: -3.829558359313978e-07
512, Error: -9.573894821368611e-08
1024, Error: -2.393473641504329e-08
======= Composite Simpson ========
2 6.281190640378131e-05
4 3.863584610797055e-06
8 2.405212889966535e-07
16 1.501776447643266e-08
32 9.383790411376935e-10
64 5.864508878516972e-11
128 3.665401315799954e-12
256 2.291500322826323e-13
512 1.4210854715202004e-14
1024 9.992007221626409e-16
区间上,权函数的积分公式,称为Gauss-Laguerre公式。
其中是Laguerre多项式
的根,积分系数为
Laguerre多项式满足公式
及边界值
可以表达为
n=2时,2点公式
例 5. 计算积分
解. 问题有真解,数值结果
calculute \int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin(x)dx=0.5
2 points Gauss-Laguerre
0.4324594546798442 "Error: ",-0.0675405453201558
3 points Gauss-Laguerre
0.4960298274805634 "Error: ",-0.003970172519436599
5 points Gauss-Laguerre
0.49890332095606377 "Error: ",-0.0010966790439362328
问题. 对于积分可以写成如下表达式吗?
例 6. 求
解. 解得
2 points Gauss-Laguerre
1.0961083699935568 Error: -0.4746879568013398
3 points Gauss-Laguerre
1.9552766139831168 Error: 0.38448028718822025
5 points Gauss-Laguerre
1.9583762914822787 Error: 0.3875799646873821
例 7. 求
2 points Gauss-Laguerre
0.61258765815713 Error: 0.034723983261669145
3 points Gauss-Laguerre
0.6867235574022316 Error: 0.1088598825067707
5 points Gauss-Laguerre
0.6235180541294388 Error: 0.04565437923397797
例 8. 求
2 points Gauss-Laguerre
-2.996836634033218 Error: -3.623493702690968
3 points Gauss-Laguerre
3.194079602511634 Error: 2.567422533853884
5 points Gauss-Laguerre
5.3082444225535115 Error: 4.681587353895761
区间上,权函数的积分公式,称为Gauss-Hermite公式。
其中是Hermite多项式
的根,积分系数为
Hermite多项式为
它满足
则有系数关系式为
和, , 。
Hermite多项式有如下的显式表达
其中
有
Hermite多项式的前11个的值为
n=2时,2点公式
n=3时,3点公式
例 9. 求
解. 利用含参变量反常积分的特性可以得到
因而,问题的真解为。
calculute \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos(x)dx
True solution: \sqrt{\pi}e^{-(\frac12)^2}
2 points Gauss-Hermite:
1.3474984637168128 Error: 0.032889983326330086
3 points Gauss-Hermite:
1.3820330713880473 Error: -0.0016446243449044218
5 points Gauss-Hermite:
1.3803900759356567 Error: -1.62889251376086e-06
区间上,权函数的积分公式,称为Gauss-Chebyshev公式。
其中是Chebyshev多项式
的根,积分系数为
n=2,有
n=3,有
定理 3.
Gauss积分中的积分系数。
证明. 设Gauss积分公式
其中
是n-1次Lagrange插值基函数,为权函数。
作业: 试分析带权的积分的Gauss积分公式的误差
ref:
https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials
https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials
例 10.
[#ex9-1-0].