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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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定义 1.
若, 与函数无关，则称
为数值积分公式，称为积分系数。
例 1. 如下公式，均为数值积分公式
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-
定义 2.
对于数值积分公式，若有
而，则称数值积分公式具有阶代数精度。
- 显然，具有阶代数精度的数值积分公式，对于任意次数不高于次的多项式，积分计算没有误差。
- 如果一个数值积分公式，对于任意次数不高于次的多项式，误差为0，则该数值积分公式具有至少阶代数精度
- 如果一个数值积分公式，对于一个次多项式，误差不为0,则该数值积分公式至多为阶代数精度
例 2. 计算如下数值积分公式的代数精度
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-
解. 按照代数精度的定义，逐步验证的积分。
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| | 积分值 | 公式1 | 公式2 | 公式3 |
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注.
代数精度可以给出评判数值积分公式优劣的一个标准。
例 3. 确定系数，使得求积公式
有尽可能高的代数精度，并求这个代数精度。
解. 令为, , ，代入数值积分公式使之精确成立，则可得方程组
得到了一个关于的线性方程组。
可解得
注.
行(1)行(2)，可以得到
行(1)行(3)，可以得到
或者，取为, , ，则可以得到线性方程组
容易验证，对于，数值积分为
而积分值也为0。
而对于，数值积分公式有误差。
因此，公式是3阶代数精度。
插值多项式的积分
节点上的插值多项式为，则它的积分也可以作为函数积分的近似
这样，得到了数值积分公式为
并且，误差为
当节点，积分区间给定后，就是一个与原函数无关的量。
- 取时，得到的数值积分公式就是插值多项式的积分。
- 由误差表达式知，这个数值积分公式至少具有阶代数精度。
若公式具有至少阶代数精度，则有
由Vandermonde行列式的特性，此时系数存在且唯一。这组系数就是
这样，有如下结论
定理 1.
积分系数取为相应Lagrange插值基函数的积分的数值积分公式具有最高阶的代数精度。
此时，数值积分就是Lagrange插值多项式的积分，误差是插值多项式误差的积分。
Newton-Cotes 积分
在等距节点上得到的数值积分公式称为Newton-Cotes积分。
在等距节点上计算函数在上积分，
其中。则节点对应的积分系数为
作变量代换，则有
其中
注意到，记
则积分系数可以表达为
得到时的Newton-Cotes积分公式为
这个公式具有至少阶代数精度。
时，积分公式为
因此，可以定义。
定理 2.
是一个只与和相关的数，具有如下特点
（1）
（2） ，即有对称性
(1) 取 ，则有
(2) 令，则有
从而，
n=1时，
可以得到
定义 3.
梯形公式(trapezoid formula)
解. 数值积分的误差为插值多项式误差的积分，则有
注意到在区间内不变号，由积分中值定理
注.
梯形公式是由1次多项式的积分得到，具有至少1阶代数精度。这可以由误差表达式中看出。
也可以用Taylor展开来分析误差。
记，，，则有
注意到所有奇数阶的积分为0，即
取为偶数，则积分可以展开为
取为偶数，梯形公式可以展开为
可以得到梯形公式的误差为
n=2时，
可以得到
定义 4.
Simpson公式
解. Simpson公式是由2次多项式的积分得到，具有至少2阶代数精度。
- 对于，它的Simpson公式计算结果为
- 而对于，Simpson公式计算结果有误差。
因此，Simpson公式具有3阶代数精度。
记为函数的积分值，
为Simpson公式计算的值，则误差
当是个3次多项式，且是函数在点, , 上的插值时，进一步有
显然这样的3次多项式有无穷多个，找一个好用的。
增加中点的导数条件，则有
由积分中值定理，有
可以从误差表达式中看到，Simpson公式具有3阶代数精度。
同样，可以用Taylor展开分析误差。
在中，做Taylor展开，则Simpson公式可以展开为
因而，误差为
n=4时，可以得到Boole公式
其中
注.
Boole公式具有5阶代数精度。它的误差是
定理 3.
对于，所有的系数都是正的。这些Newton-Cotes积分格式都是稳定的。
证明. 假定每个节点带有误差，，则有
记，则有
即，格式是稳定的。
定理 4.
当为偶数时，Newton-Cote公式至少有阶代数精度
证明. 由数值积分公式的误差表达式
其中
做变量代换，则有
由
- 当为不高于次的多项式时，，从而误差为。
- 当时，，则
当为偶数时，令，则
注意到被积函数是奇函数，且积分区间关于对称。
因而当为偶数时，对次多项式的误差为。
定理 5.
Newton-Cotes积分公式的误差为
(1)为奇数时，，有
(2)为偶数时，，有