张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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非线性问题是实际问题中经常遇到的问题。非线性方程的求根是其中一个重要的课题。
非线性问题相比较于线性问题要复杂得多,至今没有很好的理论来给出根的存在性判定。
现有的理论,非线性问题在局部的性质有一些结论。因此数值上,也只能在局部求解非线性方程的根。
这种方法通常是迭代法,预先给出根的初始估计值,然后不断地逼近根。
定义 1.
设有方程的等价形式
由根附近的某初值开始,作序列
若连续,且
则有,即是方程的根。这种求根方法称为迭代方法。
例 1. 求
解. 方法1: 作格式
取,有
序列无限增大,不收敛。这时,称迭代不收敛。
方法2:作格式
取初值,有
序列收敛。可以得到根的近似值为
定理 1.
函数在上连续,内可导,且满足
则有
证明. (1) 存在性。
令,则有
由连续函数的介值性,存在至少一个满足
即,
唯一性:
若有都满足,则有
所以
由,则有
即,。
(2) 设,则
所以
这样,
由,数列收敛到。
(3) 由
可得
这样,有
对任意自然数,有
令,则有
定义 2.
迭代序列收敛到,且,若存在常数和常数,使得
成立,则称迭代格式是r阶收敛的。
时,称格式是线性收敛的。时,称为超线性收敛。时,称为平方收敛。
定理 2.
设满足,整数,在附近具有阶连续导数,且
则迭代格式
是阶收敛的,且有
证明. 由Taylor公式
则有
例 2. 为求方程在内的根,产生如下的迭代格式
给出该格式的收敛性和收敛阶。
解. 由题知,
在区间内,有
所以,迭代格式是收敛的。
在根处,有
格式是线性收敛的。
若格式是线性收敛的,即有
则,当充分大时,有
因此
这样,可以得到
得到的表达式作为近似值,会比, 更好。
定义 3.
若有迭代格式,则格式
称为史蒂芬森加速迭代法(Steffensen)。
定理 3.
设,在包含的某个开区间内具有连续的二阶导数,
并且,则如上的迭代格式至少二阶收敛。
例 3. 将Steffensen加速应用到解方程的两种格式中。
解.
用Steffensen加速 x= log_{10}(x+2)
0 0.5
1 0.375935526659935
2 0.37581208772453945
3 0.3758120875934263
4 0.3758120875934263
迭代收敛
不收敛格式的Steffen加速 x=10^x-2
0 0.5
1 0.459030642738056
2 0.4177856359561663
3 0.3878203271079459
4 0.3768844259181736
5 0.37582092149660973
6 0.37581208819484646
7 0.3758120875934263
8 0.37581208759342627
迭代收敛
例 4.
4.