张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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由矩阵理论,对矩阵的一次行的初等变换,与左乘一个初等矩阵是等价的。
在 Gauss 消元的第k步,相当与左乘了如下的初等矩阵
其中。是一系列的单位下三角阵。
定理 1.
若矩阵的所有顺序主子式都不为,则存在单位下三角阵,和上三角阵,使得。
若有下三角阵,和上三角阵,使得,则线性方程组,可以按如下方式求得
问题. 可以直接将分解为吗?
将矩阵分解为单位下三角阵与上三角阵的乘积的过程,称为Dollitte分解。即
比较第1行 与 第1列,有
计算量为: 次乘除运算
比较第2行 与 第2列,有
计算量为: 次乘除,次加减, 共次运算。
比较第k行 与 第k列,有
计算量为:
整个LU分解的计算量为
分解过程中,不需要新的存贮,可以直接覆盖原来的矩阵
例 1. 将下面矩阵分解为单位下三角阵与上三角阵的乘积
解. 按行的顺序作计算
分解第k行与第k列前,矩阵内的数据为
先计算
若是所有中绝对值最大的,则交换矩阵的行与行。
例 2. 将下面矩阵分解为单位下三角阵与上三角阵的乘积
解. 查看第1列,交换第3行与第1行,得
矩阵中存储为
注意到
,交换第2行与第3行
下面计算
得
将得到的下三角阵与上三角阵相乘后,可以得到
与交换过程是相匹配的。
将矩阵分解为下三角阵与单位上三角阵的乘积的过程,称为Courant 分解。即
对于三对角阵,
可以分解为
即有
分解过程为
解方程的2步反代过程为
注意到: 在反代过程中,只与和相关, 因而,可以将它放到分解过程中完成。
整合后的算法为
称为追赶法 或 Thomas算法。
当矩阵对称正定时,则有,其中是下三角阵。
即有
类似LU分解的过程,可以按一定顺序得到的所有元素。
分解过程为
称为Cholesky分解或平方根方法。
例 3. 给出如下矩阵的Cholesky分解
解. 由平方根法
将下三角阵写成,其中是单位下三角阵,是对角阵。 则
注意到,仍然是一个对角阵,则有
定理 2.
对称正定阵可以写成,其中是单位下三角阵,是对角阵。
借助Doolittle分解,
可以得到的分解过程为:
另外,
作业: 只需计算个元素,算法的计算量有多少?
例 4. 分解如下矩阵
解. 借助Doolittle分解,
可以分解为
例 5.
5.