张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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一阶常微分方程组可以写成如下形式
写成向量的形式:
其中, 。
把各种方法直接应用过来
例 1. 构造如下方程组的数值格式
解. 记, ,则
向前Euler格式
即
可以得到格式为
Runge-Kutta格式
其中
例 2. 解方程组
解. 记
得到结果
=========== 4th order Runge-Kutta
value: [[0.193 0.083 ]
[0.2027603 0.08811575]
[0.21300665 0.09340366]
[0.22376252 0.09884991]
[0.23505244 0.10443747]
[0.24690206 0.11014585]
[0.2593382 0.11595088]
[0.27238886 0.12182453]
[0.28608334 0.12773475]
[0.30045223 0.13364542]
[0.31552748 0.13951627]]
================= Euler Forward
value: [[0.193 0.083 ]
[0.20252484 0.08802582]
[0.21251289 0.09322754]
[0.222986 0.09859406]
[0.23396702 0.10411143]
[0.24547981 0.10976263]
[0.25754926 0.11552731]
[0.27020138 0.12138159]
[0.28346334 0.12729791]
[0.29736346 0.13324485]
[0.31193132 0.13918704]]
对于高阶的初值问题
引入变量, , , 后,
得到
这是一个关于的微分方程组。
例 3. 求解如下的二阶微分方程的初值问题
解. 作变换,则有
用经典的4阶Runge-Kutta方法求解。
取, , , 。
Runge-Kutta公式中,记,则有
则
方程的真解 ,则 .
例 4.
[#ex9-1-0].