Runge-Kutta方法
常微分方程数值格式
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张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
Runge-Kutta方法
- 在高阶多步格式中，起步计算和预估计算都需要格式具有相应的高阶精度。
- 但已知的单步格式中，精度最高只有2阶（梯形公式）。
- 如何构造高阶的单步格式？
函数在处Taylor展开，则有
由微分方程，有
得到
这样，可以得到单步的高阶格式：
局部截断误差为。
这种格式可以达到任意阶的精度，但用到了的各阶偏导数，使用不便。
Runge-Kutta方法
前面改写为
其中
上式中，的计算因为涉及到的各阶偏导数，使用极为不便。
- 取在及其附近点的线性组合来近似表达，使得误差也为。
- 这样，不会影响到整体的局部截断误差，又避免了对的高阶偏导数的计算。
以2阶为例，
则取合适的, , , ，使得
满足
利用Taylor展开
比较系数，得到如下非线性方程组
方程有无穷多个解
改进的Euler格式（Heun格式）
例 1. 用改进的Euler格式解方程
解. 如图
一个N级的Runge-Kutta格式的一般形式
通常用如下的Butcher表来记录这些系数
显式Runge-Kutta格式
一个显式Runge-Kutta法具有如下形式
Butcher表
可以看到，此时矩阵是一个对角元素全为0的下三角阵。
例 2. 格式
对应格式为
即为向前Euler格式
显式中点格式
Heun格式(改进的Euler格式)
Ralston格式(在二阶格式中，具有最小的局部截断误差)
3阶Kutta格式
4阶经典Runge-Kutta格式
例 3. 用4阶经典Runge-Kutta格式
解. 如图
隐式Runge-Kutta格式
当Runge-Kutta的Butcher表中矩阵不再是下三角阵时， 就是隐式的Runge-Kutta格式
例 4. N=1时，
得到的隐式中点格式
可以看到，解时，可能需要解非线性方程。
对应的显式中点格式
例 5. N=2时，得到2级4阶的隐式Runge-Kutta格式, Gauss–Legendre：
在解, 时，需要解一个非线性方程组。
程序作业
常微分方程
- 经典4阶 Runge-Kutta 方法的程序
- Adams 隐式3阶方法的程序，预估步分别用向前Euler格式，改进的Euler格式，4阶Runge-Kutta格式
- 求解如下的问题
分别取步长为, , , 计算
- 给出处的误差，并计算误差阶。（精确解为）
输出
Runge-Kutta法，误差和误差阶为
k=0, 0.244934066848e00
k=1, 0.534607244904e-01, 3.90
...
Adams隐格式，误差和误差阶为
向前Euler做预估计算
k=0, 0.244934066848e00
k=1, 0.534607244904e-01 , 3.01
...
改进Euler做预估计算
k=0, 0.244934066848e00
k=1, 0.534607244904e-01 , 3.01
...
4阶Runge-Kutta做预估计算
k=0, 0.244934066848e00
k=1, 0.534607244904e-01 , 3.01
...谢谢
本节读完
参考：
- https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Runge%E2%80%93Kutta_methods
例 6.
6.
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